Выпуклый анализ - Половинкин (1187986)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМосковский физико-технический институт(государственный университет)Е. С. ПоловинкинУчебно-методическое пособиеВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗМОСКВА 20062Курс является обязательным, читается в 7 семестре. По итогам курсавыставляется экзамен. Количество лекционных часов: 34.Курс «Выпуклый анализ» является фундаментальным курсом, посвящённым изучению общих свойств выпуклых множеств и выпуклых функций в банаховых пространствах, что позволяет исследовать решения различных задач отыскания минимумов выпуклых функций, определённыхна выпуклых множествах. К данному классу задач относятся задачи линейного программирования, задачи выпуклого программирования, задачивариационного исчисления и задачи математической теории оптимальногоуправления.ОглавлениеПредисловие .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Программа курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Краткое содержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Тема 1. Выпуклые множества . . . . . . . . . . . . . . . .
7Тема 2. Метрика Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Тема 3. Касательные конусы . . . . . . . . . . . . . . . . 10Тема 4. Выпуклые полунепрерывные снизу функции 11Тема 5. Непрерывность выпуклых функций . . . . . . 12Тема 6. Отделимость выпуклых множеств .
. . . . . . 13Тема 7. Отделимость множеств в банаховыхпространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Тема 8. Сопряжённые функции . . . . . . . . . . . . . . . 16Тема 9. Вычисление выпуклых оболочек множеств ифункций . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 17Тема 10. Производные по направлениям для выпуклыхфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Тема 11. Субдифференциал выпуклой функции . . . . 19Тема 12. Основные теоремы субдиференциальногоисчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 21Тема 13. Поляра множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Тема 14. Задача выпуклого программирования . . . . 23Тема 15. Обобщение выпуклых функций: локальновыпуклые функции, слабо и сильно выпуклые функции.Обобщение задачи выпуклого программирования . . .
24Задачи для подготовки к экзаменупо курсу «Выпуклый анализ» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Задачи письменного экзамена по курсу «Выпуклый анализ»2004/2005 г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 323ПредисловиеОсновные цели курсаДать студентам знания и навыки в теории негладких выпуклыхмножеств, теории двойственности выпуклых функций, теории субдифференциального исчисления выпуклых и слабо выпуклых функций, овладение методом Лагранжа и его обоснование для решениявыпуклых экстремальных задач.Место курса в системе профессиональной подготовки студентаКурс «Выпуклый анализ» вырабатывает у студента навыки владения аппаратом выпуклого анализа, субдифференциального исчисления и метода Лагранжа, что позволяет осуществить общий подход к решению любой прикладной экстремальной задачи, формализованной в математическом виде. Для освоения данного курса необходимо владение университетскими математическими курсами, втом числе курсом «Функционального анализа».
Этот курс в своюочередь обеспечивает теоретическую подготовку для таких курсов,как «Методы оптимизации», в котором проводится детализация конкретных методов решения экстремальных задач.Методы проведения занятийЛекции: 32 часаФормы контроляИтоговый контроль:1) письменный экзамен, включающий решения задач, которыеоцениваются в баллах; продолжительность — 2 академических часа.2) Устный экзамен по билетам. Итоговая оценка выставляетсяследующим образом. По итогам письменного экзамена устанавливается верхнее значение итоговой оценки: набрано более 60% от максимальной суммы баллов — верхнее значение «5»; от 40% до 60%— верхнее значение «4»; от 20% до 40% — верхнее значение «3»,менее 20% — сразу выставляется итоговая оценка «2» без устногоопроса.
На устном экзамене по результатам ответа по билету выставляется итоговая оценка, которая не может превышать верхнеезначение оценки, установленное по результатам письменного экзамена.4Программа курса1. Выпуклые множества в банаховом пространстве. Выпуклаяоболочка множества, выпуклые комбинации точек этого множества,их связь. Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке множеств в Rn .2. Метрика Хаусдорфа для множеств, ее свойства. Теорема ополноте метрического (с хаусдорфовой метрикой) пространства компактов из банахова пространства.3.
Операции Минковского с множествами: сумма, разность,умножение на скаляр. Свойства этих операций, в том числе справедливость неравенств:h (A + B,C + D) 6 h (A,C) + h (B,D) ,h (αA,αB) 6 |α|h (A,B) , h (αA,βA) 6 |α − β| · kAk,где A,B,C,D — ограниченные множества из банахова пространства.4. Понятия конуса и выпуклой конической оболочки. Понятиянижнего и верхнего касательных конусов к множеству в точке, ихсвойства.5. Касательный конус Кларка, его выпуклость. Верхний и нижний асимптотические касательные конусы, их выпуклость и связь сдругими касательными конусами.6.
Понятия эффективного множества и надграфика функции.Собственные полунепрерывные снизу функции, их связь с замкнутостью надграфика и лебеговых множеств уровня. Понятие замыкания функции. Теорема Вейерштрасса о достижении своего минимального значения собственной полунепрерывной снизу функцией накомпакте из банахова пространства.7. Выпуклые функции.
