Выпуклый анализ - Половинкин (1187986), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доказать, что геометрическую разность TМинковского мно∗жеств A и B можно представить в виде A − B = b∈B (A − b).2. Пусть A, B — выпуклые множества, λ,µ ∈ R. Доказать, чтоλA + µB — выпуклое множество. Доказать, что при λ > 0, µ > 0справедливо равенство λA + µA = (λ + µ)A.3. Привести пример невыпуклого множества A, для которогоA + A 6= 2A.4. Привести пример выпуклого множества A и чисел λ > 0, µ << 0, для которых λA + µA 6= (λ + µ)A.5. Доказать, что если A, B — компакты из банахова пространства, то A + B — тоже компакт.6.
Доказать, что если A — компакт, а B — замкнутое множество из банахова пространства, то A + B — замкнутое множество.7. Привести пример выпуклых замкнутых множеств A, B таких, что A + B является незамкнутым множеством.8. Пусть co A обозначает выпуклую оболочку множества A. Доказать, что co(A + B) = co A + co B.9. Доказать, что если A — открыто, то co A — тоже открытоемножество.10.
Доказать, что если A — конечное множество точек из банахова пространства, то co A есть компакт.11. Доказать, что если A — компакт из Rn , то co A — такжекомпакт. (Указание: использовать теорему Каратеодори).12. Доказать, что если A, B — компакты из E, то co(A ∪ B) —также компакт в E.13. Доказать, что если A, B — слабо* компактные выпуклыемножества из E ∗ , то co(A ∪ B) — также слабо* компактное множество.Тема 2.
Метрика ХаусдорфаУчебная задача. Дать представление о возможности метризуемости совокупности выпуклых замкнутых множеств, с целью оценкиблизости между такими множествами, определения сходимости последовательности множеств, построения оценок аппроксимации одних множеств другими.Обзор темы. Дать определение расстояния между множествамипо Хаусдорфу h(A,B).
Дать разные формы задания метрики Хаусдорфа (через окрестности множеств, через расстояния от точки домножества), показать их эквивалентность, показать что задаваемыеформулы метрики Хаусдорфа удовлетворяют аксиомам расстояния.Разобрать примеры вычисления расстояния между множествамина плоскости.8Доказать лемму об эквивалентном выражении расстояния поХаусдорфу между множествами через расстояния между точкамиэтих множеств.Доказать, что множество компактов из банахова пространства сметрикой Хаусдорфа образуют полное метрическое пространство.Без доказательства обсудить теорему выбора Бляшке (о том, чтосемейство всех подмножеств заданного компакта образует компактное метрическое подпространство в метрике Хаусдорфа).Доказать, что множество выпуклых замкнутых множеств замкнуто в метрике Хаусдорфа. Обсудить следствие этого, заключающееся в том, что множество всех выпуклых компактов образуетполное метрическое подпространство с метрикой Хаусдорфа, а совокупность всех выпуклых компактных подмножеств заданного выпуклого компакта является компактным метрическим пространствомв метрике Хаусдорфа.Контрольные задачи1.
Пусть lϕ = {(x,y) ∈ R2 cos ϕ · x + sin ϕ · y = 0} — семействопрямых, ϕ ∈ [0,2π].Доказать, что многозначная функцияF (ϕ) = lϕ ∩ B1 (0), где B1 (0) = {(x,y) x2 + y 2 6 1}— есть непрерывная функция на [0,2π] со значениями из множествакомпактов в R2 в метрике Хаусдорфа.2. Пусть p(x,A) = inf{kx − ak a ∈ A} и пустьeh(A,B) = sup{p(x,B) x ∈ A} + sup{ρ(y,A) y ∈ B}.Доказать, что функция eh(·,·) удовлетворяет аксиомам метрики, и метрика eh(·,·) топологически эквивалентна метрике Хаусдорфа h(·,·)(т.е. сходимость в одной метрике влечёт сходимость в другой).3.
Доказать неравенство|ρ(x,A) − ρ(x,B)| 6 h(A,B),где A, B — ограниченные замкнутые множества, x ∈ E.4. Доказать неравенства (A,B,C,D ⊂ E; α,β ∈ R):h(A + B,C + D) 6 h(A,C) + h(B,D);h(αA,αB) 6 |α|h(A,B);h(αA,βA) 6 |α − β|h(A,{0}).9Тема 3. Касательные конусыУчебная задача. Дать представление о касательных конусах длязаданного множества в его граничной точке как о естественном обобщении касательного подпространства в гладком случае. Показатьразличные подходы к определению касательных векторов и конусов.Описать их свойства.Обзор темы. Дать определение понятия конуса. Определить понятие выпуклой конической оболочки данного множества и доказатьформулу её вычисления.Дать определение касательного вектора ко множеству в даннойточке.
Определить нижний касательный конус ко множеству в точкекак совокупность всех касательных векторов к этому множеству вэтой точке.Определить верхний касательный конус (иначе называют: контингентный конус или конус Булигана) и дать формулу для его вычисления.Определить касательный конус Кларка ко множеству в точке,доказать теорему о том, что касательный конус Кларка для любогомножества есть выпуклый конус.Привести примеры, демонстрирующие различия приведённыхвыше касательных конусов, их достоинства (размеры) и недостатки(возможная невыпуклость).Привести алгоритм выделения в любом (невыпуклом) конусе еговыпуклого подконуса.Определить асимптотический конус (по Рокафеллару) выпуклого неограниченного множества, доказать, что этот конус можнопредставить как геометрическую разность исходного выпуклого множества с ним же самим.Определить ещё два класса выпуклых касательных конусов кданному невыпуклому множеству в точке.
