Конспект лекций Гармонический анализ 4 семестр Черняев (1187979)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Конспект лекций по курсуГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗВторой курс, 4 семестрЛектор: профессорЧерняев Александр ПетровичМФТИ 2020Лекция 8.Скалярное произведение и его свойства.Будем пока рассматривать лишь действительные линейные пространства, ине будем это специально оговаривать.Определение 1. Пусть Х – линейное пространство. Числовая функция, обозначаемая  x, y  , x  X , y  Y , заданная на множестве упорядоченных пар точекпространства Х, называется скалярным произведением, если для любых точекx  X , y  Y и любых чисел   R,   R выполняются следующие условия:1 коммутативность  x, y    y, x  ;2 линейность (x  y, z )   ( x, z )   ( y, z ) ;3 ( x, x)  0 ;4 если ( x, x)  0 , то x  0 .Функция ( x, y ) , удовлетворяющая условиям 1, 2, 3 называется почти скалярным произведением.

Очевидно, что скалярное произведение является и почти скалярным произведением.Лемма 1. Если ( x, y ) - почти скалярное произведение в линейном пространстве Х, то для любых х  Х и у  Х выполняется неравенство Коши – Буняковского( x , y )  ( x, x ) ( y , y ) .(1)Доказательство. В силу свойства 3 почти скалярного произведения длялюбого действительного t: tx  y, tx  y   0 . Применив свойства 1 и 2 почтискалярного произведения, получимt 2 ( x, x)  2t ( x, y)  ( y, y)  0 .Если ( x, x)  0 , то 2t ( x, y)  ( y, y)  0 . Поскольку это неравенство выполняется для любого действительного t , ( x, y )  0 (в самом деле, если бы было( x, y )  0 , то на числа t налагалось бы ограничениеt( y, y )2( x, y)при ( x, y)  0 .

Если ( x, y)  0 , то рассуждения аналогичны). Следовательно, (1)имеет место : обе его части обращаются в нуль.Если же ( x, x)  0 , то дискриминант получившегося квадратного относительно t трехчлена неположителен, т.е.( x, y) 2  ( x, x)( y, y)  0 ,а это равносильно (1).Следствие 1. Для любых точек x  X , y  X имеет место неравенство(называется неравенством треугольника)( x  y, x  y)  ( x, x)  ( y, y) .Доказательство.

Имеем( x  y, x  y)  ( x, x)  ( x, y)  ( y, x)  ( y, y)  ( x, x)  ( x, y) (2) ( y, x)  ( y, y)  ( x, x)  2 ( x, x) ( y, y)  ( y, y) (1) ( ( x, x)  ( y, y))2 .Из последнего неравенства следует (2).Следствие 2. Если ( x, y ) – почти скалярное (в частности, скалярное) произведение в линейном пространстве Х, то функцияdefx  ( x, x )(3)является полунормой (соответственно нормой) в этом пространстве, и неравенство Коши – Буняковского (1) можно записать в виде( x, y  x y .(4)Для доказательства нужно непосредственно проверить свойства полунормы(соответственно нормы) для функции (3).x  (x, x)  2 ( x, x)   ( x, x)   x ,x  y  ( x  y.x  y)  ( x, x)  ( y, y)  x  y .( 2)Пример 1.

Множество действительных чиселявляется пространством соскалярном произведением, если под скалярным произведением ( x, y ) чисел x иy понимать их обычное произведение ( x, y )  xy .Пример 2. В арифметическом действительном линейном n - мерном пространстве n функцияndef( x, y)   xi yi , x  ( x1 ,..., xn ), y  ( y1 ,..., yn ) , xi  R , yi  R , i  1,2,...,ni 1является скалярным произведением.Пример 3.

Обозначим через RL2  RL2 (a, b) множество функций f , заданных на конечном или бесконечном интервале (a, b),  a  b   , для каждойиз которых существует правильное разбиение этого интервала и интегралbf2( x)dx сходится.aЛегко проверить, что множество RL2 ( a, b) является линейным пространством.

