Электричество и магнетизм (1188650), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïðè ýòîì óñëîâèèκ áóäåò ìíèìîé âåëè÷èíîé:qκ = i ω02 − γ 2 ≡ iω.(2.17)Ïîäñòàâëÿÿ (2.17) â (2.16), íàéä¼ì:U0 −γtU0 −γtI=−esh(iωt) = −esin ωt.LωLωÂåëè÷èíà γ îïðåäåëÿåò çàòóõàíèå êîëåáàíèé: γ = 1/τ , ãäå τ âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãîàìïëèòóäà óìåíüøàåòñÿ â e ðàç.pÂåëè÷èíà ω = ω02 − γ 2 íîñèò íàçâàíèå ÷àñòîòû ñâîáîäíûõ èëè ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé (íå ïóòàòü ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ω0 ). Ïåðèîä ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé2π2πT =(2.19)= p 2.ωω0 − γ 2Âåðí¼ìñÿ ê óðàâíåíèþ (2.8). Åñëè èçâåñòíî, ÷òî γ < ω0 , òî ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (2.8) ìîæíî ñðàçó èñêàòü â ñèíóñîèäàëüíîé îðìå:Äâå ïîñëåäíèå îðìóëû ýêâèâàëåíòíû. Îáå ñîäåðæàò äâå ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíòû: A1 è A2 â ïåðâîì, B è θ âî âòîðîì ñëó÷àå.
Íåòðóäíî íàéòè îðìóëû, ñâÿçûâàþùèå A1 è A2 ñ B è θ:A1 = B cos θ;U0è ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ A1 è A2 â (2.12):I =−33I = e−γt (A1 cos ωt + A2 sin ωt) èëè I = Be−γt cos(ωt − θ).Âû÷èñëÿÿ èç (2.12) I˙ ïðè t = 0, íàéä¼ì ñ ïîìîùüþ (2.14):λ1 A1 + λ2 A2 = −àçäåë IIÅñëè çàòóõàíèå ìàëî, î çàòóõàþùèõ êîëåáàíèÿõ ìîæíî ãîâîðèòü, êàêî ãàðìîíè÷åñêèõ.
 ýòîì ñëó÷àå àðãóìåíò êîñèíóñà (ωt − θ) íàçûâàþòàçîé, à êîýèöèåíò Be−γt àìïëèòóäîé êîëåáàíèé.Åñëè çàïèñàòü óðàâíåíèå (2.8) äëÿ íàïðÿæåíèÿ UC íà êîíäåíñàòîðå,òî åãî ðåøåíèå ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ t = 0, I = 0, UC = U0 èìååòâèäω0 −γtUC = U0(2.20)ecos(ωt − θ).ωÇàâèñèìîñòè òîêà I è íàïðÿæåíèÿ UC îò âðåìåíè â ðåæèìå ñâîáîäíûõçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.2.U6cI6I0 e−γt- TÊàê âèäíî èç (2.18), òîê â êîíòóðå â äàííîì ñëó÷àå çàòóõàåò, îäíàêîèìååò êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð.U0 e−γtUkt−I0 e−γta)(2.18)A2 = B sin θ.Uk+nt−U0 e−γtá)èñ.
2.2. Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ (γ < ω0 )Çàìåòèì, ÷òî ïðè γ 6= 0 íàïðÿæåíèå è òîê íå ÿâëÿþòñÿ ñòðîãî ïåðèîäè÷åñêèìè óíêöèÿìè âðåìåíè, ïîñêîëüêó U (t) 6= U (t + T ). îâîðèòü î34Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿïåðèîäå ýòîé óíêöèè ìîæíî òîëüêî â òîì ñìûñëå, ÷òî îíà ïðèíèìàåòíóëåâûå çíà÷åíèÿ ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè.Áîëüøîé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò êîíòóð ñî ñëàáûì çàòóõàíèåì (γ ≪ ω0 ).  ýòîì ñëó÷àå ω ≃ ω0 , ïåðèîäT =√2π= 2π LC,ω0U0 −γtI =−esh κt,Lκ(2.23)à äëÿ íàïðÿæåíèÿ UC íà êîíäåíñàòîðå γsh κt + ch κt .UC = U0 e−γtκ(2.24)eá)-Ïðèðàâíèâàÿ ω0 è γ , èç (2.7) íàéä¼ìrRêð = 2L.C- te−γt- t êîëåáàòåëüíîì ðåæèìå ïîòåðè â êîíòóðå ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü äîáðîòíîñòüþ è ëîãàðèìè÷åñêèì äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ.
