МУ Относительно относительности (1188449), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ýòà ñëîæíàÿ ñèòóàöèÿ îòðàæàåòòåíçîðíûé õàðàêòåð ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ è íå ïîääà¼òñÿ èñòîëêîâàíèþñ òî÷êè çðåíèÿ íàëè÷èÿ ó ÷àñòèöû óíèâåðñàëüíîé, íåçàâèñèìîé îò íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè, ãðàâèòàöèîííîé ìàññû. Äëÿ áåçìàññîâîé ÷àñòèöû (íàïðèìåð, äëÿ îòîíà) ñèëà â äâóõ ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ðàâíàïðè r k β;GM E/c2 r2F =2GM E/c2 r2ïðè r ⊥ β.Åñëè òðàêòîâàòü ýòè âûðàæåíèÿ êàê ïðîèçâåäåíèå ãðàâèòàöèîííîé ìàññû îòîíà íà ìíîæèòåëü GM/r2 , òî ìàññà â îäíîì ñëó÷àå ðàâíà E/c2 , àâ äðóãîì 2E/c2 (!).35Ïîíÿòèå ¾ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà¿ óæå ìíîãî ëåò íå óïîòðåáëÿåòñÿ âíàó÷íûõ ðàáîòàõ, íå âñòðå÷àåòñÿ îíî òàêæå â ó÷åáíîé ëèòåðàòóðå ïî òåîðåòè÷åñêîé èçèêå, íàïðèìåð, â èçâåñòíîì êóðñå Ëàíäàó [10℄. ó÷åáíèêàõ îáùåãî êóðñà èçèêè ýòî ïîíÿòèå ïðîäîëæàåò øèðîêîèñïîëüçîâàòüñÿ, õîòÿ ðåãóëÿðíî âñòðå÷àþòñÿ õàðàêòåðíûå îãîâîðêè. ¾Ôåéíìàíîâñêèõ ëåêöèÿõ ïî èçèêå¿ [2℄ èçëîæåíèå îïèðàåòñÿ íà çàâèñèìîñòüpìàññû îò ñêîðîñòè è òåì íå ìåíåå îòìå÷àåòñÿ, ÷òî ¾îðìóëàm = m0 / 1 − v 2 /c2 î÷åíü ðåäêî óïîòðåáëÿåòñÿ. Âìåñòî ýòîãî íåçàìåíèìûìè îêàçûâàþòñÿ äâà ñîîòíîøåíèÿ¿ äàëåå ñëåäóþò îðìóëû (14) è(15) ïî íàøåé íóìåðàöèè.Áîëüøîå âíèìàíèå óäåëåíî ¾ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññå¿ è ýêâèâàëåíòíîñòèìàññû è ýíåðãèè â êíèãå Êèòòåëÿ [3℄.
Ìåæäó òåì, íà ñ. 404 ÷èòàåì: ¾Âìåñòî óðàâíåíèÿ (9) [ò.å. âìåñòî M (v) = M γ ℄ íèæå áóäåò ïðèâåäåíî äðóãîåóðàâíåíèå, ... êîòîðîå ïðîùå ïðèìåíÿòü.¿Â êóðñå Ñèâóõèíà [1℄ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà óïîìèíàåòñÿ, íî â èäåéíîñâÿçàííîì ñ ó÷åáíèêîì çàäà÷íèêå ïîä ðåä. ßêîâëåâà [5℄, îäíèì èç àâòîðîâêîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ Ñèâóõèí, õîòÿ è óïîòðåáëÿþòñÿ ñèíîíèìè÷íî ïðîñòî¾ìàññà¿ áåç ýïèòåòîâ è ¾ìàññà ïîêîÿ¿, ñïåöèàëüíî îãîâîðåíî, ÷òî ¾íèêàêîéäðóãîé ìàññû íè â îðìóëèðîâêàõ çàäà÷, íè â ðåøåíèÿõ íå âñòðå÷àåòñÿ¿.Âèäèìî, âñ¼ æå Ýéíøòåéí ïðàâ, è ¾ëó÷øå íå ââîäèòü íèêàêîé äðóãîéìàññû, êðîìå ¾ìàññû ïîêîÿ¿ m¿.5. Èíòåðâàë, ÷åòûð¼õâåêòîðû è ãåîìåòðèçàöèÿ èçèêèÈíâàðèàíòíîñòü èíòåðâàëà ìåæäó ñîáûòèÿìè, î÷åâèäíî, îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíà s2 , â ÷àñòíîñòè, íå ìîæåò èçìåíÿòü çíàê ïðè ïåðåõîäå èç îäíîéñèñòåìû â äðóãóþ. Ýòî äåëèò ìíîæåñòâî çíà÷åíèé èíòåðâàëîâ íà äâà ñóùåñòâåííî îòëè÷àþùèõñÿ êëàññà.Îãðàíè÷èìñÿ êîîðäèíàòàìè x è t (ïåðåõîä ê 4 êîîðäèíàòàì î÷åâèäåí).Åñëè s2 = c2 (∆t)2 − (∆x)2 < 0, ìû ïîäõîäÿùèì âûáîðîì ñèñòåìû îòñ÷¼òà ìîæåì ¾ïðèâåñòè¿ äâà ñîáûòèÿ ê îäíîìó ìîìåíòó âðåìåíè: â òàêîéñèñòåìå (s′ )2 = −(∆x′ )2 < 0.
