Выпуклый анализ - Половинкин (1187986), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

функция f (p) является опорной функцииэтого множества).Доказать, что опорная функция геометрической разности выпуклых множеств A и B равняется выпуклой замкнутой оболочке разности опорных функций s(p,A) и s(p,B).Доказать, что для выпуклых замкнутых ограниченных множествA и B хаусдорфово расстояние между этими множествами равняетсяточной верхней грани от модуля разности опорных функций s(p,A)и s(p,B) по всем p из единичной сферы.Используя теорему Каратеодори, доказать формулу вычислениявыпуклой оболочки функции, определённой на Rn , через точную нижнюю грань по всем выпуклым комбинациям значений функции в неболее чем (n + 1) точках из Rn .Контрольные задачи1.

Как вычислить опорную функцию объединения двух множеств, зная опорные функции этих множеств.2. Как вычислить опорную функцию пересечения двух выпуклых замкнутых множеств по опорным функциям данных множеств.3. Найти выпуклую оболочку функции f : R2 → R видаа) f (x1 ,x2 ) = x1 + x2 + sin(x1 + x2 );б) f (x1 ,x2 ) = x1 − x2 + cos(x1 − x2 ).Тема 10. Производные по направлениямдля выпуклых функцийУчебная задача. Изучить свойства производных по направлениям для выпуклых функций.Обзор темы. Напомнить определение производной по Гато функции, определённой на банаховом пространстве.

Необходимое и достаточное условие выпуклости для дифференцируемой по Гато функции.Дать определение производной по направлениям функции. Показать её связь с производной по Гато, если последняя существует.Доказать теорему о том, что у выпуклой функции производная понаправлениям существует (конечная или бесконечная) и представимачерез инфинум. При этом производная по направлениям являетсяположительно однородной выпуклой функцией.Доказать следствие о том, что если выпуклая функция непрерывна в точке x0 ∈ E, то её производная в этой точке по направлениям является непрерывной функцией направлений.18Доказать следствие о том, что если отрезок [x0 − εy; x0 + εy] принадлежит эффективному множеству выпуклой функции f , то производная f 0 (x0 ; y) конечна.Установить связь надграфика производной по направлениям выпуклой функции f в точке x0 с касательным конусом к надграфикуданной функции f в точке (x0 ; f (x0 )).Контрольные задачи1.

Привести в R2 пример функции разрывной в точке, но дифференцируемой по Гато в этой точке.2. Привести пример выпуклой функции f и точек x0 ∈ dom f ,y ∈ E таких, что f 0 (x0 ; y) = −∞.3. Пусть g(x) — выпуклая положительно однородная непрерывная функция. Доказать, что для любых x0 ∈ E, y ∈ E справедливы выражения: g 0 (x0 ; y) 6 g(y); g 0 (0; y) = g(y); g 0 (y; y); g 0 (y; −y) == −g(y).4.

Пусть собственная функция f : E → R выпукла и непрерывнав точке x0 . Доказать, что функция f 0 (x0 ; ·) непрерывна и выпукла.Тема 11. Субдифференциал выпуклой функцииУчебная задача. Ввести обобщение понятия производной для выпуклых функций и изучить его свойства.Обзор темы. Дать определение субградиента выпуклой функцииf : E → R в точке x0 из банахова пространства E как функционализ сопряжённого пространства E ∗ , задающий опорную к функции fаффинную функцию в E. Дать определение субградиента выпуклойфункции f : E ∗ → R в точке p0 из сопряжённого банахова пространства E ∗ как точку x0 исходного банахова пространства E, задающуюопорную к функции f аффинную функцию в сопряжённом пространстве E ∗ .Дать определение субдифференциала выпуклой функции в точкекак совокупность всех субградиентов в этой точке.Разобрать примеры вычисления субдифференциала: 1) нормы; 2)произвольной положительно однородной функции; 3) индикаторнойфункции выпуклого множества; 4) опорной функции.Установить связь субдифференциала функции в точке x0 и субдифференциала производной по направлениям этой же функции.Доказать теорему о том, что у собственной выпуклой функции fв точке x0 ∈ E субдифференциал не пуст тогда и только тогда, когдаеё производная в точке x0 ∈ E по направлениям является собственной полунепрерывной снизу в нуле функцией.

При этом субдифференциал (если он не пуст) является выпуклым слабо* замкнутым19множеством, причём опорная функция субдифференциала в любойточке y равна замыканию производной функции f в точке x0 по направлению y.Доказать теорему о том, что если выпуклая функция f непрерывна в точке x0 , то её субдифференциал в этой точке есть непустоевыпуклое слабо* компактное множество.В случае, когда выпуклая функция имеет производную по Гато,установить связь субдифференциала с производной по Гато.Разобрать свойства субдифференциала (и его опорной функции)для положительно однородной непрерывной выпуклой функции вточке нуль.Доказать теорему о том, что у собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции f включение p0 ∈ ∂f (x0 ) эквивалентно равенству f (x0 ) + f ∗ (p0 ) = hp0 ,x0 i или включению x0 ∈ ∂f ∗ (p0 ).Контрольные задачи1.

