МУ Относительно относительности (1188449), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Òîãäà èíòåðâàë çàïèøåòñÿ â ñèììåòðè÷íîé îðìå:4X∆x2i ,s2 = −i=1ãäå x1 = x, x2 = y , x3 = z , x4 = ict.Ñóùåñòâóåò ëèøü òî,÷òî ìîæíî èçìåðèòü,âçâåñèòü è ñîñ÷èòàòü.. Äåêàðò ïîïûòêàõ îïðåäåëèòü, ÷òî òàêîå âðåìÿ, ìû íå ñëèøêîì äàëåêî óøëèîò Áëàæåííîãî Àâãóñòèíà: ¾ß ïðåêðàñíî çíàþ, ÷òî òàêîå âðåìÿ, ïîêà íåäóìàþ îá ýòîì, íî ñòîèò ìíå çàäóìàòüñÿ è âîò ÿ óæå íå çíàþ, ÷òî æåòàêîå âðåìÿ.¿ Äàæå Íüþòîí íå ñìîã ñêàçàòü î ñóùíîñòè âðåìåíè íè÷åãîáîëåå âíÿòíîãî, ÷åì òî, ÷òî îíî ¾èíà÷å íàçûâàåòñÿ äëèòåëüíîñòüþ¿.Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ íàèáîëåå îáùèå ïîíÿòèÿ èçèêè, èõ íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü ïî Àðèñòîòåëþ óêàçàòü áîëåå îáùåå ïîíÿòèå è îòëè÷èòåëüíûå ïðèçíàêè îïðåäåëÿåìîãî.
Ôèçè÷åñêèé ýíöèêëîïåäè÷åñêèé ñëîâàðü [7℄ îïðåäåëÿåò âðåìÿ êàê îñíîâíóþ îðìó ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåðèè,7âûðàæàþùóþ ïîðÿäîê ñìåíû ÿâëåíèé. Óâû, êàê ìû óâèäèì ÷óòü ïîçæå,â ìèðå ÑÒÎ äàæå ¾ïîðÿäîê ÿâëåíèé¿ ìîæåò çàâèñåòü îò ñèñòåìû îòñ÷¼òà.Ñëåäóÿ äóõó Äåêàðòà, ïîïðîáóåì ¾îïðåäåëèòü¿ âðåìÿ è ðàññòîÿíèå(ïðîñòðàíñòâî) ÷åðåç ïðîöåäóðû èõ èçìåðåíèÿ.Íåïîíèìàþùèå ëþäè çàÿâëÿþò:ïîçâîëüòå, âû ïåðåâåðíóëè íàøèïîíÿòèÿ î âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå.ß áû ñêàçàë íàîáîðîò: ó âàñ íå áûëî ÷¼òêèõ è îïðåäåë¼ííûõ ïîíÿòèéâðåìåíè è ïðîñòðàíñòâà.Ýéíøòåéí èõ äàë.Ë.È. ÌàíäåëüøòàìÍà ïåðâûé âçãëÿä ïðåäñòàâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî î÷åâèäíûì, êàê íàäî èçìåðÿòü ïðîìåæóòêè âðåìåíè è ðàññòîÿíèÿ.
¾Íàèâíîìó¿ Ýéíøòåéíó ýòîíå êàçàëîñü î÷åâèäíûì. Àíàëèç ïðîöåäóðû èçìåðåíèé îäíî èç âàæíåéøèõ äîñòèæåíèé Ýéíøòåéíà. Ïîïðîáóåì âîñïðîèçâåñòè åãî ðàññóæäåíèÿ,èñïîëüçóÿ, îäíàêî, ñîâðåìåííûå ýòàëîíû åäèíèö âðåìåíè è äëèíû.Èòàê, íà÷í¼ì ñ òîãî, ÷òî ¾âîçüì¼ì¿ èçîòîï öåçèÿ ñ àòîìíîé ìàññîé,ðàâíîé 133. Áóäåì íàáëþäàòü åãî èçëó÷åíèå. ¾Îòñ÷èòàåì¿ ÷óòü áîëüøåäåâÿòè ìèëëèàðäîâ (òî÷íî 9 192 631 770) ¾ïåðèîäîâ èçëó÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ïåðåõîäó ìåæäó äâóìÿ óðîâíÿìè ñâåðõòîíêîé ñòðóêòóðû îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà¿ (ñëåäîâàëî áû îòìåòèòü ïîêîÿùåãîñÿ àòîìà), èñêàæåì, ÷òî ïðîøëà åäèíèöà âðåìåíè ñåêóíäà.
