МУ Относительно относительности (1188449), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî òåïåðü ïðîìåæóòêè âðåìåíèáóäóò ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìs1 + vcτ = τ0.1 − vc íàøåì ñëó÷àå ÷àñû íà ýêðàíå ïîéäóò âäâîå ìåäëåííåå ñîáñòâåííûõ. Îòìåòèì, ÷òî ýòî îòíîøåíèå íå ðàâíî γ è â ñëó÷àå óäàëåíèÿ êîðàáëåé äðóãîò äðóãà.N×àñòîòà ñèãíàëîâ âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ïðîìåæóòêàì âðåìåíè ìåæäóäâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèõîäÿùèìè ñèãíàëàìè: ν = 1/T .
Çíà÷èò, äëÿ èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû â ýòèõ óñëîâèÿõ ïîëó÷èì: â ñëó÷àå ñáëèæåíèÿ èñòî÷íèêàè ïðè¼ìíèêàs1 + vcν = ν0;1 − vcâ ñëó÷àå óäàëåíèÿ äðóã îò äðóãà èñòî÷íèêà è ïðè¼ìíèêàs1 − vc.ν = ν01 + vcÌû ïîëó÷èëè ðåëÿòèâèñòñêèå îðìóëû äëÿ ýåêòà, êîòîðûé îòêðûëÄîïëåð (1842), ñìåùåíèÿ ÷àñòîòû ñèãíàëà ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèèèñòî÷íèêà è íàáëþäàòåëÿ.Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëí â ìàòåðèàëüíîé ñðåäå âåëè÷èíà äîïëåðîâñêîãî ñäâèãà ÷àñòîòû çàâèñèò îò òîãî, êòî èìåííî äâèæåòñÿ.Ïðè äâèæåíèè èñòî÷íèêàν0ν=,1 ∓ vs16ïðè äâèæåíèè íàáëþäàòåëÿvν = ν0 1 ±,sãäå s ñêîðîñòü, íàïðèìåð, çâóêà â âîçäóõå, è â îáåèõ îðìóëàõ âåðõíèéçíàê îòâå÷àåò óìåíüøåíèþ, à íèæíèé óâåëè÷åíèþ ðàññòîÿíèÿ ìåæäóèñòî÷íèêîì è íàáëþäàòåëåì. È, êîíå÷íî, îáå ýòè îðìóëû ñïðàâåäëèâûòîëüêî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè.Ïðè ìàëûõ (ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñèãíàëà) ñêîðîñòÿõ âñå ðàçëè÷èÿ ñêðàäûâàþòñÿ, è ñäâèã ÷àñòîòû ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûì ∆ν = ±ν0 v/c(èëè ±ν0 v/s).Âñå òîëüêî ÷òî ïðèâåä¼ííûå îðìóëû îòíîñÿòñÿ ê òàê íàçûâàåìîìóïðîäîëüíîìó ýåêòó Äîïëåðà (òåëà ñáëèæàþòñÿ èëè óäàëÿþòñÿ äðóã îòäðóãà, èõ ñêîðîñòè íàïðàâëåíû ïî ñîåäèíÿþùåé òåëà ïðÿìîé).àññìîòðèì äðóãîé êðàéíèé ñëó÷àé: ñêîðîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà ñîåäèíÿþùåé òåëà ïðÿìîé.
Íàïðèìåð, îäíî èç ðàññìàòðèâàåìûõ òåë îáðàùàåòñÿ âîêðóã äðóãîãî ïî êðóãîâîé îðáèòå. Ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîéìåõàíèêè â äàííîì ñëó÷àå äîïëåðîâñêîãî ñäâèãà ÷àñòîòû íå äîëæíî áûòü.àññòîÿíèå ìåæäó èñòî÷íèêîì è ïðè¼ìíèêîì íå ìåíÿåòñÿ, âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà îò èñòî÷íèêà ê ïðèåìíèêó òàêæå íå ìåíÿåòñÿ, ñèãíàëûïðèõîäÿò ðîâíî ÷åðåç òàêèå ïðîìåæóòêè âðåìåíè, ÷åðåç êàêèå îíè èçëó÷àþòñÿ.ÑÒÎ, îäíàêî, óòâåðæäàåò, ÷òî ÷àñû íà ¾öåíòðàëüíîì òåëå¿ è íà ¾ñïóòíèêå¿ èäóò ïî-ðàçíîìó. Ïðè¼ìíèê çàèêñèðóåò áîëåå íèçêóþ ÷àñòîòó, ïðè÷¼ì îòíîøåíèå ÷àñòîò ðàâíî ν/ν0 = 1/γ = (1 − β 2 )1/2 è, êîíå÷íî, íå çàâèñèò îò òîãî, ãäå ðàñïîëîæåí èñòî÷íèê, à ãäå ïðè¼ìíèê.
Ñîîòâåòñòâåííîïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ îòíîñèòåëüíûé ñäâèã ÷àñòîòû â ïîïåðå÷íîì ýåêòåÄîïëåðà ðàâåí ∆ν/ν = −v 2 /(2c2 ), òî åñòü èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòèïî v/c (ñì., îäíàêî, ïðèëîæåíèå 2, â òîì ÷èñëå çàäà÷ó 10). îáùåì ñëó÷àå, åñëè ñêîðîñòü èñòî÷íèêà, èçëó÷àþùåãî ÷àñòîòó ν0 ,ñîñòàâëÿåò óãîë ϕ ñ íàïðàâëåíèåì íà èñòî÷íèê, íàáëþäàòåëü âîñïðèìåò÷àñòîòóp1 − β2ν = ν0.1 + β cos ϕÂâèäó òîãî, ÷òî ïî Ëîðåíöó (â îòëè÷èå îò àëèëåÿ) ïðåîáðàçóåòñÿ, êðîìå êîîðäèíàò, åù¼ è âðåìÿ, çàìåòíî ìåíÿåòñÿ çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.Åñëè â ñèñòåìå K òåëî äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v , èìåþùåé ñîñòàâëÿþùèåïî îñÿì êîîðäèíàò vx , vy è vz , à ñèñòåìà K ′ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ Vâäîëü îñè X , äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè òåëà â ñèñòåìå K ′ ïîëó÷àåì:vx′ =dx′Γ(dx − V dt)v −V = x Vv ;= dt′Γ dt − cV2 dx1 − c2x17vy′dy == Γ dt − cV2 dxvz′ =dz =Γ dt − cV2 dxvyq1−V2c21 − Vcv2xq2vz 1 − Vc21−V vxc2;(7).Õîòÿ êîîðäèíàòû y ′ è z ′ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî y è z , ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè ïî ýòèì îñÿì â ðàçíûõ ñèñòåìàõ ðàçëè÷íû, ò.ê.
ðàçëè÷àþòñÿ òåìïûòå÷åíèÿ âðåìåíè.Íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåîæèäàííûì àêò, ÷òî åñëè vx ïî ìîäóëþ ðàâíàñêîðîñòè ñâåòà c, òî ýòà âåëè÷èíà íå èçìåíèòñÿ ïðè ïåðåõîäå â ëþáóþ äðóãóþ ñèñòåìó îòñ÷¼òà. Âåäü èìåííî èíâàðèàíòíîñòü ñêîðîñòè ñâåòà ÿâëÿåòñÿêðèòåðèåì ñïðàâåäëèâîñòè ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.Åñëè ñêîðîñòè ñâåòà ðàâíà, íàïðèìåð, ñîñòàâëÿþùàÿ vy (vx = vz == 0), òî vy′ íå áóäåò ðàâíà c, íî ìîäóëü ïîëíîé ñêîðîñòè êàê ðàç îêàæåòñÿðàâíûì ñêîðîñòè ñâåòà.Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà îäèí èç îñíîâíûõ çàêîíîâ ïðèðîäû; îíîòðàæàåò îäíîðîäíîñòü ïðîñòðàíñòâà.  ìèðå Ìèíêîâñêîãî îäíîðîäíîñòüïðîñòðàíñòâà ñîõðàíÿåòñÿ. Âèäèìî, äîëæåí áûòü ïî-ïðåæíåìó ñïðàâåäëèâçàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â çàìêíóòîé ñèñòåìå. Îäíàêî ýòî òðåáóåò îïðåäåë¼ííîé êîððåêòèðîâêè âûðàæåíèÿ äëÿ èìïóëüñà òåëà.àññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé.