Ïîíÿòíî, ÷òî òàêèå ñîáûòèÿ íå ìîãóò áûòüñâÿçàíû ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííîé ñâÿçüþ. Âî-ïåðâûõ, âî âòîðîé ñèñòåìå îíèïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, è, çíà÷èò, ñèãíàëî íåêîåì ñîáûòèè äîëæåí äîñòè÷ü ìåñòà, ãäå ñîâåðøàåòñÿ åãî ñëåäñòâèå,ìãíîâåííî. Âî-âòîðûõ, â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íàéòè ñèñòåìó, ãäå ðàíüøåñîâåðøàåòñÿ ñîáûòèå A, íî ìîæíî íàéòè è ñèñòåìó, ãäå ñîáûòèå B åìóïðåäøåñòâóåò. Òàêèå èíòåðâàëû íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûìè. ñëó÷àå s2 > 0, íàîáîðîò, ñîáûòèÿ ìîæíî ñâåñòè ê îäíîìó ìåñòó, ãäåîíè ïðîèñõîäÿò â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò,÷òî îäíî èç íèõ ìîæåò áûòü ñëåäñòâèåì äðóãîãî.
ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå36ñîáûòèÿ íåâîçìîæíî ¾ïåðåñòàâèòü¿ âî âðåìåíè; â ëþáîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñîáûòèå A ïðîèçîéä¼ò ðàíüøå, ÷åì B , åñëè èìåííî îíî ïðîèçîøëîðàíüøå õîòÿ áû â îäíîé èç ñèñòåì. Òàêèå èíòåðâàëû íàçûâàþò âðåìåíèïîäîáíûìè (èëè âðåìåííîïîäîáíûìè ).Ïðèâåä¼ì äâà ïðèìåðà, êîãäà èñïîëüçîâàíèå ïîíÿòèÿ èíòåðâàëà ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ðåøåíèå çàäà÷.Çàäà÷à 11.
Ñòåðæåíü ïðîëåòàåò ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ ìèìî ìåòêè, ðàñïîëîæåííîé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà K . Èçâåñòíî, ÷òî âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ñòåðæíÿ ìèìî ìåòêè ðàâíî ∆t = 3 íñ ïî ÷àñàì ñèñòåìû K è∆t′ = 5 íñ ïî ÷àñàì ñèñòåìû K ′ , ñâÿçàííîé ñî ñòåðæíåì. Îïðåäåëèòå ñîáñòâåííóþ äëèíó ñòåðæíÿ (ò.å. åãî äëèíó â ñèñòåìå K ′ ).H àññìîòðèì äâà ñîáûòèÿ ñîâìåùåíèå ñ ìåòêîé ïåðåäíåãî è çàäíåãîêîíöîâ ñòåðæíÿ â äâóõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. ñèñòåìå K ýòè ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò â îäíîé òî÷êå, è èíòåðâàë ìåæäóíèìè îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì s2 = (c∆t)2 .  ñèñòåìå K ′ ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè, â êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò ýòè ñîáûòèÿ, êàê ðàç è åñòü ñîáñòâåííàÿäëèíà ñòåðæíÿ, ò.å. (s′ )2 = (c∆t′ )2 − (l0 )2 . ñèëó èíâàðèàíòíîñòè èíòåðâàëà s2 = (s′ )2 . È îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì1/2l0 = (c∆t′ )2 − (c∆t)2= 4 ñâ.
