МУ - Методы решения экзаменационных задач по математическому анализу (1238752), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, sin x2xn+n2 ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0 ∀ x ∈ E1 ∪ E2 1+ln2 n 61ln2 n< ε. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®©∞Pun (x) ¢ë¯®«­¥­®,á室¨¬®á⨠­ E2 ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ 6n=1¨ àï¤ ¬®¦¥â á室¨âìáï ª ª à ¢­®¬¥à­®, â ª ¨ ­¥ à ¢­®¬¥à­® (á室¨¬®áâì àï¤ ãáâ ­®¢«¥­ ¢ ¯ã­ªâ¥ 1). „®ª ¦¥¬ ¯à¨¯®¬®é¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ ®âáãâá⢨¥ à ¢­®¬¥à­®©á室¨¬®áâ¨2n∞P Puk (x) =­ E2 ã àï¤ un (x). ’ ª ª ª ∀ x ∈ E2 k=n+1n=1sinx(n+1)x2 +(n+1)22sinx2nx2 +(2n)22n sinnxx2 +4n22, â® ¯à¨ x = xn =1+ln1+ln 2n (2n) Pn sin 2 nx 2n sin 15 2n|=> 1, ∀ n >uk (xn ) > 1+lnx 2+4n= n ∈ E2 x=n2n1+ln2 2nk=n+1> n0 > 1, ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ∃ ε0 = 1 > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ N ∈ N n+p Pu (x ) >∃ n = max{N, n0 } > N ∃ p = n ∃ xn = n ∈ E2 : k=n+1 k n > ε0 , ª ª ¨ âॡ®¢ «®áì. ï¤ á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 .=1+ln (n+1)+ ··· +>‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

∀ x ∈ E2 ∀ n ∈ N ∀ k ∈ N → 0 <x(n+k)x2 +(n+k)2== x +1 n+k 6 12 , ®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â ¨á¯®«ì§®¢ ­­ ï ¢ à¥è¥­¨¨n+kx¬®­®â®­­®áâì ᨭãá .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. DZਠ®ä®à¬«¥­¨¨ à¥è¥­¨ï ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥­¥ ­ã¦­® ¤®ª §ë¢ âì, çâ® un (x) ⇒ 0 ­ E1 ∪ E2 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.”®à¬ «ì­®¥ ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ï Š®è¨¢ë⥪ ¥â ¨§ ãá«®¢¨ï ∃ ε0 = 1 > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0 ∃ p = n+p Puk (xn ) > ε0 , çâ® ¯®§¢®«ï¥â= n ∃ xn = n ∈ E2 : k=n+1§ ¯¨á âì à¥è¥­¨¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: â ª ª ª ∃ ε0 = 1 >30 n+p Puk (xn ) => 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0 ∃ p = n ∃ xn = n ∈ E2 : k=n+1=sinx(n+1)x2 +(n+1)22+· · ·+sinx2nx2 +(2n)22|x=n >n sinnxx2 +4n22n sin15|= 1+ln2 2n>1+ln (n+1)1+ln (2n)1+ln 2n x=n∞Pun (x) ­¥> 1, â® ãá«®¢¨¥ Š®è¨ ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¨ àï¤ï¢«ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® á室ï騬áï ­ E2 .n=1‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

„®¯ãá⨬,㤠«®áì ­ ©â¨ â ªãî 䪭ªæ¨î P2ng(n), çâ® uk (xn ) > |g(n)| → C > 0, n → ∞. ’®£¤ ¢k=n+1à áá㦤¥­¨¨ ¤®áâ â®ç­® ¢§ïâì ε0 = C2 . ‚ á«ãç ¥ lim |g(n)| =n→∞= +∞, ª ª, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ 㪠§ ­­®¬ à¥è¥­¨¨, ¯®¤®©¤ñâ «î¡®¥ε0 > 0, ­ ¯à¨¬¥à, ε0 = 1.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.…᫨ ªà¨â¥à¨© Š®è¨ à ¢­®¬¥à­®©á室¨¬®á⨠­ ¬­®¦¥á⢥ E ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ ­¥¢ë¯®«­ï¥âáï,10 â® àï¤ «¨¡® á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ ¬­®¦¥á⢥ E, «¨¡® à á室¨âáï å®âï ¡ë ¢ ®¤­®© â®çª¥¬­®¦¥á⢠E. DZ®â®ç¥ç­ ï á室¨¬®áâì ¨áá«¥¤ã¥âáï ®â¤¥«ì­®¢ ¯ã­ªâ¥ 1. DZਠà¥è¥­¨¨ â ª¨å § ¤ ç (¨ááá«¥¤®¢ âì ­ ¯®â®ç¥ç­ãî ¨ à ¢­®¬¥à­ãî á室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢥ Eä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨«¨ ä㭪樮­ «ì­ë©àï¤) ¢® ¨§¡¥¦ ­¨¥ ®è¨¡®ª ¢á¥£¤ ­ ¤® ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì¯à®¢¥á⨠¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨.DZ à ¨ ¬ ¥ à.ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãî∞P1á室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢥ E = (1; +∞) àï¤ ζ(x) =nx .n=1 ¬­®¦¥á⢥ E àï¤ á室¨âáï ¯® ¨­â¥£à «ì­®¬ã¯à¨§­ ªã, ­®, ¯® ªà¨â¥à¨î Š®è¨, ­¥à ¢­®¬¥à­®.