Îïðåäåëèì ýòè ïîíÿòèÿ. Íàçîâåì äîáðîòíîñòüþ âåëè÷èíóW,∆W(2.27)ãäå W çàïàñ¼ííàÿ â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå ýíåðãèÿ, à ∆W ïîòåðÿýíåðãèè çà ïåðèîä. Èç óðàâíåíèÿ (2.22) íàéä¼ìW =CU 2CU02 −2γt=e.22Ïîòåðÿ ýíåðãèè çà ïåðèîä ðàâíàCU02 −2γte− e−2γ(t+T ) = W (1 − e−2γT ).2Ïîëàãàÿ 2γT ≪ 1 (ñëàáîå çàòóõàíèå), íàéä¼ì:t∆W =åæèì, ñîîòâåòñòâóþùèé óñëîâèþ γ = ω0 , íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì.Ïðè ýòîì κ , à ñëåäîâàòåëüíî, è ω ðàâíû íóëþ. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîäïðè ω → 0 äà¼ò(1 + γt).á)Uc (t)èñ. 2.4. Êðèòè÷åñêèé ðåæèì (γ = ω0 )∆WT =−(γ−κ)tèñ.
2.3. Àïåðèîäè÷åñêèé ðåæèì (γ > ω0 )UC = U0 eUcU0 6Q = 2πðàèêè çàâèñèìîñòè òîêà I è íàïðÿæåíèÿ UC îò âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèå (2.23) è (2.24), èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.3. Êàê âèäíî èç ãðàèêà,ïðîöåññ íå ÿâëÿåòñÿ êîëåáàòåëüíûì. Òàêîé ïðîöåññ íàçûâàþò àïåðèîäè÷åñêèì.|I|Uc6 e−γt sh κtU0 6Uc (t)−γt|I|6 e−γttà) ñëó÷àå γ > ω0 îáà êîðíÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.10)ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè: ïîýòîìó óðàâíåíèå (2.16) äëÿ òîêà èìååò âèäU0 −γtI=−te ;LÔîðìóëà (2.26) îïðåäåëÿåò êðèòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà. ðàèêè çàâèñèìîñòè I è UC îò âðåìåíè äëÿ êðèòè÷åñêîãî ðåæèìà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.4. Ïðè R > Rêð ïðîöåññ èìååò àïåðèîäè÷åñêèé, à ïðèR < Rêð êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð.(2.22)UC = U0 e−γt cos ω0 t.- t35(2.21)à âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü UC (t) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäåà)àçäåë II(2.25)(2.26)1γT∆WT =W.2ππÏîýòîìó äîáðîòíîñòüWWπω0 L11Q = 2π=====∆WT∆WγTRω0 CRRrL.C(2.28)Ïðè íàïèñàíèè öåïî÷êè (2.28) áûëè èñïîëüçîâàíû âûðàæåíèÿ (2.21)äëÿ ïåðèîäà è (2.7) äëÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ω0 è çàòóõàíèÿ γ .Ñðåäíÿÿ ïîòåðÿ ýíåðãèè ∆W çà âðåìÿ èçìåíåíèÿ àçû íà îäèí ðàäèàí â 2π ðàç ìåíüøå, ÷åì ∆WT .
Òàêèì îáðàçîì, äîáðîòíîñòü êîíòóðà Q36Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿïîêàçûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç çàïàñ¼ííàÿ â êîíòóðå ýíåðãèÿ ïðåâîñõîäèòñðåäíþþ ïîòåðþ ýíåðãèè çà âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî àçà êîëåáàíèéèçìåíÿåòñÿ íà îäèí ðàäèàí.Ââåä¼ì ëîãàðèìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ Θ ëîãàðèì îòíîøåíèÿ äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìàêñèìàëüíûõ îòêëîíåíèé â îäíó ñòîðîíó. Èç (2.22) èìååìΘ = lnUk= ln eγT = γT.Uk+1(2.29)Íà ïðàêòèêå äëÿ îïðåäåëåíèÿ Θ óäîáíî èñïîëüçîâàòü îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíûõ îòêëîíåíèé, ðàçäåë¼ííûõ öåëûì ÷èñëîì ïåðèîäîâ n (ðèñ. 2.2). ýòîì ñëó÷àå îðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ Θ èìååò âèäΘ=Uk1.lnn Uk+n(2.30)Ìîæíî îïðåäåëèòü èçè÷åñêèé ñìûñë ëîãàðèìè÷åñêîãî äåêðåìåíòàçàòóõàíèÿ: ýòî âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ÷èñëó ïåðèîäîâ ne , çà êîòîðîå àìïëèòóäà êîëåáàíèé ïàäàåò â e ðàç.Ñðàâíèâàÿ (2.28) è (2.29), íàéä¼ìQ=ππ= .γTΘ(2.31)2.
