Электричество и магнетизм (1188650), страница 7
Текст из файла (страница 7)
 ýòîì ñëó÷àå èç îðìóë (2.42) ñëåäóåò,÷òî ψ = 0. Òîê â àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ñîâïàäàåò ïî àçå ñ íàïðÿæåíèåì íà í¼ì.á. Ê èñòî÷íèêó ïîäêëþ÷åíà òîëüêî ¼ìêîñòü C (êîíäåíñàòîð áåç ïîòåðü). Ïðè ýòîì ψ = −π/2. Òîê îïåðåæàåò íàïðÿæåíèå ïî àçå íà π/2.â. Ê èñòî÷íèêó ïîäêëþ÷åíà òîëüêî êàòóøêà ñàìîèíäóêöèè ñ èíäóêòèâíîñòüþ L, àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîé RL = 0.
Ïðè ýòîì ψ == π/2. Òîê â öåïè îòñòà¼ò ïî àçå îò íàïðÿæåíèÿ íà π/2.ã.  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ê èñòî÷íèêó ïîñëåäîâàòåëüíî ïîäêëþ÷åíûðåçèñòîð, êîíäåíñàòîð è êàòóøêà ñàìîèíäóêöèè, ñäâèã àçû ìåæäóòîêîì è âõîäíûì íàïðÿæåíèåì ëåæèò â ïðåäåëàõ: −π/2 < ψ < +π/2.Èìïåäàíñû ðåàëüíûõ êîíäåíñàòîðîâ è êàòóøåê ñàìîèíäóêöèè ñîäåðæàò êðîìå ìíèìîé òàêæå è äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü. Äåéñòâèòåëüíàÿ÷àñòü èìïåäàíñà îïðåäåëÿåòñÿ íåîáðàòèìûìè ïîòåðÿìè ýíåðãèè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ñâÿçàíû êàê ñ îìè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì ïðîâîäíèêîâ,òàê è ñ äðóãèìè ïðè÷èíàìè: ñ óòå÷êàìè è äèýëåêòðè÷åñêèìè ïîòåðÿìè âêîíäåíñàòîðàõ, ñ ïåòë¼é ãèñòåðåçèñà è òîêàìè Ôóêî â åððîìàãíèòíûõñåðäå÷íèêàõ êàòóøåê ñàìîèíäóêöèè.
Îñîáåííî âåëèêà áûâàåò îáû÷íîäåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü èìïåäàíñà ó êàòóøåê ñàìîèíäóêöèè.Ïîòåðè â êîíäåíñàòîðàõ è â êàòóøêàõ çàâèñÿò êàê îò ÷àñòîòû, òàê èîò àìïëèòóäû ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç íèõ òîêà. Ïîýòîìó, ïðèâîäÿ âåëè÷èíóýêâèâàëåíòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïîòåðü (äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè èìïåäàíñà) â ýòèõ ýëåìåíòàõ, ñëåäóåò óêàçûâàòü ÷àñòîòó è àìïëèòóäó òîêà, ïðèêîòîðûõ ïðîâåäåíû èçìåðåíèÿ.åøåíèÿ, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä, äîïóñêàþò ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî Z == Z0 eiψ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âåêòîðîì, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà Z0 . Óãîë, ñîñòàâëÿåìûé âåêòîðîì ñ âåùåñòâåííîé îñüþ, ðà40Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿâåí ψ . Êîìïëåêñíîå íàïðÿæåíèå E0 eiΩt èëè êîìïëåêñíûé òîê I0 ei(Ωt−ψ)ïðåäñòàâëÿþòñÿ ïîýòîìó âåêòîðàìè, âðàùàþùèìèñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω.Óäîáíî ïåðåéòè ê ñèñòåìå êîîðäèíàò,E0 cos Ωtêîòîðàÿñàìà âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîmkAñòüþ Ω.  ýòîé ñèñòåìå âåêòîðû E è IL, rLRCáóäóò íåïîäâèæíû.
