МД_ Ющенко_ ПМ2_ 2015 (1222226), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Например, для S12 ( x) порядок числителя равен единице,28знаменателя – двум, а для S36 ( x) эти значения равны, соответственно, трём ишести.Ниже приведены эти аппроксимирующие нормированные дробнорациональные спектры:S12 ( x)0,822 x 2,x 4 1,831x 2 1S24 ( x)4,9 x 4,x8 x 4 1S36 ( x)( x 4 1,18 x 2 0,52)( x 4(2.6)(2.7)4,34 x6.1,38 x 2 1,29)( x 4 2,95 x 2 11,73)(2.8)Покажем на рисунке 2.1 графики соответствующих спектров волновыхординат нерегулярного морского волнения. Как видно из рисунка 2.1,относительная частота максимума спектров совпадает у всех трёх спектров иравна единице. Однако максимумы спектров отличаются друг от друга, хотяи незначительно.
Видно, что спектры S12 ( x) и S24 ( x) смещены по отношениюк S36 ( x) в сторону нижних частот.Рисунок 2.1 - Спектры волновых ординат морского волнения: пунктирная криваясоответствует S12 ( x) , штриховая кривая – S 24 ( x ) , сплошная – S 36 ( x )29На рисунке 2.2 показаны графики спектров скоростей волновыхординат нерегулярного морского волнения, полученные путём умножениясоответствующих спектральных плотностей на x 2 .На рисунке 2.2 видно, что максимумы спектров Sv12 ( x) и Sv 24 ( x)смещёны в сторону нижних частот по отношению к Sv36 ( x) , к тому же спектрSv12 ( x) в области верхних частот принимает установившееся значение,равное 0,822.
В области верхних частот спектр Sv 24 ( x) затухает значительномедленнее спектра Sv36 ( x) .Рисунок 2.2 - Спектры скоростей волновых ординат морского волнения: пунктирнаякривая соответствует S v12 ( x ) , штриховая кривая – Sv 24 ( x) , сплошная – Sv 36 ( x )На рисунке 2.3 показаны графики спектров ускорений волновыхординат нерегулярного морского волнения, полученные путём умножениясоответствующих спектров на множитель x 4 .По рисунку 2.3 можно заметить, что максимумы спектров Sa12 ( x) иSa 24 ( x) проходят значительно ниже по отношению к Sa 36 ( x) .
При этомспектральная плотность Sa12 ( x) ускорений волновых ординат в областиверхних частот устремляется в бесконечность. Спектр Sa 24 ( x) в той жеобласти частот принимает установившееся значение, равное 4,9, а спектрSa 36 ( x) с увеличением относительной частоты x спадает до нуля.30Рисунок 2.3 - Спектры ускорений волновых ординат морского волнения: пунктирнаякривая соответствует S a12 ( x ) , штриховая кривая – S a 24 ( x) , сплошная – S a 36 ( x)В таблице 2.1 приведены основные параметры аппроксимирующихдробно-рациональных нормированных спектров (2.6) – (2.8) нерегулярногоморского волнения.Из таблицы 2.1 видно, что у спектра S12 ( x) дисперсии скоростей,ускорений и рывков волновых ординат бесконечно велики.
Следовательно,соответствующие графики скоростей, ускорений и рывков ординат будутиметь ярко выраженный хаотический характер. Ширина этого спектра и егосоответствующие средние периоды скоростей и ускорений невозможноопределить, так как имеет место неопределённость вида. При этомсредний период волновых ординат принимает нулевое значение. Для спектраS24 ( x) дисперсии ускорений и рывков волновых ординат также бесконечновелики.
Ширина такого спектра принимает максимальное значение, равноеединице. Значения среднего периода ускорений волновых ординат при этомневозможно найти по указанной выше причине. Для спектра S36 ( x) найденыконечные значения дисперсий, за исключением дисперсии рывка волновыхординат. Судя по значению ширины этого спектра, он является широким, таккак для него не выполняется условие0,4 .
Распределение амплитуд волн31для широкого спектра близко к нормальному закону [17], а для узкого – кзакону Рэлея [11, 17, 22].Таблица 2.1 - Параметры аппроксимирующих дробно-рациональных нормированныхспектров 12-МКОБПараметрS12 ( x)S 24 ( x )S36 ( x )Дисперсия перемещений волновых ординат Dζ, м20,99971,00021,00052,00051,6748Дисперсия скоростей волновых ординат D , (м/с)2Дисперсия ускорений волновых ординат D , м2/с45,5613Дисперсия рывков волновых ординат D , м2/с6Ширина спектра–Средний период волновых ординат T , c0Средний период скоростей волновых ординат T , c–03,448Средний период ускорений волновых ординат T , c––010,70414,442Также к недостаткам аппроксимирующего спектра4,856S36 ( x) можноотнести следующие моменты:- в [4] говориться, что при расчётах в частотной области полагают, что спектрравен нулю при частоте более 2,652,65mординатуS 2,65mm.
Будем считать достаточно малой примодуля частотной характеристики фильтра,генерирующего морское волнение, ту, что меньше 1% от максимальногозначения этой АЧХ. Для спектра S36 ( x) находимS36 2,65m0,01126 .Полученное значение превосходит 1%;- средний период ускорений волновых ординат T360 . Следовательно,спектр ускорений чрезмерно протяжённый, а график ускорений слишкомхаотичен. Даже при частоте 10mамплитуда ускорения (по АЧХ) составляет1,3 % от максимальной. Поэтому, чтобы повысить точность расчётапродольнойкачкисудна,дляS36 ( x)пришлосьбыиспользоватьредукционную частотную характеристику, речь о которой пойдёт далее,32более высокого порядка, с большим числом нулей и затухающихмаксимумов.На рисунках 2.4 и 2.5 приведены структурные схемы, пригодные длячисленного моделирования случайного процесса перемещения волновыхординат и скоростей ординат нерегулярного морского волнения длянормированного спектра S12 ( x) , преобразованного в передаточную функциюаналогового формирующего фильтра.