àññòàâèì ïî ñèñòåìåîòñ÷¼òà ÷àñû è âûâåðèì èõ õîä ïî ýòîìó ýòàëîíó.Íàäî åù¼ ñîãëàñîâàòü íà÷àëî îòñ÷¼òà âðåìåíè ñèíõðîíèçîâàòü ÷àñû. Ïðèìåì çà îáðàçåö, íàïðèìåð, ÷àñû, íàõîäÿùèåñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò.Êàæäûé ¾õðàíèòåëü âðåìåíè¿ ïîøëåò îò ñâîèõ ÷àñîâ ñâåòîâîé ñèãíàë â íà÷àëî êîîðäèíàò, ïðèìåò îòðàæ¼ííûé îò íà÷àëà êîîðäèíàò ñèãíàë è çàèêñèðóåò âðåìÿ îáîèõ ñîáûòèé (îòïðàâëåíèÿ ñèãíàëà è åãî âîçâðàùåíèÿ) ïîñâîèì ÷àñàì.
Êîãäà áóäåò ïîëó÷åíà èíîðìàöèÿ î âðåìåíè ïðèõîäà ýòîãîñèãíàëà â íà÷àëî êîîðäèíàò (ïî íàõîäÿùèìñÿ òàì ýòàëîííûì ÷àñàì), ìîæíî áóäåò ñîãëàñîâàòü ïîêàçàíèÿ ÷àñîâ, ò.ê. â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòóëàòîì IIâðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà ê îáðàçöó è îáðàòíî îäíî è òî æå.Çàìåòèì, ÷òî ïðîöåäóðà, ïðåäóñìàòðèâàþùàÿ ñèíõðîíèçàöèþ ÷àñîâ ïîâðåìåíè ïðèõîäà ñèãíàëà èç òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íà ñåðåäèíå îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ñèíõðîíèçóåìûå ÷àñû, íàì íå ïîäõîäèò, òàê êàê ìû åù¼ ¾íåíàó÷èëèñü èçìåðÿòü ðàññòîÿíèÿ¿. Ïîñòóëàò II ïîìîæåò íàì ýòîìó íàó÷èòüñÿ.Òàê êàê ìû óæå çíàåì, ÷òî òàêîå ñåêóíäà, îòìåòèì òî÷êè, ðàññòîÿíèåìåæäó êîòîðûìè ñâåò ïðîõîäèò ðîâíî çà îäíó ñåêóíäó, è áóäåì ñ÷èòàòü ýòîðàññòîÿíèå ðàâíûì 300 ìèëëèîíàì (òî÷íî 299 792 458) åäèíèö äëèíû 8ìåòðîâ.Òåïåðü â íàøåé ñèñòåìå èìåþòñÿ íåïîäâèæíûå ÷àñû è ëèíåéêè.  ëþáîé äðóãîé ñèñòåìå ìîæíî ïðîâåñòè òó æå ïðîöåäóðó, è ÷àñû è ëèíåéêèâòîðîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà äîëæíû áûòü íåïîäâèæíûìè îòíîñèòåëüíî ñâîåéñèñòåìû.Òîãäà, ñîãëàñíî ïåðâîìó ïîñòóëàòó, âñå ñîáûòèÿ, ïðîèñõîäÿùèå âî âòîðîé ñèñòåìå, áóäóò ïðîèñõîäèòü òî÷íî òàê æå, êàê ïðîèñõîäÿò â àíàëîãè÷íîé ñèòóàöèè ñîáûòèÿ â ïåðâîé ñèñòåìå, åñëè èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ¾ñâîèìè¿ ÷àñàìè è ëèíåéêàìè, ò.å.