Äëèíû âåêòîðîâ ïðî ïîðöèîíàëüíû àìïëèòóäíûì çíà÷åíèÿìVRíàïðÿæåíèÿ è òîêà. Âåêòîð I ïîâ¼ðíóòVL r VC îòíîñèòåëüíî E íà óãîë, ðàâíûé ñäâèãóàç ìåæäó íèìè. Òàêèå äèàãðàììû íàV L+ Rçûâàþòñÿ âåêòîðíûìè.Ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó íàèñ. 2.6. Ïîñëåäîâàòåëüíûé ïðÿæåíèé äëÿ êîíòóðà, èçîáðàæ¼ííîãîêîíòóðíà ðèñ. 2.6.
Ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ E0 cos Ωt ïîñëåäîâàòåëüíî ïîäêëþ÷åíû ðåçèñòîð R, êàòóøêàèíäóêòèâíîñòè L, äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü èìïåäàíñà êîòîðîé ðàâíà rL ,è ¼ìêîñòü C . ×åòûðå âîëüòìåòðà èçìåðÿþò íàïðÿæåíèÿ íà ýëåìåíòàõöåïè, àìïåðìåòð èçìåðÿåò òîê.Ïîñêîëüêó âî âñåõ ýëåìåíòàõ öåïè òåU L, ðåàêò÷¼ò îäèí è òîò æå òîê I , óäîáíî ïîëîæèòü> Uåãî àçó ðàâíîé íóëþ è îòñ÷èòûâàòü îò6 LU L+Ríå¼ àçû íàïðÿæåíèé íà âñåõ ýëåìåíòàõöåïè. Îòëîæèì âåêòîð I âäîëü îñè àáñE:öèññ (ðèñ. 2.7).IψÍàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå ñîâïàäàåò--ïîàçå ñ òîêîì, ïîýòîìó âåêòîð U R- Xòàêæå áóäåò íàïðàâëåí âäîëü îñè àáñU L, àêòURöèññ.
Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå (áåç?UCïîòåðü) îòñòà¼ò ïî àçå îò òîêà íà óãîëèñ. 2.7. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ψ = π/2, ïîýòîìó âåêòîð íàïðÿæåíèÿ U C(ïîñëåäîâàòåëüíûé êîíòóð) íàïðàâëåí âäîëü îòðèöàòåëüíîé îñè. Âåêòîðíîå ðàâåíñòâî íàïðÿæåíèé U L+R == U L + U R ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê ïî òð¼ì ñòîðîíàì. Ñäåëàåì äâå íàñå÷êè: ïåðâóþ ðàäèóñîì, ðàâíûì ìîäóëþ âåêòîðà U L+R , èçíà÷àëà âåêòîðà U R (íà÷àëà êîîðäèíàò); âòîðóþ ðàäèóñîì, ðàâíûììîäóëþ âåêòîðà U L , èç êîíöà âåêòîðà U R . Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ íàñå÷åêîïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå âåêòîðîâ U L+R è U L íà äèàãðàììå. Ñëîæèâ âåêòîðû U L+R è U C , ïîëó÷èì âåêòîð âõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå.Óãîë ψ ïîêàçûâàåò, êàêîâ ñäâèã àç ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì âöåïè.àçäåë II41àçëîæèì òåïåðü âåêòîð U L ïî îñÿì êîîðäèíàò. Ïðîåêöèÿ U L íà îñüàáñöèññ ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü UL, àêò íàïðÿæåíèå íà àêòèâíîé ÷àñòèèìïåäàíñà êàòóøêè, à ïðîåêöèÿ íà îñü îðäèíàò äà¼ò ðåàêòèâíóþ ÷àñòüUL, ðåàêò .
