Выпуклый анализ - Половинкин (1187986), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Доказать, что для любых функций f,g : E → R вернонеравенство co f + co g 6 co(f + g). Доказать, что если функция gявляется аффинной, т.е. g(x) = hp,xi + α, то указанное неравенствопревращается в равенство.Задача 28. Найти поляру множестваn\{x ∈ Rn | − k 6 hpk ,xi 6 (k + 1)},A=k=127где pk = (0,...,0,1,0,...,0) - k-ый базисный вектор в пространстве Rn .Задача 29.
Привести в R2 пример функции разрывной в точке,но дифференцируемой по Гато в этой точке.Задача 30. Показать (построив соответствующие примеры),что для различных точек границы ∂ dom f эффективного множествафункции f может оказаться, что ∂f (x) 6= ∅, так и ∂f (x) = ∅.Задача 31. Найти субдифференциал функции f (x1 ,x2 ) = |x1 | ++ |x2 | + 1 при всех (x1 ,x2 ) ∈ R2 .Задача 32. Найтиp субдифференциал функции f (x1 ,x2 ) == max {|x1 | + |x2 |, 1.2 · x21 + x22 } в точке (0,0).Задача 33. Пусть A ⊂ Rn — выпуклый компакт.
Как субдифференциал опорной функции s(p,A) в произвольной точке p 6≡ 0 связан со множеством A? В каком случае субдифференциал опорнойфункции является одноточечным множеством во всех точках границы множества?Дополнительные задачиЗадача 34. Привести пример невыпуклого множества A из банахова пространства, удовлетворяющего условию: для любых точекx1 ,x2 ∈ A справедливо включение x1 + x2 ∈ A.
Показать, что если2замкнутое множество A удовлетворяет приведенному выше условию,то оно является выпуклым.Задача 35. Пусть A ⊂ Rn , x ∈ int co A. Доказать, что найдутсяkSточки {ai }ki=1 ⊂ A, где k 6 2n, такие, что x ∈ int co {ai }.i=1Задача 36. Пусть даны произвольные выпуклые множестваM,A,B ⊂ E и числа α > 0, β > 0. Доказать, что справедливо равенство(M + αA) ∗ αB + βA ∗ βB = (M + (α + β)A) ∗ (α + β)B.Задача 37. Пусть в замкнутом и ограниченном множестве изRn существует по меньшей мере одна точка такая, что любая проходящая через нее прямая имеет с данным множеством единственныйобщий отрезок.
Доказать, что все точки, обладающие этим свойством, образуют выпуклое тело.Задача 38. Пусть даны выпуклое ограниченное тело A ⊂ Rn ,вектор q ∈ Rn , q 6= 0, и гиперплоскость H = {x ∈ Rn | hq,xi = 0}. Каждая прямая la = {x ∈ Rn | x = a + λq}, где a ∈ H, пересекающаяTмножество A, дает в пересечении отрезок (или точку) [ba ,ca ] = la A,28причем ba = a + λ1 q, ca = a + λ2 q и λ1 6 λ2 . Выбирая по всем такимпрямым la вместо отрезка [ba ,ca ] отрезокhia + ba − ca ,a + ca − ba ,22e симметричное относительнополучаем в совокупности множество A,e является выпуклымгиперплоскости H.
Доказать, что множество Ae не превосходит диаметра множетелом, и что диаметр множества Aства A.Задача 39. Доказать для нижнего касательного конуса равенство\ [ \ 1Tн (A; a) =(A − a) + Bε (0) .ε>0 δ>0 0<λ<δλЗадача 40. Доказать для верхнего касательного конуса равенство\ \ [ 1Tв (A; a) =(A − a) + Bε (0) .ε>0 δ>0 0<λ<δλЗадача 41. Доказать для касательного конуса Кларка равенство\ [ \\1TC (A; a) =(A − b) + Bε (0) .ε>0 δ>0 0<λ<δ b∈ATBλδ (a)Задача 42. Показать, что множествоO+ A = {y ∈ E | ∀x ∈ A ∀λ > 0, x + λy ∈ A}.является выпуклым конусом.