íñ = 1,2 ì.NÇàäà÷à 12. Âñïîìíèì ÷àñòèöû, ëåòÿùèå íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîðîñòÿìè 0,8c êàæäàÿ îòíîñèòåëüíî Çåìëè (Ïðèëîæåíèå 3, ïðèìåð 3).  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îíè íàõîäèëèñü íàä ïóíêòàìè A è B , ðàññòîÿíèåìåæäó êîòîðûìè (â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå) ñîñòàâëÿëî l = 1,6 ñâ. ñ, èâñòðåòèëèñü îíè ÷åðåç âðåìÿ ∆t = 1 ñ ïî ÷àñàì ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû.×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå ïðîë¼òà, ê ïðèìåðó, íàä òî÷êîé A ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòèöà âñòðåòèòñÿ ñ äðóãîé ïî ñâîèì ÷àñàì?H  ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ìåñòà âñòðå÷è l/2, ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó ñîáûòèÿìè ∆t.  ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ ÷àñòèöåé, ñîáûòèÿ ïðîõîæäåíèå òî÷êè A è âñòðå÷à ÷àñòèö îäíîìåñòíû. Èç èíâàðèàíòíîñòè èíòåðâàëà íåìåäëåííî ïîëó÷àåì èñêîìîåâðåìÿ:pc2 t2 − l2 /4= 0,6 ñ.∆t0 =cÒî æå ñàìîå, êîíå÷íî, ïîëó÷àåòñÿ è èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ¾ëàáîðàòîðíûì¿ è ñîáñòâåííûì âðåìåíàìè: t0 = t/γ .NÅñëè âûïèñàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèèp′x = Γ(px − V E/c2 ),p′y = py ,37p′z = pz ,E ′ = Γ(E − V px ),íåòðóäíî óâèäåòü ïîëíóþ àíàëîãèþ ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè äëÿ êîîðäèíàò èâðåìåíè ïðè ñîïîñòàâëåíèè:x → px ,y → py ,z → pz ,t→Ec2(èëè ict → iE).cÒàêèå, ïðåîáðàçóåìûå ¾ïî Ëîðåíöó¿, êîìáèíàöèè èìåþò îáùåå íàçâàíèå ÷åòûð¼õâåêòîðû (òîëüêî ÷òî ìû âûïèñàëè 4-âåêòîð èìïóëüñà-ýíåðãèè èëè 4-èìïóëüñ).
Î÷åâèäíûì àíàëîãîì èíòåðâàëà, èíâàðèàíòîì äëÿäàííîãî 4-âåêòîðà ñëóæèò âåëè÷èíà mc:(mc)2 = −4Xp2i ,i=1ãäå pi px , py , pz , iE/c.Ïîäîáíûì îáðàçîì ââîäÿòñÿ òàêæå 4-âåêòîðû ñêîðîñòè, óñêîðåíèÿ, ñèëû. Èñïîëüçîâàíèå 4-âåêòîðíîãî îðìàëèçìà ìîæåò çàìåòíî îáëåã÷èòüðåøåíèå ìíîãèõ çàäà÷, â îñîáåííîñòè äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèõ.Òàê, èñïîëüçóÿ ïðèâåä¼ííûå ÷óòü âûøå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ 4-èìïóëüñà, ñîâñåì íåòðóäíî ïîêàçàòü èíâàðèàíòíîñòü âåëè÷èíû E 2 − P 2 äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ÷àñòèö, äâèæóùèõñÿ ïàðàëëåëüíî îñè x (è ïàðàëëåëüíî x′ , êîíå÷íî).Ïóñòü èìïóëüñû (Px ) è ýíåðãèè ÷àñòèö (E ) ðàâíû ñîîòâåòñòâåííîP1 ,P2 è E1 ,E2 .ÂñèñòåìåKèíâàðèàíòðàâåí(E1 + E2 )2 − (P1 + P2 )2 . Ââåä¼ì äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè îáîçíà÷åíèå  == V /c. ÒîãäàP1′ = Γ(P1 − ÂE1 );E1′ = Γ(E1 − ÂP1 );P2′ = Γ(P2 − ÂE2 );E2′ = Γ(E2 − ÂP2 ).Ïîëó÷àåì äëÿ èíâàðèàíòà â ñèñòåìå K ′ :(E1′ + E2′ )2 − (P1′ + P2′ )2 == Γ2 {[(E1 − ÂP1 ) + (E1 − ÂP1 )]2 − [(P2 − ÂE2 ) + (P2 − ÂE2 )]2 } == Γ2 (1 − Â2 )[(E1 + E2 )2 − (P1 + P2 )2 ] = (E1 + E2 )2 − (P1 + P2 )2 ,÷òî, êàê ãîâîðèòñÿ, è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. òî æå âðåìÿ ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé (7) ñ äàëüíåéøèìðàñ÷¼òîì âåëè÷èí E ′ è P ′ äàæå äëÿ ýòîãî ïðîñòåéøåãî ñëó÷àÿ ïðèâîäèòê âåñüìà ãðîìîçäêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì.àññìîòðèì åù¼ îäíó çàäà÷ó.38Çàäà÷à 13.