íåïîäâèæíûìè îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà.pÍåïîäâèæíûå ëèíåéêè äàþò âîçìîæíîñòüïðîèçâîäèòü âïðÿìóþ îáìåðû òîëüêî íåïîäâèæíûõ ïðåäìåòîâ. Êàê æå èçìåðèòü äëèíó äâèæóùåãîñÿ ñòåðæíÿ? Áåæàòü ñ ëèíåéêîéâ ðóêàõ ðÿäîì ñî ñòåðæíåì íåëüçÿ: òåì ñàìûììû áû àêòè÷åñêè ïåðåøëè â äðóãóþ ñèñòåìó îòñ÷¼òà, èìåííî â òó, â êîòîðîé ñòåðæåíü íåïîäâèæåí.Ýéíøòåéí ïðåäëàãàåò ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó. Çàèêñèðóåì îäíîâðåìåííî (tA = tB ) ïîëîæåíèÿ êîíöîâ ñòåðæíÿ; ïîëàãàåì, ÷òî ñòåðæåíü îðèåíòèðîâàí ïî îñè x, âäîëü êîòîðîé íàïðàâëåíà åãî ñêîðîñòü. Òîãäà xA − xB == l åñòü äëèíà ñòåðæíÿ â ñèñòåìå, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé îí äâèæåòñÿ. Ïðèýòîì åãî äëèíà â ¾ñâîåé¿ ñèñòåìå (äëèíà íåïîäâèæíîãî ñòåðæíÿ) ðàâíàxA − xB= Γl = γl,t′ = x′A − x′B = q21 − Vc2ãäå áóêâàìè ¾ãàììà¿ îáîçíà÷åíû ðåëÿòèâèñòñêèå ìíîæèòåëè (Ëîðåíöàêòîðû ): Γ = (1 − V 2 /c2 )−1/2 äëÿ äâèæóùåéñÿ ñèñòåìû îòñ÷¼òà è γ == (1 − v 2 /c2 )−1/2 äëÿ ñàìîãî ñòåðæíÿ (â äàííîì ñëó÷àå ñîâïàäàþùèå, ò.ê.ñêîðîñòè ñèñòåìû V è ñòåðæíÿ v ðàâíû).
Îáû÷íî, îáîçíà÷àÿ ÷åðåç l0 äëèíóíåïîäâèæíîãî ñòåðæíÿ, èíà÷å íàçûâàåìóþ åãî ¾ñîáñòâåííîé¿ äëèíîé,ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå çàïèñûâàþò â âèäål0 = γl.(5)Îòìåòèì òðè îáñòîÿòåëüñòâà. Âî-ïåðâûõ, ìîìåíòû èêñàöèè ïîëîæåíèÿ êîíöîâ ñòåðæíÿ â ñèñòåìå K ′ íå ñîâïàäàþò: t′A 6= t′B . Ýòî, îäíàêî, íåèãðàåò ðîëè, ò.ê. â ýòîé ñèñòåìå ñòåðæåíü íåïîäâèæåí, x′A è x′B íå çàâèñÿòîò âðåìåíè.Âî-âòîðûõ, ò.ê.
Γ è γ âñåãäà áîëüøå åäèíèöû, ñîáñòâåííàÿ äëèíà ñòåðæíÿ ìàêñèìàëüíà. Èçìåðåíèÿ åãî äëèíû â ëþáîé äðóãîé ñèñòåìå äàäóòìåíüøóþ âåëè÷èíó. Ýòîò ýåêò íîñèò íàçâàíèå ðåëÿòèâèñòñêîãî ñîêðàùåíèÿ äëèí (ñîêðàùåíèå ËîðåíöàÔèòöäæåðàëüäà).9Â-òðåòüèõ, äëèíà äâèæóùåãîñÿ ñòåðæíÿ, èçìåðåííàÿ ïî Ýéíøòåéíó,íå ñîâïàäàåò ñ åãî ¾âèäèìîé¿ äëèíîé, ñ òîé äëèíîé, êîòîðóþ ìû ïðèïèñàëè áû ñòåðæíþ ïðè íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè. Êîãäà ìû ñìîòðèì íà ñòåðæåíü, òî îöåíèâàåì åãî äëèíó ïî ïîëîæåíèþ êîíöîâ ñòåðæíÿ,îïðåäåëÿåìîìó ñèãíàëàìè, îäíîâðåìåííî ïðèøåäøèìè ê íàì; ïðîöåäóðàÝéíøòåéíà òðåáóåò, ÷òîáû äëèíà îöåíèâàëàñü ñ ïîìîùüþ ñèãíàëîâ, îäíîâðåìåííî èñõîäÿùèõ èç òî÷åê, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ìû èçìåðÿåì.àññìîòðèì ýòî ðàçëè÷èå íà ïðèìåðå.Çàäà÷à 1. (8.3 [6℄) Ñòåðæåíü äëèíû l (â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò) äâèæåòñÿ âäîëü íåïîäâèæíîé ìàñøòàáíîé ëèíåéêè ñî ñêîðîñòüþ v .Ôîòîàïïàðàòîì, íàõîäÿùèìñÿ íà òîé æå ëèíåéêå, ïðîèçâîäèòñÿ îòîãðàèðîâàíèå ñòåðæíÿ (ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì âðåìåíåì âûäåðæêè).