Äâà îäèíàêîâûõ òåëà (ìàññà êàæäîãî ðàâíà m) äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, èìåÿ â íåêîòîðîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà Kðàâíûå ñêîðîñòè. Òî åñòü vxA = −vxB , vyA = −vyB . Ïðè ñòîëêíîâåíèè òåëà îáúåäèíÿþòñÿ â åäèíîå öåëîå ñëèïàþòñÿ.  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîìñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà îáðàçîâàâøååñÿ òåëî äîëæíî ïîêîèòüñÿ.  ÷àñòíîñòè, åãî êîîðäèíàòà y òåïåðü äîëæíà áûòü íåèçìåííîé.  ëþáîé äðóãîéñèñòåìå K ′ , ñîáûòèÿ â êîòîðîé ñâÿçàíû ñ ñîáûòèÿìè â ñèñòåìå K ïðåîáðàçîâàíèÿìè (3) (4), êîîðäèíàòà y ′ òîæå äîëæíà ñòàòü ïîñòîÿííîé.àññìîòðèì ñèòóàöèþ äî ñòîëêíîâåíèÿ â ñèñòåìå K ′ .
Ñîãëàñíî îðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé (7) ïîëó÷àåì:q2vyB 1 − Vc2′vyB =;1 − V cv2xBqq22vyB 1 − Vc2vyA 1 − Vc2′=−.vyA =1 − V cv2xA1 + V cv2xBÌîäóëè y -ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòåé òåïåðü îêàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûìè,è åñëè ìû ïîïðîáóåì ñîõðàíèòü êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ èìïóëüñà,18â ÷àñòíîñòè py = mvy , ñóììàðíàÿ y -ñîñòàâëÿþùàÿ èìïóëüñà äâóõ ÷àñòèö îêàæåòñÿ íå ðàâíîé íóëþ.
Òîãäà ïîñëå ñëèïàíèÿ îáðàçîâàâøååñÿ òåëîäîëæíî èìåòü îòëè÷íóþ îò íóëÿ ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè ïî îñè y .Âèäèìî, íàäî èçìåíÿòü âûðàæåíèå äëÿ èìïóëüñà òåëà.Äëÿ òîãî ÷òîáû äîãàäàòüñÿ, êàê èìåííî åãî íàäî èçìåíèòü, ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó. Óñòàíîâèì íà êàæäîì èç òåë ÷àñû. Îíè áóäóòïîêàçûâàòü ñîáñòâåííîå âðåìÿ äàííîãî òåëà.
Òåïåðü áóäåì èêñèðîâàòüêîîðäèíàòó òåëà y â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ èç íàáîðà, ñâÿçàííîãî ñîîòíîøåíèÿìè (3) (4), è îòìå÷àòü ñîáñòâåííîå âðåìÿ t0 , êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåòýòîìó çíà÷åíèþ y . Çàïèøåì ¾ãèáðèäíóþ¿ ñêîðîñòü vy∗ = dy/dt0 . Òàê êàêêîîðäèíàòà y íå ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò ñèñòåìû ê ñèñòåìå, à âðåìÿìû èêñèðóåì ïî ñîáñòâåííûì ÷àñàì òåëà, âî âñåõ ñèñòåìàõ ìû äîëæíûïîëó÷èòü îäíî è òî æå çíà÷åíèå vy∗ . Ìû çíàåì, ÷òî ïðîìåæóòêè âðåìåíè dtïî ÷àñàì ñèñòåìû, â êîòîðîé òåëî äâèæåòñÿ, è ïðîìåæóòêè dt0 , îòñ÷èòàííûå ïî ñîáñòâåííûì ÷àñàì, ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (6).