Неравенство Иенсена. Функция Минковского и опорная функция множества. Их свойства. Выпуклаяоболочка функции, ее свойства. Опорная функция суммы и разности (по Минковскому) выпуклых множеств. Формула хаусдорфоварасстояния между ограниченными множествами через их опорныефункции.8.
Непрерывность выпуклой функции, ограниченной на некотором открытом множестве.9. Отделимость (простая, сильная, строгая) выпуклых множеств в гильбертовом пространстве. Существование и единственность проекции на выпуклое замкнутое множество. Теорема о строгой отделимости точки и выпуклого замкнутого множества. Теоремао сильной отделимости компакта от выпуклого замкнутого множества. Опорная гиперплоскость, ее существование в любой граничнойточке выпуклого множества в Rn .10. Теорема об отделимости выпуклых множеств из банаховапространства.
О совпадении замыканий выпуклых множеств в сильной и слабой топологиях.511. Преобразование Лежандра–Юнга–Фенхеля функции (сопряженные функции). Теорема о представлении выпуклой полунепрерывной снизу функции как поточечного супремума аффинных функций. Теорема Фенхеля–Моро о второй сопряженной функции.12.
Инфимальная конволюция функций. Теорема о двойственности инфимальной конволюции и суммы функций при преобразованииЛежандра–Юнга–Фенхеля.13. Представление выпуклых множеств через пересечение полупространств. Связь собственных выпуклых положительно однородных полунепрерывных снизу функций с опорными функциями множеств.14. Производная по направлениям выпуклой функции, ее представление через инфинум. Непрерывность производной по направлениям, вычисляемой в точке непрерыности исходной выпуклой функции.
Связь производной по направлениям с касательным конусомнадграфика.15. Субдифференциал выпуклой функции. Связь условия непустоты субдифференциала функции с условием полунепрерывностиснизу в нуле производной по направлениям. Теорема Дубовицкого–Милютина о субдифференциале максимума двух выпуклых функций.16.
Теорема Моро–Рокафеллара о субдифференциале суммыфункций. Лемма о нормальном конусе пересечения выпуклых множеств.17. Поляра множества и ее свойства. Касательный и нормальный конусы множества, заданного системой неравенств из выпуклыхфункций.18. Задача выпуклого программирования. Метод множителейЛагранжа в задаче выпуклого программирования.19. Локально выпуклые функции. Слабо и сильно выпуклыефункции, r-выпуклые функции. Задача r-выпуклого программирования. Необходимые условия экстремума.Литература1.
Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973.2. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач,М., Наука, 1974.3. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.М., Наука, 1980.4. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого исильно выпуклого анализа. М., Физматлит, 2004.6Краткое содержаниеТема 1. Выпуклые множестваУчебная задача. Дать представление о выпуклых множествах,привести примеры, основные свойства. Дать представление о квазилинейных операциях Минковского с выпуклыми множествами: алгебраической сумме и геометрической разности.Обзор темы.
Напомнить определения гильбертова и банахова пространства. Дать прямое определение (через отрезок) выпуклого множества в банаховом пространстве. Привести типичные примеры выпуклых множеств: шар, гиперплоскость, полупространство, аффинное множество, симплекс. Дать определение строго выпуклого множества.Дать определение алгебраической суммы Минковского и геометрической разности Минковского множеств, рассмотреть примерысуммы и разности шаров и кубов.
Показать на примерах, что геометрическая разность не является в общем случае обратной операциейк алгебраической сумме множеств. Описать свойства суммы и разности. Доказать, что если из множества A вычесть множество B, тов итоге получится множество, содержащееся (быть может строго) во∗множестве A. Показать, что операции суммы (+) и разности ( − )не коммутативны: если из множества A вычесть множество C, а затем прибавить множество B, то получим множество (быть можетпустое), содержащееся (быть может строго) во множестве, получаемом после того, как из суммы множеств A и B вычли множествоC.∗Показать, что сумма (+) и разность ( − ) выпуклых множествсуть множества выпуклые.Определить понятия выпуклой комбинации точек, аффинной комбинации точек, линейной комбинации точек.Доказать критерий выпуклости множества, состоящий в том,что множество A выпукло тогда и только тогда, когда любая выпуклая комбинация точек из A содержится во множестве A.Дать определение выпуклой оболочки (невыпуклого) множестваA как пересечение всех выпуклых множеств, содержащих данноемножество A.Доказать теорему о том, что в банаховом пространстве выпуклаяоболочка множества A состоит из тех и только тех точек, которыеявляются выпуклой комбинацией конечного числа точек из A.Для конечномерного евклидова пространства Rn размерности nдоказать теорему Каратеодори о том, что выпуклая оболочка множества A из указанного пространства состоит из выпуклых комбинаций не более чем (n + 1) точек из A.7Контрольные задачи1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