Ïðè áîìáàðäèðîâêå ïðîòîíàìè íåïîäâèæíûõ ÿäåð èçîòîïàãåëèÿ 3 He ñóììàðíàÿ ïîëíàÿ√ ýíåðãèÿ äâóõ ÷àñòèö â ñèñòåìå èõ öåíòðàèíåðöèè ðàâíà E = mp c2 · 2 5. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ïðîòîíîâ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà.H Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ:√ ñêîðîñòü ïðîòîíà β , åãî ðåëÿòèâèñòñêèé àêòîð γ , k = 3 è n = 2 5.Èíâàðèàíòíîñòü ýíåðãèè ïîêîÿ äà¼ò:(γ + k)2 − γ 2 β 2 = n2 .Ò.ê. γ 2 (1 − β 2 ) ≡ 1, èìååì 1 + 2kγ + k 2 = n2 .
Îòñþäà γ = (n2 − k 2 − 1)/2k == 5/3 è, íàêîíåö, β = 4/5.NÎäíàêî, íà âçãëÿä àâòîðà, â ðàìêàõ êóðñà îáùåé èçèêè ïåðâîãî ñåìåñòðà âðÿä ëè öåëåñîîáðàçíî óäåëÿòü ÷åòûð¼õâåêòîðàì ìíîãî âíèìàíèÿ.* * *×åòûð¼õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî . Ìèíêîâñêîãî è ÷åòûð¼õâåêòîðíûéîðìàëèçì Ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ïåðâûå øàãè íà ïóòè ãåîìåòðèçàöèè èçèêè.
Äàëüíåéøèå øàãè íå çàñòàâèëè ñåáÿ æäàòü: èñêðèâë¼ííîå, ðèìàíîâî ïðîñòðàíñòâî Îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà (1915), ïîïûòêè (ïðàâäà, ìàëîïðîäóêòèâíûå) ñâåäåíèÿ ýëåêòðîìàãíåòèçìà ê ãåîìåòðèè 5-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè (Ò. Êàëóöà, 1921;Î. Êëåéí, 1925) è òàê äàëåå âïëîòü äî ãåîìåòðîäèíàìèêè Äæ. Óèëåðà(1960) è ñîâðåìåííûõ ïîïûòîê ñâåñòè èçèêó ê ãåîìåòðèè â 11-ìåðíîìïðîñòðàíñòâå.Åñëè ïîñëåäíèå îêàæóòñÿ óäà÷íûìè, ïîäòâåðäèòñÿ âûçâàííûé ýéîðèåé îò òåîðèé Ýéíøòåéíà àîðèçì À. Ýääèíãòîíà: ¾Â ìèðå íåò íè÷åãî, êðîìå èñêðèâë¼ííîãî ïðîñòðàíñòâà¿.
Âïðî÷åì, ¾íåò íè÷åãî íîâîãî ïîäñîëíöåì¿ åù¼ â 1870 ã. àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê Ó. Êëèîðä ñêàçàë: ¾Èçìåíåíèå êðèâèçíû ïðîñòðàíñòâà è åñòü òî ÿâëåíèå, î êîòîðîì ìû ãîâîðèìêàê î äâèæåíèè ìàòåðèè ¿.39èñ. 140ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ1. Ñèâóõèí Ä.Â. Îáùèé êóðñ èçèêè. Ýëåêòðè÷åñòâî. Ò. III. Ì: Íàóêà,1983.2. Ñèâóõèí Ä.Â. Îáùèé êóðñ èçèêè. Ò. IV. Îïòèêà. Ì.: Íàóêà, 1980.3. Ôåéíìàí ., Ëåéòîí ., Ñýíäñ Ì. Ôåéíìàíîâñêèå ëåêöèè ïî èçèêå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