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ìåòîä êîìïëåêñíûõàìïëèòóäiàññìîòðèì ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â êîíòóðå, ïîäêëþ÷¼ííîì ê èñòî÷íèêó âíåøíåéÝÄÑ, èçìåíÿþùåéñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó: E = E0 cos Ωt (ðèñ. 2.5). Îáîçíà÷èì ðàçíîñòüïîòåíöèàëîâ íà êîíäåíñàòîðå ÷åðåç UC , à òîê,òåêóùèé â êîíòóðå, ÷åðåç I . Ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ íà ýëåìåíòàõ öåïè ðàâíà ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ïëþñ ÝÄÑ èñòî÷íèêà:E0 cos ΩtCRLèñ. 2.5.Ïîñëåäîâàòåëüíûéêîíòóð ñ âíåøíåé ÝÄÑRI + UC = −LdI+ E0 cos Ωt.dt(2.32)Âûðàçèì UC ÷åðåç çàðÿä q íà êîíäåíñàòîðå:LdIq+ RI += E0 cos Ωt.dtC(2.33)àçäåë II37RÓ÷èòûâàÿ, ÷òî q = I dt, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì:Z1dII dt = E0 cos Ωt.L + RI +dtC(2.34)åøåíèå ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2.34) ñ ïðàâîé ÷àñòüþ ñîñòîèò èç îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (êîòîðîå óæåáûëî ïîëó÷åíî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå) è êàêîãî-ëèáî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýòîãî ðåøåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä. Ýòîò ìåòîä îñíîâàí íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè: ïóñòü íåêîòîðàÿ êîìïëåêñíàÿ óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ âåùåñòâåííûìèêîýèöèåíòàìè è êîìïëåêñíîé ïðàâîé ÷àñòüþ; òîãäà âåùåñòâåííàÿ÷àñòü ýòîé óíêöèè ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì òîãî æå óðàâíåíèÿ, â ïðàâîé÷àñòè êîòîðîãî ñòîèò âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ïðåæíåãî âûðàæåíèÿ, à ìíèìàÿ ÷àñòü ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ñ ìíèìîé ïðàâîé ÷àñòüþ.Èñõîäÿ èç ñêàçàííîãî, çàïèøåì óðàâíåíèå (2.34) â êîìïëåêñíîé îðRIb dtdIbb= Eb0 eiΩt .L + RI +(2.35)dtCÇäåñü Eb0 êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ: Eb0 = E0 eiϕ(¾øëÿïêîé¿ ñâåðõó áóäåì îáîçíà÷àòü êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, à èíäåêñîì ¾0¿ àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ).Åñëè íà÷àëüíàÿ àçà ϕ = 0, òî Eb = E0 .
Ïðàâàÿ ÷àñòü (2.34) ÿâëÿåòñÿâåùåñòâåííîé ÷àñòüþ ïðàâîé ÷àñòè (2.35). åøèâ óðàâíåíèå (2.35), ìûïîëó÷èì êîìïëåêñíîå âûðàæåíèå äëÿ òîêà. Âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ýòîãîðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ, ñîãëàñíî óêàçàííîìó âûøå óòâåðæäåíèþ, ðåøåíèåìèñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.34).Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.35) â êîìïëåêñíîì âèäå:ìå:Ib = Ib0 eiΩt ,(2.36)ãäå Ib0 êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêà. Ïîäñòàâëÿÿ (2.36) â (2.35) èñîêðàùàÿ íà eiΩt , íàéä¼ì1bI0 R + i ΩL −(2.37)= E0 .ΩCÂåëè÷èíó, ñòîÿùóþ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, íàçûâàþò èìïåäàíñîì êîíòóðà è îáîçíà÷àþò îáû÷íî áóêâîé Z :1.Z = R + i ΩL −(2.38)ΩC38Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿÈìïåäàíñ êîíòóðà íå çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, íå ñîäåðæèò íèòîêîâ, íè íàïðÿæåíèé è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ñâîéñòâàìè ýëåìåíòîâ,ñîåäèí¼ííûõ â êîíòóð.