Чем отличаются определения субградиента и субдифференциала для функций, определённых на банаховых пространствах отопределения для функций, определённых на сопряжённых банаховыхпространствах?2. Доказать, что положительно однородная выпуклая непрерывная функция g совпадает с опорной функцией от субдифференциалафункции g в нуле.3. Пусть выпуклая функция f : E → R, в некоторой точке x0имеет производную по Гато fΓ0 (x0 ). Доказать, что субдифференциал∂f (x0 ) состоит из одной точки fΓ0 (x0 ).4. Найти субдифференциалфункции во всех точкахpа) f (x1 ,x2 ) = 3 |x1 |3 + x42 ;б) f (x1 ,x2 ) = max {|2x1 |,3|x2 |}.5. Найти субдифференциал в нуле опорной функции множества 2xx2A = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 1 + 2 6 1}.496.

Пусть A = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 |x1 | + 2|x2 | 6 1} и функция f (x) =n 1,x∈A=Найти ∂f (1,0) и ∂f 0, 1 .+∞, x 6∈ A.27. Какое геометрическое свойство выпуклого замкнутого множества A ⊂ Rn означает тот факт, что для всех p ∈ Rn , p 6= 0, субдифференциал ∂s(p,A) состоит из одной точки?8. Чему равен субдифференциал опорной функции s(p,A) вточке p0 = 0?9. Доказать, что для выпуклой функции f справедлива формула∂f (x0 ) = dom(f 0 (x0 ; ·))∗ .2010. Доказать равенство∂f (x0 ) = {p ∈ E ∗ f 0 (x0 ; y) > hp,yi ∀ y ∈ E}.Тема 12.

Основные теоремысубдиференциального исчисленияУчебная задача. Научить вычислять субдифференциал максимума двух функций и субдифференциал суммы двух функций черезсубдифференциал этих двух функций.Обзор темы. Доказать лемму о том, что субдифференциал в нулемаксимума двух непрерывных положительно однородных функцийравен выпуклой оболочке объединения субдифференциалов в нуле каждой из двух данных функций.С помощью этой леммы доказать теорему Дубовицкого–Милютина о субдифференциале максимума двух выпуклых функций.Доказать теорему Моро–Рокафеллара о том, что при определённых условиях субдифференциал суммы двух выпуклых функций равен сумме субдифферениалов этих функций.Доказать следствие теоремы о субдифференциале суммы конечного числа функций.Получить необходимое и достаточное условие минимума выпуклой функции на выпуклом замкнутом множестве.Ввести понятие нормального конуса ко множеству в точке.Доказать при определённых условиях формулу вычисления нормального конуса для пересечения множеств через сумму нормальныхконусов для множеств, входящих в пересечение.Контрольные задачи1.

Найти субдифференциал функцииq22f (x1 ,x2 ) = max |x1 | + |x2 |; 1,2 x1 + x2в точке (0,0).2. Найти субдифференциал функцииqf (x1 ,x2 ) = x21 + x22 + max {|x1 − 5|; |x2 + 5|}в точках (0,0) и (5,−5).3. Найти нормальные конусы множеств A1 , A2 и A = A1 ∩ A2 вточке 0 ∈ A1 ∩ A2 , гдеа) A1 = {(x1 ,x2 ) x2 > x21 }; A2 = {(x1 ,x2 ) x2 6 −x21 };21б) A1 = {(x1 ,x2 ) x2 > x21 }; A2 = {(x1 ,x2 ) x1 > x22 }.Проверить выполнение утверждения о нормальном конусе для пересечения множеств.

Объяснить несоответствие.14. Пусть функция f : R2 → R такова, что f (x1 ,x2 ) = 2x21 + x22на множестве {(x1 ,x2 ) ∈ R2 max {|x1 |,|x2 |} 6 1} и f (x1 ,x2 ) = +∞ востальных точках. Найти субдифференциал ∂f (1,−1).1что f (x1 ,x2 ) =5. Пусть функция f :R2 → R такова,= max {2|x1 |,|x2 |} на множестве {(x1 ,x2 ) (x1 − 1)2 + x22 6 4}, иf (x1 ,x2 ) = +∞ в остальных точках.Найти субдифференциал∂f (1,−2).Тема 13. Поляра множествУчебная задача.Г.Минковским.Изучить свойства поляры множества, введённойОбзор темы. Дать определения поляры и биполяры для множествиз банахова пространства и множеств из сопряжённого пространства.Доказать свойства поляры: выпуклость, замкнутость, содержание точки 0, связь поляр для множеств, одно из которых содержитдругое, выражение поляры через опорную функцию множества.Решить примеры вычисления поляры шара и полупространства.Доказать формулу вычисления биполяры множества через исходное множество.Установить условия на множество, при которых биполяра совпадает с исходным множеством.Доказать формулы вычисления поляры для множеств, представимых в виде объединения или пересечения множеств.Доказать лемму о том, что поляра конечной суммы выпуклыхконусов равняется пересечению поляр исходных конусов.Доказать лемму о том, что поляра пересечения конечного числавыпуклых конусов совпадает с замыканием суммы поляр исходныхконусов.Доказать, что поляра конической выпуклой оболочки множества(A − a), где a ∈ ∂A, совпадает с нормальным конусом ко множествуA в точке a.Пусть множество A задаётся в виде A = {x ∈ E f (x) 6 0}, гдеf — собственная выпуклая функция, непрерывная на A, пусть существует точка x1 ∈ E такая, что f (x1 ) < 0 и пусть x0 ∈ E такова, чтоf (x0 ) = 0.22Доказать, что тогда поляра конической выпуклой оболочки субдифференциала ∂f (x0 ) совпадает с конической выпуклой оболочкоймножества (A − x0 ).Контрольные задачи1.

Характеристики

Список файлов книги