Ïîäåëèâ ýòè íàïðÿæåíèÿ íà òîê I , íàéä¼ì äåéñòâèòåëüíóþ÷àñòü èìïåäàíñà êàòóøêè rL è ìíèìóþ ΩL.3. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. åçîíàíñÑíîâà ðàññìîòðèì ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â ïîñëåäîâàòåëüíîì êîíòóðå (ðèñ. 2.5), ïîäñîåäèí¼ííîì ê âíåøíåé ÝÄÑ.Ïðîäèåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (2.34) ïî âðåìåíè:Ld2 IdI1+R+ I = −E0 Ω sin Ωt.2dtdtCàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà L è âîñïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèÿìè (2.7):ΩI¨ + 2γ I˙ + ω02 I = −E0 sin Ωt.(2.44)LÄëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä.
Çàìåíèì sin Ωt â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.44) íàeiΩt . Âìåñòî óðàâíåíèÿ (2.44) ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå â êîìïëåêñíîéîðìå:ΩIb̈ + 2γ Iḃ + ω02 Ib = −E0 eiΩt .(2.45)LÍàïîìíèì, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.45) ñêëàäûâàåòñÿ èç ðåøåíèÿ I1 îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, ïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî ðàâíà íóëþ, èëþáîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ I2 íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.Áóäåì èñêàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå (2.45) â êîìïëåêñíîì âèäå:Ib2 = Ib0 eiΩt ,(2.46)ãäå Ib0 êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêà.
Ïîäñòàâëÿÿ (2.46) â (2.45) èñîêðàùàÿ íà eiΩt , ïîëó÷èìIb0 =E0 ΩL.Ω2 − ω02 − 2iγΩ(2.47)Ïðåäñòàâèì çíàìåíàòåëü ýòîãî óðàâíåíèÿ â ïîêàçàòåëüíîé îðìå:Ω2 − ω02 − 2iγΩ = ρ0 eiψ .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìîäóëü ýòîãî âûðàæåíèÿ ðàâåíqρ0 = (ω02 − Ω2 )2 + (2γΩ)2 ,(2.48)(2.49)42Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿà àçà ψ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîétg ψ =2γΩ.ω02 − Ω2I0I0,E0 Ω i(Ωt−ψ)e,Ib2 =Lρ0I2 = Im Ib2 =E0 Ωsin(Ωt − ψ).Lρ0(2.50)åøåíèå I1 îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (óðàâíåíèÿ (2.45) ñ íóëåâîé ïðàâîé÷àñòüþ) ïðè γ < ω0 ìîæíî çàïèñàòü (ñì. (2.20)) â âèäåI1 = Be−γtsin(ωt − θ).(2.51)Îáùåå ðåøåíèå (2.45) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé I1 è I2 . Ñ ïîìîùüþ (2.50) è(2.51) ïîëó÷àåìI = Be−γt sin(ωt − θ) +E0 Ωsin(Ωt − ψ).Lρ0(2.52)Ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò äâå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå B è θ, êîòîðûåîïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.Ôîðìóëà (2.52) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ïîäêëþ÷åíèè êîíòóðà ê ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ â í¼ì âîçíèêàþò êîëåáàíèÿ äâóõ ÷àñòîò: ñîáñòâåííûåñ ÷àñòîòîé ω è âûíóæäåííûå ñ ÷àñòîòîé âíåøíåãî èñòî÷íèêà Ω.
Àìïëèòóäà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé Be−γt çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèéè ïîñòåïåííî çàòóõàåò. Ñî âðåìåíåì îíà ñòàíîâèòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé, è â êîíòóðå îñòàþòñÿ òîëüêî âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ, àìïëèòóäàêîòîðûõ íå çàâèñèò îò âðåìåíè è, â ñóùåñòâåííîé ìåðå, îïðåäåëÿåòñÿîòíîøåíèåì Ω/ω0 . Äåéñòâèòåëüíî, àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèéðàâíàE0 /(2γL)E0 Ω/LE0 Ω=r= p 2I0 =2 2 . (2.53)222Lρ0(ω0 − Ω ) + (2γΩ)ω0ω0Ω1 + Ω − ω02γÏðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû Ω âíåøíåãî èñòî÷íèêà ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé êîíòóðà ω0 âîçíèêàåò ðåçîíàíñ.
Àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé I0, ðåç â ðåçîíàíñå äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ:I0,ðåç=E0E0=.2γLR43ðàèê çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé I0 îò ÷àñòîòû âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ Ω íîñèò íàçâàíèå ðåçîíàíñíîé êðèâîé. Èç(2.53), (2.54) èìååìÏîäñòàâëÿÿ (2.47) è (2.48) â (2.46), íàéä¼ìè, ñëåäîâàòåëüíî,àçäåë II(2.54)ðåç= r1+Q21ω0ΩÓðàâíåíèå (2.55) îïðåäåëÿåò îðìó ðåçîíàíñíîé êðèâîé. Øèðèíà ýòîé êðèâîé(ðèñ. 2.8) çàâèñèò îò äîáðîòíîñòè êîíòóðà. Ïðè Q ≫ 1 ðåçîíàíñíûé ìàêñèìóìîêàçûâàåòñÿ óçêèì, à â îáëàñòè ðåçîíàíñà, ãäå−Ωω0(2.55)2 .I0I0, ðåç1√126-- Q = 20Q = 50∆Ω|Ω − ω0 |≡≪ 1,ω0ω010,95-1,05èñ.
2.8. åçîíàíñíûåîðìóëà (2.55) ïðèíèìàåò áîëåå ïðîñòîéâèä:I01=r2 .I0, ðåç2∆Ω21+Qω0Ωω0êðèâûå(2.56)×àùå âñåãî îðìó ðåçîíàíñíîé√ êðèâîé õàðàêòåðèçóþò øèðèíîé 2∆Ω,èçìåðåííîé íà óðîâíå I0, ðåç / 2. Ïîäñòàâëÿÿ â (2.56) âåëè÷èíó1I0= √ ,I0, ðåç2íàéä¼ì, ÷òî øèðèíà êðèâîé è äîáðîòíîñòü êîíòóðà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìQ=ω0.2∆Ω(2.57)IUi?IC IL L?Càññìîòðèì òåïåðü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿrLâ ïàðàëëåëüíîì êîíòóðå, îäíà èç âåòâåé êîòîðîãî ñîäåðæèò èíäóêòèâíîñòü L, à äðóãàÿ ¼ìêîñòü C (ðèñ. 2.9). Òàêîé êîíòóð øèðîêî èñïîëüÏàðàëëåëüíûéçóåòñÿ â ðàäèîòåõíèêå íàïðèìåð, â êà÷åñòâå èñ.