Èìïåäàíñ ÿâëÿåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòèêîé êîíòóðà. Ïîäñòàíîâêà (2.38) â (2.37) äà¼òE0 = Z Ib0 .(2.39)E = E0 cos(Ωt + ϕ).(2.40)Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàêîíà Îìà äëÿ ïåðåìåííûõ òîêîâ. îëü ñîïðîòèâëåíèÿ èãðàåò â í¼ì èìïåäàíñ êîíòóðà Z .Âûðàæåíèå äëÿ Z ñîäåðæèò äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, íàçûâàåìóþîáû÷íî àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì êîíòóðà, è ìíèìóþ ÷àñòü, íîñÿùóþíàçâàíèå ðåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ èëè ðåàêòàíñà.
Èìïåäàíñ èíäóêòèâíîñòè ðàâåí iΩL, èìïåäàíñ ¼ìêîñòè 1/(iΩC), èìïåäàíñ ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîñòî R. Ïðàâèëà ñëîæåíèÿ èìïåäàíñîâ ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîìè ïàðàëëåëüíîì âêëþ÷åíèè ýëåìåíòîâ òå æå, ÷òî è äëÿ îáûêíîâåííûõñîïðîòèâëåíèé.àâåíñòâî (2.39) îáëàäàåò õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ: ïðàâàÿ åãî÷àñòü ñîäåðæèò ïðîèçâåäåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ âåëè÷èí, à ëåâàÿ ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íå íîñèòïðèíöèïèàëüíîãî õàðàêòåðà è ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì. Âîçüì¼ì âìåñòî(2.33) íåñêîëüêî áîëåå îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑÔàçà ϕ îïðåäåëÿåò íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: â ñàìîì äåëå, ïðè t = 0 íàïðÿæåíèå íå îáÿçàòåëüíî äîëæíî ïðîõîäèòü ÷åðåç ìàêñèìóì, êàê ýòîìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàëîñü ïðè íàïèñàíèè (2.33). Ïðè ïåðåõîäå ê (2.35)â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ áóäåò ñòîÿòü óæå íå E0 eiΩt , à Eb0 eiΩt , ãäå Eb0ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé:Eb0 = E0 eiϕ .Ñâÿçü ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì â ýòîì ñëó÷àå ñíîâà îïðåäåëÿåòñÿèìïåäàíñîì êîíòóðà Z , íî âìåñòî (2.39) ñëåäóåò ïèñàòüEb0 = Z Ib0 .(2.41)Óðàâíåíèå (2.41) èìååò âïîëíå îáùèé õàðàêòåð.Èññëåäóåì íåñêîëüêî áîëåå ïîäðîáíî ñâîéñòâà èìïåäàíñà Z .
Ïðåäñòàâèì èìïåäàíñ Z â ïîêàçàòåëüíîé îðìå:Z = Z0 eiψ ;q1 22(2.42)Z0 = R + (ΩL − ΩC ) ;ψ = arctg ΩL−1/(ΩC).Ràçäåë II39àçðåøèì óðàâíåíèå (2.41) îòíîñèòåëüíî Ib0 è ïåðåéä¼ì îò êîìïëåêñíîãî ê äåéñòâèòåëüíîìó âûðàæåíèþ äëÿ òîêà. Êàê áûëî ñêàçàíî âûøå,äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòü äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü Ib:!b0E0 eiϕ iΩtE0EiΩtiΩtb= Re=eecos(Ωt + ϕ − ψ).I = Re(I0 e ) = ReZ0Z0 eiψZ0(2.43)Ñðàâíèâàÿ (2.43) è (2.40), íàéä¼ì, ÷òî òîê îòñòà¼ò îò íàïðÿæåíèÿ ïîàçå íà âåëè÷èíó ψ , îïðåäåëÿåìóþ îòíîøåíèåì ìíèìîé è äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòåé èìïåäàíñà. Àìïëèòóäà êîëåáàíèé îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíàìîäóëþ èìïåäàíñà Z0 .àññìîòðèì íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.à. Ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ïîäêëþ÷åíî òîëüêî ÷èñòî àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