‚ á ¬®¬¥è¥­¨¥.10‘âண® £®¢®àï §¤¥áì ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥Š®è¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨. Šà¨â¥à¨© Š®è¨ ¢á¥£¤ ¢ë¯®­ï¥âáï, ¡ã¤ãç¨ ¢¥à­®©â¥®à¥¬®©. DZ®¬­ï ®¡ í⮬, ¬ë ¤®¯ã᪠¥¬ ¢®«ì­®áâì à¥ç¨.31 P 2nuk (x) =¤¥«¥, â ª ª ª k=n+1â® ¯à¨ x = xn = 1 +1(n+1)x1+ (n+2)x1+ · · ·+ (2n)x P2nuk (xn ) >∈ E2 k=n+11n>n(2n)x ,n1(2n)x |x=1+ n=¯à¨ n → ∞. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∃ ε0 = 14 > 0 ∃ n0 ∈ n+p Pu (x ) >∈ N ∀ n > n0 ∃ p = n ∃ xn = n ∈ E2 : k=n+1 k n > ε0 , ®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ä®à¬ «ì­®£® ®âà¨æ ­¨ïªà¨â¥à¨ï Š®è¨ à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠ä㭪樮­ «ì­®£®àï¤ .=n1(2n)1+ n→12(¯à¨ à¥è¥­¨¨§ ¤ ç¨ 6¡): ¯®áª®«ìªã ∀ x ∈ E1 ∀ n > 1 0 < un (x) ∼ n lnx2 n∞P1¯à¨ n → ∞, n lnx2 n 6 n ln12 n ¨ ç¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï,n ln2 nŽè¨¡®ç­ë¬ï¢«ï¥âáïà áá㦤¥­¨¥n=2â® ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .Š®­âà¯à¨¬¥à:àï¤un (x) =∞Pn=1(∞Pn=1un (x)un (x) ­ E = [1, +∞), £¤¥1,xn21+1,n2¥á«¨ x 6= n,¥á«¨ x = n.’ ª ª ª ∀ x ∈ E un (x) ∼¯à¨ n → ∞, â® àï¤ á室¨âáï ­ E.’ ª ª ª ∀ n ∈ N sup{|un (x)| : x ∈ E} > |un (n)| = 1 + n12 > 1, â®®¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) 6⇒ 0 ­ E ¨ àï¤ á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­®­ E, â ª ª ª ­¥ ¢ë¯®«­¥­® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®©á室¨¬®á⨠ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ .

Ž¤­ ª® 0 < un (x) ∼ xn1 2 6∞P16 n12 . —¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï. DZ® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá n2Cn2n=1∞Pä㭪樮­ «ì­ë© àï¤n=11xn2á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E, àï¤32á íª¢¨¢ «¥­â­ë¬ ®¡é¨¬ ç«¥­®¬á室¨âáï ­ E ­¥à ¢­®¬¥à­®.‚뢮¤.DZà¨∞Pn=1¨áá«¥¤®¢ ­¨¨un (x), ª ª ¡ë«® ¯®ª § ­®,à ¢­®¬¥à­®©á室¨¬®á⨮¡é¨© ç«¥­ àï¤ , ¤ ¦¥ §­ ª®¯®áâ®ï­­®£®, ­¥«ì§ï ¬¥­ïâì ­ íª¢¨¢ «¥­â­ãî ¢¥«¨ç¨­ã.Žè¨¡®ç­ë¬ ï¥âáï à áá㦤¥­¨¥:∞P¢ ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤n=1sinxnx2 +n221+ln n¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥¯à¨ x ∈ E2 ¢¬¥áâ® x§­ 祭¨© x = xn = n ∈ N ¯®«ãç ¥âáï ç¨á«®¢®© àï¤∞Pn=1sin 21.1+ln2 nDZ®áª®«ìªã 㪠§ ­­ë© ç¨á«®¢®© àï¤ à á室¨âáï, ¤«ï ­¥£®á¯à ¢¥¤«¨¢® ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ï Š®è¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨: ∃ ε0 > n+p P> 0 ∀ N ∈ N ∃ n > N ∃ p ∈ N ∃ xn = n ∈ E2 : uk (xn ) >k=n+1> ε0 .