Это нижний асимптотический касательный конус и верхний асимптотический касательныйконус. Установить взаимосвязь всех классов касательных конусови показать, что для выпуклого множества все классы касательныхконусов совпадают между собой.Контрольные вопросы.1. Какой касательный конус больше: нижний, верхний илиКларка?2. Привести пример множества на плоскости, когда все касательные конусы в данной точке множества различны.3. Основной недостаток и основное достоинство касательногоконуса Кларка.104.
Зачем нужны асимптотические нижний и верхний касательные конусы, их свойства?5. Найти все касательные конусы в точке (0,0) множества A =1= epi f , где f (x) = x sin , x 6= 0 и f (0) = 0.xТема 4. Выпуклые полунепрерывные снизуфункцииУчебная задача. Изучение свойств полунепрерывных и выпуклых функций. Показать, что при изучении выпуклых задач наминимум условие непрерывности функции можно без ущерба ослабить до условия полунепрерывности снизу.
Познакомиться с важными классами выпуклых функций, таких как функция Минковскогои опорная функция.Обзор темы. Дать понятия эффективного множества и надграфика функции, понятия положительно-однородной функции и собственной функции, определённой на банаховом пространстве.Дать определения полунепрерывной снизу функции в точке и просто: полунепрерывной снизу функции.Связь полунепрерывности снизу функции с замкнутостью лебеговых множеств уровня и замкнутостью надграфика этой функции.Ввести понятие замыкания функции. Доказать теорему Вейерштрасса о достижении точной нижней грани собственной полунепрерывной снизу функции, заданной на компактном топологическомпространстве.Дать определение выпуклой функции через надграфик этой функции. Неравенство Иенсена для выпуклой функции. Дать определение вогнутой функции.
Привести примеры выпуклых функций: аффинная функция, норма, неотрицательно определённая квадратичнаяформа в гильбертовом пространстве, индикаторная функция выпуклого множества.Дать определение функции Минковского (калибровочной функции) выпуклого множества.
Доказать её свойства: положительнуюоднородность, выпуклость, полунепрерывность снизу, монотонноеубывание как функции множества.Привести примеры вычисления функций Минковского для шараи куба.Дать определение опорной функции множества. Доказать еёсвойства: полунепрерывность снизу, положительная однородность,выпуклость. Доказать, что для ограниченного множества опорнаяфункция удовлетворяет условию Липшица.Привести примеры вычисления опорных функций для шара иквадрата.11Дать определение выпуклой оболочки (невыпуклой) функции, обсудить её свойства.Контрольные вопросы1.
Что геометрически означает полунепрерывность снизу функции? Привести пример разрывной в точке функции, полунепрерывной снизу в этой точке.2. Привести пример невыпуклой функции, у которой выполненонеравенство Иенсена при λ = 1 .23. Какое свойство функции Минковского соответствует её второму названию как калибровочная функция.4.
Доказать непрерывность опорной функции для ограниченного множества.5. Найти опорную функцию s(p,A) множества A = {(x1 ,x2 ) ∈2∈ R x21 + (x2 + 1)2 6 2, x2 > 0}.6. Найти функцию Минковского множества 2/32/3A = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 3x1 + 4x2 6 5}.7. Доказать равенство и неравенствоs(p,A + B) = s(p,A) + s(p,B),∗s(p,A − B) 6 co(s(p,A) − s(p,B)).8. Доказать неравенствоco(f + g)(x) > co f (x) + co g(x).9.
Доказать равенствоco(f (x) + hp,xi + α) = co f (x) + hp,xi + α.10. В каком случае выпуклая оболочка собственной функции может оказаться несобственной функцией. Привести пример.Тема 5. Непрерывность выпуклых функцийУчебная задача. Показать, что любая выпуклая функция, ограниченная на некотором открытом множестве, является непрерывнойфункцией.Обзор темы.
Доказать теорему о том, что для собственной выпуклой функции эквивалентны условия:1) функция ограничена на некотором открытом множестве;2) внутренность эффективного множества функции не пуста ифункция локально липшицева на внутренности эффективного множества;123) внутренность надграфика не пуста.Доказать, что если функция является собственной выпуклойфункцией, определённой на Rn , то такая функция локально выпукла на относительной внутренности её эффективного множества.Показать, что в общем случае банахова пространства выпуклаяфункция, у которой внутренность эффективного множества пуста,может оказаться разрывной в каждой точке.Контрольные вопросы1.
Привести пример выпуклой функции, эффективное множество которой есть отрезок в R1 , и которая является непрерывной вкаждой внутренней точке эффективного множества, но не являетсялипшицевой на всём отрезке.+∞P 22. Доказать, что функция f (x) =xn · n, где x ∈ l2 , выпуклаn=1 +∞ P 2на dom f = {x ∈ l2 xn n < +∞}, но int dom f = ∅ и эта функцияn=1разрывна в каждой точке из dom f .Тема 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
