Выпуклый анализ - Половинкин (1187986), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Отделимость выпуклых множествУчебная задача. Показать, что непересекающиеся выпуклыемножества могут быть разделены некоторой гиперплоскостью, т.е.одно выпуклое множество принадлежит одному полупространству,а другого — другому (дополняющему первое) полупространству.Научить различным видам отделимости: простой, строгой исильной.Обзор темы. Дать понятие о топологической отделимости множеств в различных пространствах. Доказать, что в банаховом пространстве для непересекающихся компакта и замкнутого множествасуществует число ε > 0 такое, что открытая ε-окрестность компактатакже не пересекается с замкнутым множеством.Для непересекающихся выпуклых множеств из банахова пространства дать определения того, что1) гиперплоскость разделяет (или отделяет) два множества;2) гиперплоскость строго разделяет два множества;3) гиперплоскость сильно разделяет два множества.Дать определение проекции точки a на множество A как множество точек из этого множества A, которые являются ближайшимидо a.Показать, что проекция может быть пуста, состоять из однойточки или же быть множеством точек.13Доказать, что в гильбертовом пространстве для любой точки,не принадлежащей данному выпуклому замкнутому множеству, существует проекция этой точки на множества, притом она состоит изодной точки.
С помощью этого утверждения доказать, что в гильбертовом пространстве для данного замкнутого выпуклого множестваи данной точки, не принадлежащей этому множеству, существуетгиперплоскость, строго разделяющая данные точку и множество. Вкачестве следствия доказать вторую теорему отделимости в гильбертовом пространстве о том, что два непересекающиеся выпуклыезамкнутые множества из гильбертова пространства, одно из которых— компакт, можно сильно разделить некоторой гиперплоскостью.Дать определение опорной гиперплоскости (и опорного функционала) ко множеству в его граничной точке как гиперплоскость, которая отделяет эту граничную точку от данного множества.Показать, что в гильбертовом пространстве в тех граничныхточках выпуклого замкнутого множества, которые являются проекциями некоторых внешних точек, опорные гиперплоскости существуют.
Привести пример, в котором у некоторой граничной точкивыпуклого множества из гильбертова пространства не существуетопорной гиперплоскости.Доказать, что в случае множеств из Rn у всякого выпуклого замкнутого множества в любой его граничной точке существует опорная гиперплоскость.С помощью этого утверждения доказать в Rn первую теоремуотделимости о том, что для двух непересекающихся выпуклых множеств, одно из которых открыто, существует гиперплоскость, которая строго разделяет данные множества.Контрольные задачи1.
Чем отличается топологическая отделимость от отделимостивыпуклых множеств?2. Пусть даны выпуклое замкнутое множество A из гильбертовапространства H и точки x,y ∈ A. Показать, что для проекций PA xи PA y точек x и y на A выполнено неравенствоkPA x − PA yk 6 kx − yk.3. Привести пример двух непересекающихся замкнутых множеств из R2 , которые можно разделить строго, но нельзя сильно.4. Рассмотрим гильбертово пространство l2 , состоящее из векторов x, являющихся последовательностями x = {xk }∞k=1 , у которых+∞P 2xk < +∞.
Рассмотрим в l2 «гильбертов кирпич». т.е. множеk=1ство A = {x ∈ l2 |xk | 6 1 ∀ k}. Проверить, что A есть выпуклыйk14компакт в l2 и 0 ∈ ∂A. Доказать, что в точке 0 не существует опорной гиперплоскости ко множеству A.Тема 7. Отделимость множеств в банаховыхпространствахУчебная задача. Показать, что в банаховых пространствах (ив более общих: локально выпуклых линейных топологических пространствах) имеют место аналогичные изложенным в теме 6 перваяи вторая теоремы отделимости выпуклых множеств.
Однако для получения этих результатов потребуется иная техника, основанная натеореме Хана–Банаха о продолжении линейного функционала.Обзор темы. Сформулировать фундаментальную теорему функционального анализа — теорему Хана–Банаха о том, что линейныйфункционал, заданный на линейном подпространстве и ограниченный сверху выпуклой положительно однородной функцией (мажорантой), может быть продолжен на всё пространство с сохранениеммажоранты.С помощью теоремы Хана–Банаха доказать первую теорему острогой отделимости двух непересекающихся выпуклых множеств избанахова пространства в случае, когда одно из множеств открыто.