 ®á­®¢ ­¨¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ ® à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®áâ¨ä㭪樮­ «ì­ëå à冷¢ § ª«îç ¥¬ ®âáãâá⢨¥ à ¢­®¬¥à­®©∞Pá室¨¬®á⨠­ E2 ã àï¤ un (x).n=1Š®­âà¯à¨¬¥à:àï¤∞Pn=1un (x) =(un (x) ­ E = [1, +∞), £¤¥1,xn21n,¥á«¨ x 6= n,¥á«¨ x = n. n+p Pu (x) 6’ ª ª ª ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ p ∈ N ∀ x ∈ E k=n+1 k !n+pP 111116+···+6+n+1n(n+1)(n+p−1)(n+p) + n+1 =k2 k=n+1 111111= n1 − n+1+ n+1+ · · · + n+p−1+ n+1− n+2− n+p= n1 −∞P11un (x)− n+p+ n+1< n2 < ε, â® ¯® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ àï¤n=1á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E = [1, +∞).

Ž¤­ ª® un (n) =331n,ç¨á«®¢®© àï¤∞Pn=11nà á室¨âáï. DZ® 㪠§ ­­®¬ã ®è¨¡®ç­®¬ãà áá㦤¥­¨î ¯®«ãç ¥âáï, çâ® ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤∞Pun (x)¯®áª®«ìªã Žè¨¡®ç­ë¬ à áá㦤¥­¨¥: ï¥âáï P P2n2n11 nsinsin2 2> 1, ∀ n > n0 > 1,u (k) = > 1+ln2 2nk=n+1 k k=n+1 1+ln2 k â® ∃ ε0 = 1 > 0 ∀ N ∈ N ∃ n = max{N, n0 } > N ∃ p = n ∃ xn = n+p Pu (x ) > ε0 .  ®á­®¢ ­¨¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨= n ∈ E2 : k=n+1 k n § ª«îç ¥¬ ®âáãâá⢨¥ à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠­ E2 ã àï¤ ∞Pun (x).n=1â®â ¦¥, çâ® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥.‚® ¨§¡¥¦ ­¨¥ ®è¨¡®ª ¢ à áá㦤¥­¨¨ â®çªãx = xn­ã¦­®¯®¤áâ ¢«ïâì 㦥 ¯®á«¥ ®æ¥­ª¨ á­¨§ã ¬®¤ã«ï ®â१ª àï¤ !” ªâ¨ç¥áª¨ â ª¨¬ à áá㦤¥­¨¥¬ ¯®ª § ­®, çâ® ∃ ε0 >> 0 ∀ N ∈ N ∃ n > N ∃ p ∈ N ∃ xn+1 = (n + 1) ∈ n+p Pu (x ) > ε0 , íâ® ­¥∈ E2 , .

. . , ∃ xn+p = (n + p) ∈ E2 : k=n+1 k k ¥áâì ä®à¬ «ì­®¥ ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ï Š®è¨, ª ª § ¥­®.Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ ª®­âà¯à¨¬¥à ¢ í⮬ ¨ ¢∞P¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥ ¬®¦­® ¢§ïâì ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ àï¤:un (x)n=134(0, ¥á«¨ x 6= n,un (x) = 1n , ¥á«¨ x = n.n=1á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E.” ªâ¨ç¥áª¨ â ª¨¬ à áá㦤¥­¨¥¬ ¯®ª § ­®, çâ® ∃ ε0 > 0∀ N ∈ N ∃ n > N ∃ p ∈ N ∃ xn+1 = (n + 1) ∈ E2 , . .