Ïðèìåíèòåëüíîê íàøåìó ñëó÷àþ dt0 = dt/γ .Ñëåäîâàòåëüíî, âî âñåõ ñèñòåìàõ íàøåãî íàáîðà âåëè÷èíà γ dy/dt == dy/dt0 áóäåò èìåòü îäíî è òî æå çíà÷åíèå.ßñíî, ÷òî ðàâåíñòâî íå íàðóøèòñÿ, åñëè îáå åãî ÷àñòè óìíîæèòü íàîäíó è òó æå âåëè÷èíó m. Ïðèìåíèòåëüíî ê íàøåé çàäà÷å (î ñëèïàíèè äâóõòåë) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîìáèíàöèè γmvy ó äâóõ ÷àñòèö áóäóò ðàâíûìè ïîìîäóëþ â ëþáîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà.Åñòåñòâåííî èìåííî ýòó âåëè÷èíó ïðèíÿòü çà y -ñîñòàâëÿþùóþ èìïóëüñà. Îáîáùàÿ, îïðåäåëèì ðåëÿòèâèñòñêèé èìïóëüñ âûðàæåíèåìmv,p = γmv = q21 − vc2(8)ãäå v ñêîðîñòü òåëà â òîé ñèñòåìå, â êîòîðîé ìû âû÷èñëÿåì èìïóëüñ.Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî îïðåäåë¼ííûé òàêèì îáðàçîì èìïóëüñ îáëàäàåòîñíîâíûìè ñâîéñòâàìè, ïðèñóùèìè âåëè÷èíå mv â ìåõàíèêå Íüþòîíà: îíñîõðàíÿåòñÿ â çàìêíóòûõ ñèñòåìàõ òåë, à ñêîðîñòü åãî èçìåíåíèÿ ðàâíàñèëå, äåéñòâóþùåé íà òåëî.Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îïðåäåëåíèþ ñâÿçè óñêîðåíèÿ òåëà ñ äåéñòâóþùåé íà íåãî ñèëîé, îáðàòèì âíèìàíèå íà äâà îáñòîÿòåëüñòâà.Âî-ïåðâûõ, è â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñèëà â îáùåì ñëó÷àå ðàâíà íåïðîèçâåäåíèþ ìàññû íà óñêîðåíèå, à èìåííî ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ èìïóëüñà.Âî-âòîðûõ, õîòÿ â çíàìåíàòåëå (8) ñòîèò êâàäðàò ìîäóëÿ ñêîðîñòè, ñàìà ïî ñåáå ñêîðîñòü âåëè÷èíà âåêòîðíàÿ, è îá ýòîì íåëüçÿ çàáûâàòü,â ÷àñòíîñòè, ïðè äèåðåíöèðîâàíèè âûðàæåíèÿ äëÿ èìïóëüñà.
Ñ ó÷¼òîì19ýòèõ çàìå÷àíèé èìååì:F =dvdγdp= γm+ mv=dtdtdt"#11mdv2v dv⇒+ mv −= q−22 (1 − vc22 )3/2c2 dt1 − vc2 dtmF = mγa + 2 γ 3 v(va),(9)cãäå a = dv/dt.Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ÿñíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå óñêîðåíèÿ aíå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ñèëû F .Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (9) ñêàëÿðíî íà v , ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èìvF = mγ 3 (va).Èñïîëüçóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå, ïðåîáðàçóåì (9) ê âèäómγa = F −v(vF ).c2(10)Ïðè çàïèñè ñâÿçè ñèëû è óñêîðåíèÿ â òàêîé îðìå íàãëÿäíî âèäíî, ÷òîóñêîðåíèå â îáùåì ñëó÷àå èìååò äâå ñîñòàâëÿþùèå: ïî íàïðàâëåíèþ ñèëû è ïî íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè (èëè ïðîòèâîïîëîæíî ýòîìó íàïðàâëåíèþ,åñëè vF > 0).
Íàïðàâëåíèå óñêîðåíèÿ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ñèëûòîëüêî â äâóõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ:F = mγ 3 a, åñëè F k v;(11)åñëè F ⊥ v.(12)F = mγa,ßñíî, ÷òî íèêàêàÿ ÷àñòèöàR êîíå÷íîé (íåíóëåâîé) ìàññû íè ïðè êàêîì êîíå÷íîì èìïóëüñå ñèëû ( F dt) íå ìîæåò áûòü ðàçîãíàíà äî ñêîðîñòè ñâåòà.Ñêîðîñòü ñâåòà ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ñêîðîñòüþ äëÿ òåë. Äëÿ ñèñòåì îòñ÷¼òà ýòî ìîæíî áûëî óñìîòðåòü óæå èç îðìóë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà(3) (4) (ñì. òàêæå Ïðèëîæåíèå 3).Äëÿ ðàáîòû ñèëû, òî åñòü äëÿ èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òåëà,ñîõðàíÿåòñÿ âûðàæåíèådA = dK = F dS = F vdt.Îãðàíè÷èâàÿñü ñëó÷àåì äåéñòâèÿ ñèëû âäîëü íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè,ñ ó÷¼òîì (11) ïîëó÷àåìdK = F vdt = mγ 3 vadt = mγ 3 vdv.20Òîãäà äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè èìååì:v2ZvZv2 d 1 − c22mcm d(v )K== −=22 1 − v2 3/22(1 − vc2 )3/20c20mc2− mc2 = (γ − 1)mc2 .= qv21 − c2(13)Âûðàæåíèå (13) òðàêòóåòñÿ òàê: ýíåðãèÿ òåëà E = γm c2 ñëàãàåòñÿ èçêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è ýíåðãèè ïîêîÿ E0 = m c2 .Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñïðàâåäëèâ èìåííî äëÿ âåëè÷èíû E .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