Привести пример множества A, у которого его асимптотический конус O+ A не замкнут.Задача 43. Привести пример неограниченного замкнутого выпуклого множества в l2 , для которого O+ A = {0}.Задача 44. Пусть M ⊂ Rn — строго выпуклый компакт (т.е.граница M не содержит отрезков) и компакт A ⊂ Rn таков, чтоM ∗ A = {0} (напомним, что последнее означает, что A ⊂ M и нельзя сдвинуть компакт A на некоторый вектор a 6= 0 так, чтобы этотсдвиг A + a также содержался в M ).1. Доказать, что найдутся точки {ai }ki=1 ⊂ A, 2 6 k 6 n + 1, такие,k∗ Sчто M{ai } = {0}.i=12.
Будет ли это утверждение верно в случае, когда выпуклый компакт не является строго выпуклым (например, многогранник)?Задача 45. Привести пример невыпуклой функции f , удовлетворяющей условиюf x + y 6 1 f (x) + 1 f (y), ∀x,y.(1)22229Показать, что если функция f непрерывна и выполнено условие (1),то она выпукла.Задача 46. Пусть f : R → R — выпуклая функция, x(·) : [a,b] →→ R — непрерывная функция.
Доказать неравенствоZbZbx(t) dt .f (x(t)) dt > (b − a)f 1b−aaaУказание.Проинтегрировать неравенство Фенхеля f (x(t)) >> hy,x(t)i − f ∗ (y).Задача 47. Показать, что в пространствеR3 опорная функTция всякой окружности OR (a,q) = ∂BR (a) Hq (a) радиуса R > 0 сцентром в точке a ∈ R3 , лежащая в гиперплоскости Hq (a) = {x ∈∈ R3 | hq,xi = hq,ai}, где q 6≡ 0, для любого вектора p ∈ R3 вычисляется по формулеs(p,OR (a,q)) = Rkp × qk + hp,ai,где p × q означает векторное произведение векторов p и q.Задача 48. Пусть непустое ограниченное множество A задановыражениемA = {x ∈ Rn | f (x) 6 1},где функция f : Rn → R является аналитической относительно переменных (x1 , .
. . ,xn ), причем в любой граничной точке x0 множества A градиент ∇f (x0 ) 6= 0, а для любого направления l ∈ Rn , l 6=6= 0, справедливо неравенство∂ 2f(x0 )∂l2> 0.Доказать, что множество A является строго выпуклым множеством.Указание: показать, что в каждой граничной точке множества A существуетопорная (касательная) гиперплоскость, и что множествоTA Bε (x0 ) содержится в опорном полупространстве. Далее воспользоваться задачей 49Задача 49. Пусть линейно связный компакт A ⊂ Rn являетсялокально выпуклым,т.е.
∀x ∈ A ∃ε(x) > 0 такое, что каждое множеTство Bε(x) (x) A выпукло. Доказать, что множество A выпукло.Указание: доказать, что без ограничения общности можно считать,что 0 ∈ A и в линейной оболочке множества A выполнены условияint A 6= ∅ и A = int A. Далее воспользоваться следующим свойствомвыпуклых множеств: если C — выпуклое замкнутое ограниченноемножество, для любых x ∈ int C Tи y ∈ ∂B1 (0) определим лучT lx == {x + λy | λ > 0} и точку z = lx ∂C, тогда {z + λy | λ > 0} C == ∅.30Задача 50.
Найти опорную функцию эллипсоидального телавида222{(x,y,z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 6 1}.abcЗадача 51. Пусть X ⊂ Rn — открытое выпуклое множество.Пусть функция f : X → R дважды непрерывно дифференцируема наX. Доказать, что функция f выпукла тогда и только тогда, когдадля любого x0 ∈ X квадратичная формаnX∂ 2 f (x0 )k(p) =pi p ji,j=1∂xi ∂xjнеотрицательна при всех p ∈ Rn .Задача 52. Доказать, что функция f : l2 → R вида f (x) =+∞P=n x2n является собственной выпуклой функцией, причем онаn=1не ограничена в любой относительной окрестности любой точки изdom f , и поэтому она разрывна в каждой точке из dom f .Задача 53.