Для моделирования была выбранаматематическая среда MATLAB [24-26] и её специализированный пакетпрограммных средств Simulink [27, 28]. В [21] показано, что для того, чтобыполучитьреализациюкакого-либослучайногопроцессасзаданнойспектральной плотностью, применяют преобразование сигнала «белый шум»с помощью фильтра, имеющего дробно-рациональную передаточнуюфункцию. (Спектральная плотность сигнала «белый шум» постоянна длявсего интервала угловых частот от нуля до бесконечности).
Зависимостьквадрата амплитуды частотной характеристики от частоты у такого фильтрадолжна быть близка к заданной спектральной плотности [21].Рисунок 2.4 - Структурная схема моделирования ординат нерегулярного морскоговолнения с использованием передаточной функции 1133Рисунок 2.5 - Структурная схема моделирования скорости ординат нерегулярногоморского волнения с использованием передаточной функции 11В[21,29]приведенырекомендации,согласнокоторымдляформирования сигнала типа «белый шум» целесообразнее использоватьстандартный блок библиотеки Simulink – Band-Limited White Noise. Этотблок генерирует отсчёты с нормальным распределением.
Если жеиспользовать блок Uniform Random Number (генератор отсчётов сравномерным распределением на заданном интервале), то выходной сигналэтого блока необходимо умножать на коэффициент ao пересчёта ординатслучайного процесса, учитывающий значения периода дискретизации T играницы псевдослучайной центрированной последовательности Nr . Покажемформулу для расчёта этого коэффициента [4, 21].ao3.T NrВпроцессе(2.9)моделированиявыяснилось,чтодисперсияпсевдослучайной последовательности отсчётов для нормального законараспределения заметно больше дисперсии последовательности, полученнойпри генерировании отсчётов с равномерным распределением.Для сравнения приведём результаты моделирования для двух законовраспределенияпсевдослучайныхпоследовательностей.Приэтомпринимались следующие параметры блоков: Band-Limited White Noise (Noise34power 1 – энергия сигнала; Sample time 0.001 – период дискретизации) иUniform Random Number (Sample time 0.001; Minimum -1000, Maximum 1000– интервал псевдослучайной центрированной последовательности ( Nr 1000) при единичной мощности сигнала).
Объём выборки в обоих случаях равен5 105 отсчётов.С учётом подстановки параметров в (2.9), получим aoПриведемформирующеговыражениефильтра,передаточноймодульнаяфункция0,05477225576.функциианалоговогокоторойсоответствуетспектральной плотности S12 ( x) с учётом подстановки sj x , где s –комплексная переменная, аргумент изображений функций времени спомощью преобразования Лапласса.W12 ( s)s20,9066 s.0,4111s 1(2.10)Тогда передаточная функция аналогового формирующего фильтра,пригодная для численного моделирования скорости волновых ординат,получается путём умножения (2.10) на множитель оператора Лапласа s .Wv12 ( s )0,9066 s 2.s 2 0,4111s 1(2.11)На рисунке 2.6 показан пример моделирования во временной областиординат и скоростей ординат нерегулярного морского волнения на выходепередаточной функции формирующего аналогового фильтра W12 ( s) пригенерировании отсчётов с нормальным распределением.Как видно из рисунка 2.6, а и б, графики ординат и скоростей ординатнерегулярного морского волнения, полученные на основании генерированияпсевдослучайной последовательности отсчётов, носят явно хаотическийхарактер, чего на самом деле быть не может.С помощью прикладного пакета Distribution Fitting Tool, входящего вMATLAB, были найдены следующие значения дисперсий ординат искоростей ординат нерегулярного морского волнения во временной области:35D0,991, D823,011 – при нормальном законе распределения (блокBand-Limited White Noise); D0,883 , D822,150 – при равномерномзаконе распределения (блок Uniform Random Number).а)б)Рисунок 2.6 - Случайный процесс ординат и скоростей ординат нерегулярного морскоговолнения: а) график ординат; б) график скоростей ординат36Видно, что значение дисперсии волновых ординат при генерированииотсчётов с нормальным распределением близко к единице, в отличие отпоследовательности с равномерным распределением.
Дисперсии скоростейординат в обоих случаях очень близки друг к другу и принимают огромныезначения, что подтверждается чрезмерно хаотическим характером графиковскоростей ординат на рисунке 2.6. При этом были получены конечныезначения дисперсий скоростей ординат, чего нельзя было сделать с помощьюинтегрального выражения для дисперсии.Отличие дисперсии волновых ординат от единицы определяетсяпогрешностьюнахождениякоэффициентовформирующегофильтра.Дисперсия ускорения ординат волнения не может быть найдена с помощьючисленных методов математического моделирования, так как степеньчислителя передаточной функции формирующего фильтра при умножениина множитель s 2 становится на один порядок больше степени знаменателя,при этом получается физически нереализуемая система.Таким образом, можно сделать вывод, что при моделированиинерегулярногоморскоговолненияцелесообразногенерироватьпоследовательность отсчетов, распределенным по нормальному закону.Приведемиз[21]готовуюформулупередаточнойфункциианалогового формирующего фильтра для нормированной спектральнойплотности S36 ( x) :W36 (s)( s 2 0,5111s 0,7208)( s 23,694 s3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
