Выпуклый анализ - Половинкин (1187986), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Чем отличаются определения поляры в банаховом пространстве E от поляры в сопряжённом к банахову пространству E ∗ ?2. Найти поляры множества) A1 = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 x1 + x2 6 2, x2 − x1 6 2, x2 > 0};б) A2 = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 x1 + x2 > −1, x2 − x1 6 3, 5x1 + x2 6 10};в) A3 = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 x1 > 0, x2 + 3x1 6 3, x2 > 0};г) A4 = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 x1 + x2 > −2, x1 6 1, x2 6 3};3. Пусть выпуклое замкнутое множество A ⊂ E таково, что 0 ∈∈ int A.
Доказать, чтоа) s(p,A) = µ(p,A◦ ) ∀ p ∈ E ∗ ;б) s(x,A◦ ) = µ(x,A) ∀ x ∈ E.Тема 14. Задача выпуклого программированияУчебная задача. Определить задачу выпуклого программирования. Написать необходимые условия условного экстремума в даннойзадаче. Ввести и обосновать метод Лагранжа для этой задачи.Обзор темы. Дать постановку задачи минимизации выпуклойфункции, определённой на выпуклом замкнутом множестве, (т.е. задачи на условный минимум). Дать необходимые и достаточные условия для точки минимума в этой задаче через субдифференциал функции и нормальный конус ко множеству ограничения.Рассмотреть случай такой задачи, когда выпуклое замкнутоемножество ограничения есть пересечение выпуклых замкнутых множеств, задаваемых в виде конечного числа лебеговых множеств некоторых выпуклых функций.В этом случае задача называется задачей выпуклого программирования.При дополнительном условии (условии Слейтера), используялемму о представлении нормального конуса пересечения множеств,входящих в ограничения через сумму нормальных конусов от каждого из множеств, а также то, что каждый нормальный конус клебегову множеству функции совпадает с конической оболочкой субдифференциала этой функции, показать, что необходимые и достаточные условия минимума в задаче выпуклого программированияэквивалентны необходимым и достаточным условиям безусловного23минимума некоторой функции на всём пространстве (т.е.
без ограничений) и некоторым условиям (условиям «дополняющей нежёсткости»). Полученную функцию назвать функцией Лагранжа.Контрольные задачи1. Как перейти от задачи нахождения условного минимума выпуклой функции на выпуклом замкнутом множестве к задаче на безусловный минимум некоторой функции по всему пространству?2. В каком случае нормальный конус пересечения выпуклыхмножеств совпадает с суммой нормальных конусов выпуклых множеств, входящих в пересечение?3.
Зачем нужно условие Слейтера в задаче выпуклого программирования? Привести пример задачи выпуклого программирования,в которой не выполнены условия Слейтера и для любой указаннойвыше функции типа Лагранжа не выполняется необходимое субдифференциальное условие оптимальности в точке минимума (т.е. x0 —nPточка минимума, но 0 6∈ ∂L(x0 ,λ), где L(x,λ) = f0 (x) +λk fk (x)).k=1Тема 15.
Обобщение выпуклых функций:локально выпуклые функции, слабо и сильновыпуклые функции. Обобщение задачи выпуклогопрограммированияУчебная задача. Показать как, используя аппарат выпуклогоанализа, можно решать некоторые негладкие и невыпуклые задачина условный минимум.Обзор темы. Определить понятие локально выпуклой функциипо Иоффе–Тихомирову и определить субдифференциал такой функции. Определить понятие регулярно локально выпуклой функции поИоффе–Тихомирову.Показать, что основные свойства субдифференциалов выпуклыхфункций сохраняются для регулярно локально выпуклых функций(суммы функций, максимума функций).Определить понятие r-выпуклой функции при r ∈ R, объединяющее понятия сильно и слабо выпуклых функций. Представление rвыпуклой функции в виде суммы или разности некоторой выпуклойфункции и квадрата нормы. В силу этого доказать существованияу r-выпуклых функций выпуклых производных по направлениям, ичто r-выпуклые функции являются локально выпуклыми функциями.Получить субдифференциальное неравенство для r-выпуклыхфункций.24Рассмотреть задачу нахождения минимума r0 -выпуклой функции f0 на множестве, представимом в виде пересечения конечногочисла лебеговых множеств различных rk -выпуклых функций fk .Доказать теорему о необходимых условиях минимума в такойзадаче в виде субдифференциального включения 0 ∈ ∂L(x0 ,λ), гдеmPL(x,λ) = f0 (x) +λk fk (x) — функция Лагранжа.k=1Тем самым распространить метод Лагранжа на указанный типзадач.Контрольные задачи1.
При каких r ∈ R r-выпуклая функция является выпуклой?2. Какие из указанных функций являются r-выпуклыми (еслида, то указать максимальное значение r):1) f1 (x) = −kxk + kxk2 ; 2) f2 (x) = kxk − kxk2 , x ∈ Rn ;1x3) f3 (x) = −kxk + kxk2 ; 4) f4 (x) = sin , x > 0;5) f5 (x) = x4 , x ∈ R1 ;7) f7 (x) = x4 , x > 1;6) f6 (x) = −x4 , x ∈ R1 ;hπ π8) f8 (x) = tg x, x ∈, ;4 29) f9 (x) = |x1 | − 2x22 + 3x23 − 4x24 , x ∈ R4 .3. Найти субдифференциал ∂f (0) функцииf (x) = 2kxk − kx + ak2 , x ∈ H, a ∈ H.4.