2.9. êîíòóðíàãðóçêè øèðîêîïîëîñíîãî óñèëèòåëÿ.Îáîçíà÷èì ÷åðåç rL àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè. Àêòèâíûìñîïðîòèâëåíèåì ¼ìêîñòíîé âåòâè êîíòóðà îáû÷íî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.44Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿàññìîòðèì óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ â êîíòóðå, êîãäà íàïðÿæåíèåíà í¼ì ìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó: UC = U0 cos Ωt.Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé (èìïåäàíñîâ)èíäóêòèâíîé è ¼ìêîñòíîé âåòâåé êîíòóðà:ZL = rL + iΩLèZC =1.iΩCÒîãäà ïîëíûé èìïåäàíñ êîíòóðà ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ ïàðàëëåëüíûõ ñîïðîòèâëåíèé:1111+==+ iΩC =ZZLZCrL + iΩL1 − (Ω/ω0 )2 + irL ΩC1 − Ω2 LC + irL ΩC=,=rL + iΩLrL + iΩLãäå ω0 ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà (ω02 = 1/(LC)). ðåçîíàíñå, êîãäà ÷àñòîòà âíåøíåé âûíóæäàþùåé ñèëû ñîâïàäàåòñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé (Ω = ω0 ),1LrLL.−i=1−iZðåç =rL Cω0 CCrLω0 LÑîïðîòèâëåíèå êîíòóðà ðàâíî ìîäóëþ èìïåäàíñà Z :s2LrLRðåç = Z0,ðåç =1+.CrLω0 LÑäâèã àç ìåæäó ïîëíûì òîêîì â öåïè è íàïðÿæåíèåì îïðåäåëÿåòñÿîòíîøåíèåì ìíèìîé ÷àñòè èìïåäàíñà ê äåéñòâèòåëüíîé:tg ψ =rL.ω0 L ñëó÷àå, êîãäà àêòèâíàÿ ÷àñòü èìïåäàíñà èíäóêòèâíîé âåòâè ìíîãîìåíüøå ðåàêòèâíîé (rL ≪ ω0 L),Rðåç =L.CrL(2.58)åàêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ îáåèõ âåòâåé êîíòóðà ïðè ðåçîíàíñå ðàâíû,ïîýòîìó, ââåäÿ îáîçíà÷åíèårL1=,ρ = ω0 L =(2.59)ω0 CCàçäåë II45ìîæíî çàïèñàòü:Rðåç =ρ2ω02 L21==.2rLrL ω0 C 2rL(2.60)åàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ρ îäíà èç õàðàêòåðèñòèê ðåçîíàíñíîãî êîíòóðà, íå çàâèñÿùàÿ îò ÷àñòîòû âíåøíåãî èñòî÷íèêà.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äîáðîòíîñòü êîíòóðà Q ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåçàêòèâíîå è ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèÿ:ω0 L1ρ== ,rLrL ω0 CrLQ=(2.61)ïîëó÷èì åù¼ îäíó óäîáíóþ äëÿ ðàñ÷¼òîâ ðåçîíàíñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿîðìóëó:Rðåç = Q · ρ.(2.62)Ïðè ðåçîíàíñå çíà÷åíèÿ òîêîâ â âåòâÿõ êîíòóðà IL, ðåç , IC, ðåç è ïîëíîãî òîêà â êîíòóðå Iðåç ñâÿçàíû ñ íàïðÿæåíèåì íà êîíòóðå ïðîñòûìèñîîòíîøåíèÿìè:U0U0IL, ðåç =(2.63)=;ω0 LρU0;IC, ðåç = U0 ω0 C =(2.64)ρU0Iðåç =(2.65).QρÈç ýòèõ âûðàæåíèé âèäíî, ÷òî ïðè ðåçîíàíñå òîêè â èíäóêòèâíîé è¼ìêîñòíîé âåòâÿõ êîíòóðà îäèíàêîâû è â Q ðàç áîëüøå òîêà â îáùåéöåïè:IC, ðåçIL, ðåçQ==.(2.66)IðåçIðåçÏàðàëëåëüíûé êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâåíàãðóçî÷íîãî ñîïðîòèâëåíèÿ â öåïè ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé òîêà.
Íàéä¼ì óðàâíåíèå ðåçîíàíñíîé êðèâîé äëÿ íàïðÿæåíèÿ íà òàêîì êîíòóðå.Èìïåäàíñ ïàðàëëåëüíîãî êîíòóðàZ=rL + iΩL.1 − (Ω/ω0 )2 + irL ΩC ñëó÷àå, êîãäà Ω ≫ rL /L, ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðàZ0 = qΩL.21 − (Ω/ω0 )2 + (rL ΩC)246Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿÈñïîëüçóåì ýòî âûðàæåíèå äëÿ âûÿâëåíèÿ ÷àñòîòíûõ ñâîéñòâ ïàðàëëåëüíîãî êîíòóðà, èñïîëüçóåìîãî â êà÷åñòâå íàãðóçî÷íîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