Доказать, что для того, чтобы выпуклые замкнутыемножества A, B из гильбертова пространства H можно было отделить гиперплоскостью, необходимо и достаточно, чтобы 0 ∈/ int(A ++ (−B)).Задача 54. Доказать, что для того, чтобы выпуклые замкнутые множества A, B из гильбертова пространства H можно былосильно отделить гиперплоскостью, необходимо и достаточно, чтобы0∈/ A + (−B).Задача 55.
Пусть в пространстве l2 задано множествоA = {x ∈ l2 | |xk | 6 1/k,∀k}.- ”гильбертов кирпич”. Доказать, что множество A является выпуклым компактным множеством и что через его граничную точку0 ∈ A нельзя провести гиперплоскость, опорную ко множеству A. Доказать, что для любой точки x ∈/ A справедливо неравенство kxk >> inf kx − yk.y∈AЗадача 56. Пусть непустое множество A из Rn задано в видеm\A={x ∈ Rn | hpk ,xi 6 αk },k=1где kpk k = 1 для всех k ∈ 1,m. Доказать, что множество A есть многогранник (т.е. ограничено) тогда и только тогда, когда!m[0 ∈ int co{pk } .k=131Задача 57. Доказать формулуTA ∗ B={x ∈ E | hp,xi 6 s(p,A) − s(p,B)}.p∈E ∗Задача 58.
Доказать формулуs(p,A∗B) = co(s(p,A) − s(p,B)).Задача 59. Пусть A — выпуклый компакт из Rn , причем 0 ∈∈ int A, пусть µ(x,A) — его функция Минковского и пусть µ0 (x0 ,A)(y)— ее производная в точке x0 по направлению y. Доказать, что длялюбой точки x0 ∈ ∂A справедливо равенствоTн (A,x0 ) = {y | µ0 (x0 ,A)(y − x0 ) 6 0}.Задача 60. Показать, что для того, чтобы субдифференциалфункции f в точке x был непустым множеством, необходимо, чтобыфункция f была полунепрерывна снизу в точке x. Показать, что этоусловие не является достаточным.Задачи письменного экзамена по курсу«Выпуклый анализ» 2004/2005 г.4 Доказать, что если одно из замкнутых множеств A и B из1.
банахова пространства является компактом, то множество A + B замкнуто.4 Найти опорную функцию s(p,A) множества2. A = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 | (x1 + 1)2 + x22 6 2, (x1 − 1)2 + x22 6 2}.Указание. Записать вектор p в виде p = (cos ϕ, sin ϕ), где ϕ ∈∈ [0,2π).4 Найти сопряженную функцию f ∗ для функции f (x1 ,x2 ) =3. 2= 2x1 + 5x22 .4 Показать, что неравенство s(p,A) 6 s(p,B) ∀p ∈ E ∗ справед4. ливо тогда и только тогда, когда справедливо включение A ⊂ co B.4 Для множества A = {(x1 ,x2 ) ∈ R2 | x1 + x2 6 2,x2 − x1 65. 6 2,x2 > 0} найти поляру.4 Пусть задана функция f : R2 → R1 так, что f (x1 ,x2 ) = 2x21 +6. 2+ x2 на множестве {(x1 ,x2 ) | max {|x1 |,|x2 |} 6 1}, и f (x1 ,x2 ) = +∞ востальных точках (x1 ,x2 ).
Найти субдифференциал ∂f (1, − 1) и обосновать.4 Пусть A, B, C, D — замкнутые множества из банахова про1. странства E. Пусть h(·,·) — хаусдорфово расстояние между множествами. Доказать, что справедливо неравенствоh(A + B,C + D) 6 h(A,C) + h(B,D).324 Найти функцию Минковского множества2. {(x1 ,x2 ) ∈ R2 | 5x21 + 4x22 6 1} .4 Найти сопряженную функцию f ∗ для функции f (x1 ,x2 ) =3. = max {3|x1 |,2|x2 |}.4 Пусть множество A замкнуто и x ∈ int co A. Доказать нера4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