Вкачестве мажоранты в доказательстве используется функция Минковского.Для случая, когда одно из непересекающихся замкнутых выпуклых множеств из банахова пространства является компактом с помощью теоремы о топологической отделимости и первой теоремы оботделимости доказать вторую теорему о сильной отделимости.Пояснить, что аналогичные теоремы об отделимости справедливы для множеств из локально выпуклых линейных топологических пространств.Показать, как следствие теорем об отделимости, что для выпуклых множеств из банахова пространства их замкнутость и слабаязамкнутость эквивалентны.Доказать опорный принцип (или принцип двойственности) выпуклых множеств, состоящий в том, что любое замкнутое выпуклоемножество из банахова пространства совпадает с пересечением всехсодержащих его замкнутых полупространств.Сформулировать утверждение о том, что банахово пространствос сильной топологией (по норме) и его сопряжённое пространство сослабой* топологией находятся в двойственности.Как следствие получить утверждение о том, что слабо* замкнутое выпуклое множество B в сопряжённом пространстве E ∗ и функционал p0 6∈ B строго отделимы некоторой точкой из пространстваE.15Дать определение «слабо полунепрерывной снизу функции».
Доказать, что всякая слабо полунепрерывная снизу функция являетсяполунепрерывной снизу. Доказать, что выпуклая полунепрерывнаяснизу функция является слабо полунепрерывной снизу функцией.Контрольные задачи1. Доказать, что непустые выпуклые множества A и B из банахова пространства E отделимы (сильно отделимы) функционаломp ∈ E ∗ \ {0} тогда и только тогда, когда s(p,A) + s(−p,B) меньшеили равно (строго меньше) нуля.2. Доказать, что дополнение к открытому шару Br0 (0) в гильбертовом пространстве является замкнутым, но не является слабозамкнутым множеством.Тема 8. Сопряжённые функцииОбзор темы. Дать определение и изучить свойства преобразования Лежандра–Юнга–Фенхеля собственной функции, которое такженазывается сопряжённой функцией.
Изучить свойства выпуклыхфункций, получаемые из опорного принципа множеств, применённого к надграфику функции.Учебная задача. Доказать теорему о том, что любую собственную выпуклую полунепрерывную снизу функцию можно представить как поточечную точную верхнюю грань аффинных функций,не превосходящих данную выпуклую функцию.Дать определение преобразования Лежандра–Фенхеля–Моро отом, что собственная функция выпукла и полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда вторая сопряжённая функция совпадает сданной функцией.Привести примеры вычисления функции, сопряжённой к даннойфункции.Привести правило вычисления выпуклой замкнутой оболочки через вторую сопряжённую функцию.Доказать, что сопряжённая функция к невыпуклой функции fсовпадает с сопряжённой функцией к выпуклой замкнутой оболочкефункции f .Дать определение инфимальной конволюции.
Доказать теорему отом, что сопряжённая функция от суммы функций равна замыканиюинфимальной конволюции от функций, сопряжённых данным, и чтосопряжённая функция от инфимальной конволюции двух функцийравна сумме сопряжённых функций от данных функций.16Контрольные задачи1. Почему сопряжённая функция является выпуклой?2. Что больше: f (x) или f ∗∗ (x) в точке x для произвольнойфункции f ?3. Пусть f (x) = |x| + sin x, x ∈ R1 . Найти f ∗ (p) и f ∗∗ (x).4. Найти сопряжённую функцию f ∗ для функции:а) f (x) = kxk,px ∈ H;б) f (x1 ,x2 ) = 2x21 + 3x22 ;в) f (x1 ,x2 ) = 3|x1 | + 4|x2 | + 1;г) f (x1 ,x2 ) = max {|x1 |, 2|x2 |}.5. Для функций f1 (x) = x2 , f2 (x) = (x + 1)2 , x ∈ R, найти инфимальную конволюцию(f1 ⊕ f2 )(x).6. Показать, что в гильбертовом пространстве равенство= f (x) возможно лишь для функции f (x) = 1 kxk2 .27. Показать, что для собственной выпуклой полунепрерывнойснизу функции f справедливо равенствоinf{f (x) x ∈ E} = −f ∗ (0).f ∗ (x)Тема 9.
Вычисление выпуклых оболочекмножеств и функцийУчебная задача. Научить вычислять выпуклые оболочки множеств и функций, используя аппарат опорных функций.Обзор темы. Доказать, что если известна опорная функция s(p,A)невыпуклого множества A из банахова пространства, то выпуклаязамкнутая оболочка этого множества A может быть вычислена какпересечение полупространств вида Hp = {x hp,xi 6 s(p,A)} по всемp из единичной сферы сопряжённого пространства.Доказать утверждение: Пусть множество A (быть может пустое)представлено как пересечение полупространств Hp = {x hp,xi 66 f (p)} по всем p ∈ E ∗ , kpk = 1, причём функция f : E ∗ → R является собственной положительно однородной функцией. Это множество A не пусто тогда и только тогда, когда функция cof (p) являетсясобственной функцией, при этом справедливо равенство: s(p,A) == cof (p), ∀ p ∈ E ∗ .Доказать следствие о том, что если f (p) есть собственная выпуклая полунепрерывная снизу положительно однородная функция в17E ∗ , то существует непустое выпуклое замкнутое множество A такое, что f (p) = s(p,A) (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