Êàêîéîêàæåòñÿ äëèíà ñòåðæíÿ íà îòîãðàèè?Èíûìè ñëîâàìè: êàêîâà áóäåò ðàçíîñòü çíà÷åíèé x íà ëèíåéêå âîçëåèçîáðàæåíèé äâóõ êîíöîâ ñòåðæíÿ? Âåäü ýòî è åñòü ¾âèäèìàÿ¿ (¾êàæóùàÿñÿ¿) äëèíà ñòåðæíÿ.H àññìîòðèì äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ñëó÷àé, êîãäà ñòåðæåíü äâèæåòñÿê îòîêàìåðå. Ñðàâíèì ïðîöåäóðû ïîëó÷åíèÿ îòîñíèìêà â äâóõ ñèñòåìàõ îòñ÷¼òà: ëàáîðàòîðíîé è ñâÿçàííîé ñî ñòåðæíåì.AAv-B∼ ∼∼ ∼ ∼ c ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼BxAxBX-Íà÷àëî îòñ÷¼òà âðåìåíè â îáåèõ ñèñòåìàõ (t = t′ = 0) âûáåðåì â ìîìåíò âûõîäà èç òî÷êè A ñèãíàëà, êîòîðûé ïîïàä¼ò â îòêðûòûé îáúåêòèâ èñîçäàñò èçîáðàæåíèå ýòîé òî÷êè.
Ñèãíàë, âûõîäÿùèé â ýòîò ìîìåíò èç òî÷êè B , ïîïàä¼ò íà åù¼ çàêðûòûé îáúåêòèâ.  îòêðûòûé îáúåêòèâ ïîïàä¼òñèãíàë, èñïóùåííûé òî÷êîé B â ìîìåíò, êîãäà ìèìî íå¼ ïðîõîäèò ñèãíàë,ñîçäàþùèé èçîáðàæåíèå òî÷êè A: äàëüøå èì ïðåäñòîèò îäèíàêîâûé ïóòü,è îíè îäíîâðåìåííî ïîäîéäóò ê êàìåðå è îáà ïîïàäóò â îòêðûòûé îáúåêòèâ.Ïóñòü íà÷àëà êîîðäèíàò îáåèõ ñèñòåì x = x′ = 0 â ìîìåíò èñïóñêàíèÿòî÷êîé A ¾íóæíîé¿ ïîðöèè èçëó÷åíèÿ (t = t′ = 0) íàõîäÿòñÿ êàê ðàç â òî÷êå A. Åñëè ñîáñòâåííàÿ äëèíà ñòåðæíÿ ðàâíà l0 , òî â ñèñòåìå, ñâÿçàííîéñî ñòåðæíåì, ïðîõîæäåíèå ýòîé ïîðöèåé òî÷êè B è èçëó÷åíèå ¾íóæíîé¿ïîðöèè èçëó÷åíèÿ òî÷êîé B ïðîèçîéä¼ò â òî÷êå x′ = l0 â ìîìåíò âðåìåíèt′ = l0 /c. Êîîðäèíàòó ýòîãî ñîáûòèÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ïîëó÷àåì èç10ïåðâîé îðìóëû (3):xB = lâèäl0 + v l0= q c = l021 − vc2s1+1−vcvc> l0 (!).Òàê êàê êîîðäèíàòà òî÷êè A íà ñíèìêå ðàâíà íóëþ, ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå xB è åñòü âèäèìàÿ äëèíà äâèæóùåãîñÿ ñòåðæíÿ (ýòî ìîæíî ïèñàòü èáåç êàâû÷åê, ò.ê.