Пусть n × n матрица A такова, что у неё существует n различных вещественных собственных значений. Является ли функцияf (x) = hAx,xi, x ∈ Rn , r-выпуклой?Задачи для подготовки к экзаменупо курсу «Выпуклый анализ»Основные задачиЗадача 1. Показать, что для произвольных замкнутых множеств A и B из банахова пространства E сумма (по Минковскому)этих множеств A + B может оказаться не замкнутым множеством.Доказать, что если одно из этих множеств является компактом, томножество A + B замкнуто. Доказать, что если оба множества A иB компактны, то сумма A + B также компакт.Задача 2. Пусть множество A из банахова пространства E выпукло и его внутренность int A 6= ∅. Доказать, что множество int Aвыпукло и всюду плотно в A.Задача 3. Показать, что замкнутость множества A не гарантирует замкнутости множества co A даже на плоскости R2 .25Задача 4.
Пусть A, B, C, D — замкнутые множества из банахова пространства E1 , T : E1 → E2 — непрерывный линейный оператор, α,β ∈ R. Пусть kAk = sup{kak | a ∈ A}, h(·,·) — хаусдорфоворасстояние между множествами. Доказать, что справедливы неравенстваh(A + B,C + D) 6 h(A,C) + h(B,D), h(αA,αB) 6 |α|h(A,B),h(αA,βA) 6 |α − β|kAk, h(T A,T B) 6 kT kh(A,B),h(co A, co B) 6 h(A,B), h(co A, co B) 6 h(A,B).Задача 5. Показать, что имеет место включение!mm\\TнAk ; 0 ⊂Tн (Ak ; 0),k=1k=1и при этом оно может быть строгим.Задача 6. Найти все (нижний, верхний, Кларка, асимптотический нижний и асимптотический верхний) касательные конусы вточке 0 ∈ R2 для множества A = {(x,y) ∈ R2 | y < |x|,x ∈ (−∞, + ∞)}.Задача 7.
Доказать, что дифференцируемая функция f : Rn →→ R выпукла тогда и только тогда, когда для любых x,y ∈ R справедливо неравенство f (x) − f (y) > h∇f (y),x − yi.Задача 8. Найти опорную функцию: а) отрезка [a,b] ⊂ Rn ,б) n-мерного куба с ребрами длины 2, параллельными осям координат и центром в нуле.Задача 9. Найти функцию Минковского эллипсоидального телавида222{(x,y,z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 6 1}.abcЗадача 10. Доказать, что замкнутое множество A в банаховомпространстве E является выпуклым тогда и только тогда, когдафункция x → %(x,A) = inf kx − ak выпукла.a∈AЗадача 11. Привести пример выпуклой функции f : B1 (0) → R,где B1 (0) ⊂ R2 , которая в точке (1;0) не пн.
сн. и не пн. св.Задача 12. Доказать, что в Rn всякая выпуклая функция f непрерывна на множестве int dom f .Задача 13. Пусть U ⊂ Rn — открытое выпуклое множество,T = [0; 1]. Функция f : T × U → R обладает свойствами: 1) ∀t ∈ Tфункция x → f (t,x) выпукла и 2) ∀x ∈ U функция t → f (t,x) непрерывна. Доказать, что f непрерывна по совокупности переменных наT × U.Задача 14. Доказать, что непустые множества A и B из банахова пространства E отделимы функционалом p ∈ E ∗ \{0} тогда и26только тогда, когда справедливо неравенствоs(p,A) + s(−p,B) 6 0.Задача 15.
Пусть A — выпуклое замкнутое подмножество гильбертова пространства H, x,y ∈/ A. Показать, что для проекций PA x иPA y точек x и y на A выполнено неравенство kPA x − PA yk 6 kx − yk.Задача 16. Показать, что для функции ϕ(t) = (1/α)|t|α функция∗ϕ (t) = (1/β)|t|β , где (1/α) + (1/β) = 1, α > 0, β > 0, является сопряженной.Задача 17. Показать справедливость неравенства Фенхеля:hp,xi 6 f (x) + f ∗ (p), ∀x ∈ E, p ∈ E ∗ .Задача 18.
Показать, что в гильбертовом пространстве равенство f ∗ = f возможно лишь для функции f (x) = kxk2 /2.Задача 19. Показать, что для выпуклой, собственной пн.сн.функции f справедливо равенство inf f (x) = −f ∗ (0).x∈EЗадача 20. Найти сопряженную функцию f ∗ для функции1) f (x1 ,,x2 ) = max {|x1 |,|x2 |};2)f (x1 ,,x2 ) = |xp1 | + |x2 |;3) f (x1 ,,x2 ) = |x1 |2 + |x2 |2 + 1.Задача 21. Показать, что неравенство s(p,A) 6 s(p,B) ∀p справедливо тогда и только тогда, когда справедливо включение A ⊂⊂ co B.SЗадача 22. Показать, что s p, Aα = sup s(p,Aα ).ααЗадача 23. Множество A замкнуто и x ∈ int co A. Доказать, чтоs(p,A) > hp,xi ∀p ∈ E ∗ \{0}.Задача 24. Множества A, D замкнуты, а множество B ограничено, выпукло и замкнуто.
Доказать, что из включения A + B ⊂ B ++ D следует включение A ⊂ co D.Задача 25. Доказать формулу\co A ={x ∈ E | hp,xi 6 s(p,A)}.p∈E ∗Задача 26. Пусть f : Rn → R — липшицевая функция с константой L > 0, а функция co f — собственная. Доказать, что функцияco f также является липшицевой с той же константой L.Задача 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
