Выпуклый анализ - Половинкин (1187986), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

венство s(p,A) > hp,xi ∀p ∈ E ∗ \{0}.4 Для множества A = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 | x1 + x2 > −1,x2 − x1 65. 6 3,5x1 + x2 6 10} найти поляру.4 Пусть задана функция f : R2 → R1 так, что f (x1 ,x2 ) =6. = max {2|x1 |,|x2 |} на множестве {(x1 ,x2 ) | (x1 − 1)2 + x22 6 4}, иf (x1 ,x2 ) = +∞ в остальных точках (x1 ,x2 ). Найти субдифференциал∂f (1, − 2) и обосновать.4 Доказать, что если множество A из Rn является компактом,1. то и множество co A является компактом.4 Найти опорную функцию s(p,A) множества A = {(x1 ,x2 ) ∈2. ∈ R2 | x21 + (x2 + 1)2 6 2, x2 > 0}.Указание. Записать вектор p в виде p = (cos ϕ, sin ϕ), где ϕ ∈∈ [0,2π).4 Найти сопряженную функцию f ∗ для функции f (x1 ,x2 ) =3. = 3|x1 | + 4|x2 |.4 Пусть множества A, D замкнуты, а множество B ограничено,4.

выпукло и замкнуто. Доказать, что из включения A + B ⊂ D + Bследует включение A ⊂ co D.4 Для множества A = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 | x1 > 0,x2 + 3x1 6 3,x2 >5. > 0} найти поляру.4 Пусть задана функция f : R2 → R1 так, что f (x1 ,x2 ) = x21 +6. 2+ 3x2 на множестве {(x1 ,x2 ) | max {2|x1 |,|x2 |} 6 2}, и f (x1 ,x2 ) = +∞в остальных точках (x1 ,x2 ). Найти субдифференциал ∂f (−1,2) иобосновать.4 Пусть A — замкнутое множество из банахова пространства1. E, α,β ∈ R. Пусть kAk = sup{kak | a ∈ A}, h(·,·) — хаусдорфово расстояние между множествами.

Доказать, что справедливо неравенство h(αA,βA) 6 |α − β|kAk.4 Найти функцию Минковского множества2. 3/2{(x1 ,x2 ) ∈ R2 | 3x13/2+ 4x26 5}.4 Найти сопряженную функцию f ∗ для функции f (x1 ,x2 ) =3.p= 2x21 + 3x22 .4 Пусть A — выпуклый компакт. Доказать, что опорная функ4. ция s(·,A) удовлетворяет условию Липшица с константой L. Каковсмысл этой константы?4 Для множества A = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 | x1 + x2 > −2,x1 6 1,x2 65. 6 3} найти поляру.334 Пусть задана функция f : R2 → R1 так, что f (x1 ,x2 ) =6. = max {x1 + 2x2 ; x21 } на множестве {(x1 ,x2 ) (x1 + 2)2 + (x2 − 1)2 66 1}, и f (x1 ,x2 ) = +∞ в остальных точках (x1 ,x2 ). Найти субдифференциал ∂f (−1,1) и обосновать.34.

Характеристики

Список файлов книги