èìåííî òàêèì ìû åãî óâèäèì), è îíà áîëüøå åãî ñîáñòâåííîé äëèíû, ÷åãî íèêàê íå ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ ïðè èçìåðåíèè ïî Ýéíøòåéíó.Äëÿ óäàëÿþùåãîñÿ ñòåðæíÿ äîñòàòî÷íî ïîìåíÿòü çíàêè ïåðåä v/c ïîä êîðíåì, è ìû ïîëó÷èì äëèíó ìåíüøå l0 , íî îïÿòü-òàêè íå ñîâïàäàþùóþ ñ l.NÑîêðàùåíèå äëèí ÿâëåíèå âçàèìíîå.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàþò êàæóùèåñÿ ïàðàäîêñû. àññìîòðèì îäèí èç íèõ.Çàäà÷à 2. (ñì. [18℄) ×åðåç ¾ïåíàë¿ äëèíû l = 8 ñâ. ñ (ñâåòîâûõ ñåêóíä)ïðîëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ v = 0,6c ¾êàðàíäàø¿, ñîáñòâåííàÿ äëèíà êîòîðîãîðàâíà l0 = 10 ñâ. ñ.Ìîæåò ëè âåñü êàðàíäàø îêàçàòüñÿ âíóòðè ïåíàëà?KA-CtA6ABDXC6tBt′CK′BDX′-t′DH àññìîòðèì ñîáûòèÿ â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ ïåíàëîì. Ïåíàëíåïîäâèæåí, è êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ xA = 0, xB = l = 8 ñâ.
ñ. Äëèíàäâèæóùåãîñÿ êàðàíäàøà ðàâíàrv2l0= l0 1 − 2 = 8 ñâ. ñ.γcÊàðàíäàø êàê ðàç ìîæåò ¾âòèñíóòüñÿ¿ â ïåíàë. Áóäåì âåñòè êèíîñúåìêó ñîáûòèé êàìåðîé K , ðàñïîëîæåííîé ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷åê Aè B , ÷òîáû íà êàæäîì êàäðå ïîêàçàíèÿ ÷àñîâ tA è tB áûëè îäèíàêîâû. Òîãäà â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ìû ìîæåì çàêðûòü çàñëîíêè Aè B è ïîëó÷èòü êàäð, íà êîòîðîì äëèííûé êàðàíäàø íàõîäèòñÿ âíóòðèêîðîòêîãî ïåíàëà. Çàñëîíêó B íàäî òóò æå ñíîâà îòêðûòü, ÷òîáû â íå¼11íå âðåçàëñÿ ãðèåëü, è íàì íå ïðèøëîñü ðàññìàòðèâàòü íåðàâíîìåðíîåäâèæåíèå.Òåïåðü ñîòîãðàèðóåì ïðîöåññ ïðîë¼òà êàðàíäàøà ÷åðåç ïåíàë â ñèñòåìå, ñâÿçàííîé ñ êàðàíäàøîì.Êàìåðà K ′ äâèæåòñÿ âìåñòå ñ êàðàíäàøîì òàê ýòî âûãëÿäèò â ¾ñèñòåìå ïåíàëà¿.
 íîâîé ñèñòåìå êàìåðà K ′ íåïîäâèæíà, íåïîäâèæåí è êàðàíäàø, êîîðäèíàòû åãî êîíöîâx′C = 0,x′D = l0 = 10 ñâ. ñ.Íà êàðàíäàø ¾íàäåâàåòñÿ¿ ïåíàë, äëèíà êîòîðîãî òåïåðü ðàâíà l′ == l/γ = 6,4 ñâ. ñ. Ïóñòü â ìîìåíò ñðàáàòûâàíèÿ çàñëîíêè A ÷àñû, óêðåïë¼ííûå íà ¾õâîñòå¿ êàðàíäàøà, ò.å. â íà÷àëå êîîðäèíàò íîâîé ñèñòåìû,ïîêàçûâàþò âðåìÿ t′C0 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