. , ∃ xn+p = n+pPuk (xk ) > ε0 , íâ® ­¥ ¥áâì ä®à¬ «ì­®¥= (n + p) ∈ E2 : k=n+1®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ï Š®è¨, ª ª § ¥­®.Š®­âà¯à¨¬¥à­ E = [1, +∞), £¤¥6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢â®çª¥ D(1, 1) äã­ªæ¨îpz(x, y) = (2x2 − y 2 − 1) x2 + y 2 − xy − x − y + 1.‡ ¤ ç 7. ¯®¬­¨¬, çâ® ç¨á«®¢ ï äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëåf (x, y) ­ §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ),¥á«¨ ¥ñ ¯à¨à 饭¨¥ ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆f (∆x, ∆y) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 ,py0 ) = A∆x ++ B∆y + o(ρ) ¯à¨ (∆x, ∆y) → (0, 0), £¤¥ ρ = (∆x)2 + (∆y)2¥áâì äã­ªæ¨ï 2-å ¯¥à¥¬¥­­ëå ∆x ¨ ∆y , ∆x = x − x0 == dx, ∆y = y − y0 = dy . “ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 A =f (x0 +∆x,y0 )−f (x0 ,y0 )d, B == ∂f∂x (x0 , y0 ) = dx f (x, y0 )|x=x0 = lim∆x∆x→0=∂f∂y (x0 , y0 )=ddy f (x0 , y)|y=y0=lim∆y→0f (x0 ,y0 +∆y)−f (x0 ,y0 ).∆y…᫨ ®¡¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ A ¨ B áãé¥áâ¢ãîâ,⮤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâìà ¢­®á¨«ì­ à ¢¥­áâ¢ãf (x0 +∆x,y0 +∆y)−f (x0 ,y0 )−A∆x−B∆y√lim.=022(∆x) +(∆y)(∆x,∆y)→(0,0)ˆ§ â¥®à¥¬ë ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨪®¬¯®§¨æ¨¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権 á«¥¤ã¥â, ç⮧ ¬¥­®© u = x − 1, v = y − 1 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨îf (u, v) =­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢ â®çª¥ O(0, 0) ä㭪樨√= z(u + 1, v + 1), f (u, v) = (2u2 + 4u − v 2 − 2v) u2 + v 2 − uv.∂fd¥âà㤭®¢¨¤¥âì, çâ® f (0, 0) = 0, 2 ∂u (0, 0) = du f (u, 0)|u=0 =√d(2u2 + 4u) u2 |u=0 = lim (2u +4u)|u|= lim (2u + 4)|u| == duuu→0u→0√ ∂fdd2= 0, ∂v (0, 0) = dv f (0, v)|v=0 = dv (−v − 2v) v 2 |v=0 =¥è¥­¨¥.(−v2 −2v)|v|vv→0= lim= lim (−v − 2)|v|v→0=0, ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬,äã­ªæ¨ï f (u, v) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ √(0, 0) ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ ∃2 −2v) u2 +v 2 −uv(2u2 +4u−v√u2 +v2(u,v)→(0,0)lim35= 0.DZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬: 2u = ρ2 cos ϕ, ϕ.√ v = ρ sin (2u +4u−v√−2v) u2 +v2 −uv ’®£¤ ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ [0, 2π) =u2 +v2 (2ρ2 cos2 ϕ+4ρ cos ϕ−ρ2 sin2 ϕ−2ρ sin ϕ)√ρ2 −ρ2 cos ϕ sin ϕ 6=ρ√62ρ(3ρ + 6) → 0, √ ¥á«¨ ρ → +0.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. Œ®¦­® ®¡®©â¨áì ¡¥§ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïà­ë¬ª®®à¤¨­ â ¬[3]. ‡ ¬¥â¨¬,çâ® ¤«ï ¢á¥å x, √y ∈ R |x| 6pp22226 x + y ¨ |y| 6 x + y . DZãáâì 0 < ρ = u2√+ v 2 < 1. 2√22222(2ρ +4ρ+ρ +2ρ) ρ2 +2ρ2 (2u +4u−v√−2v) u +v −uv 6’®£¤ 0 6 622ρu +v√√6 ρ(3ρ + 6) 3 6 18ρ = 18 u2 + v 2 → 0, ¥á«¨(u, v) →√¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).Žâ¢¥â: äã­ªæ¨ï z(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ D(1, 1).= 0, ¨ äã­ªæ¨ï f (u, v) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).∃2 −2v) u2 +v 2 −uv(2u2 +4u−v√u2 +v2(u,v)→(0,0)lim= 0, ¨ äã­ªæ¨ï f (u, v)‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. DZ®¤ç¥àª­ñ¬,çâ® ®ª®­ç â¥«ì­ ï ®æ¥­ª √ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ¬®¤ã«ï 6 2ρ(3ρ + 6) ­¥ ¤®«¦­ ᮤ¥à¦ âìρϕ, ®­ ¤®«¦­ ᮤ¥à¦ âì ⮫쪮 ρ.Žè¨¡®ç­ë¬ ï¥âáï à áá㦤¥­¨¥:∃=√∀ ϕ ∈ [0, 2π)(2ρ2 cos2 ϕ+4ρ cos ϕ−ρ2 sin2 ϕ−2ρ sin ϕ) ρ2 −ρ2 cos ϕ sin ϕlimρρ→+0√22lim ρ(2ρ cos ϕ+4 cos ϕ−ρ sin ϕ−2 sin ϕ) 1 − cos ϕ sin ϕρ→+0==0(¯à¥¤¥« à ¢¥­ ­ã«î, ­ ¯à¨¬¥à, ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®¬ «®© ρ ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î: √¯®« £ ¥¬ ρ < 1).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃2 −2v) u2 +v 2 −uv(2u2 +4u−v√u2 +v2(u,v)→(0,0)lim= 0.

Характеристики

Список файлов книги