Докажем, что функционалdefb( f , g )   f ( x) g ( x)dx , f  RL2 (a, b) и g RL2 (a, b)a(5)является почти скалярным произведением.Прежде всего, если f  RL2 (a, b) и g  RL2 (a, b), то в силу числового неравенства   2   2 / 2 ,   R,   R ,  x  (a, b),где определены f(x) и g(x), справедливоf ( x) g ( x)  (f 2 (x) +g 2 (x))/2,следовательно, согласно признаку сравнения для сходимости интегралов, из конечности интеграловbaf 2 ( x)dx иbga2( x)dx следует сходимость (и даже абсо-лютная) интегралаbaf ( x) g ( x)dx .Т.

о., (5) имеет смысл. Свойства почти скалярного произведения, следуют вэтом случае из свойств интеграла. Функция0, x  x , x  ( a, b)f(x)= 1, x  x 0 0,0не являясь нулем пространства RL2 (a, b), удовлетворяет равенству (f, f) = 0.Поэтому полунормаf  ( f , f ) , f  RL2 (a, b)(6)не является нормой в RL2 (a, b) и, следовательно, почти скалярное произведение (5) не есть скалярное произведение в этом пространстве.Неравенство Коши - Буняковского в RL2 (a, b) имеет видbaf ( x) g ( x)dx baf 2 ( x)dxbga2( x)dx .(7)Почти скалярное произведение (5) на подпространстве CL 2 (a, b), состоящемиз непрерывных на (a, b) функций f, для которых сходитсяbaf 2 ( x)dx ,является уже скалярным произведением, а полунорма (6) – нормой (это доказывается аналогично тому, как это делалось в примере 7 для пространства CL(a,b)).Зафиксируем теперь конечный или бесконечный интервал (a, b),   a <b   , и рассмотрим на множестве, всех заданных на этом интервалефункций, функционалf sup x( a , b ) f ( x) .(8)Как мы знаем (пример 5) этот функционал на пространстве B(a, b) всехограниченных на (a, b) функций является нормой, а для любой неограниченнойна (a, b) функции f , очевидно, f ( x)    .

Рассмотрим далее множествофункций, заданных на (a, b), для каждой из которых существует правильноеразбиение, и на этом множестве функционалыbbaaf (x ) 1 =  f ( x) dx , f (x ) 2 = (  f 2 ( x)dx )1 / 2 .(9)Было доказано, что первый функционал (9) является полунормой в пространстве RL(a, b) и нормой в CL(a, b) (см. примеры 6 и 7). Заметим, что пространства RL(a, b) и CL(a, b) обозначаются также соответственно RL1 (a, b) иCL1 (a, b) .Второй функционал (9) является полунормой в пространстве RL2 (a, b) инормой в CL 2 (a, b) (пример 3). Если же f  RL(a, b), но для нее существует правильное разбиение (a, b), то f ( x) 1   , а если f  RL2 (a, b), то f ( x) 2   .Сходимость последовательности функций по полунормедимостью в среднем, а сходимость по полунорме21называется схо-– сходимостью в смыслесреднего квадратичного.В дальнейшем, когда будет идти речь о функционалах (9), будет предполагаться, что рассматриваемые функции таковы, что существуют правильные разбиения (a, b), и это не будет специально оговариваться.Лемма 2.

Если f задана на конечном интервале (a, b), тоf (x) 1  b  a f (x ) 2 ,(10)b  a f (x)  .(11)иf (x )2Доказательство. Докажем (10). Пусть f  RL2 (a, b). Т. к. 1 RL2 (a, b), то всилу неравенства Коши -Буняковского при g(x)=1(тождественно) получим1/ 21/ 2b 2 b f 1   f ( x)  1dx    f ( x)dx    dx   b  a f 2 .aa a Если же f  RL2 (a, b), то норма f (x ) 2 =   и неравенство (10) очевидно.bДокажем теперь неравенство (11). Пусть f  B(a, b) , тогда1/2f2b 2   f ( x)dx a1/2b   [sup f ( x) ]2 dx a1/21/2bb 2   f  dx   f    dx   b  a faa Если же f  В(a, b), то f  =   и (11) очевидно..Следствие. Если последовательность функций равномерно сходится на конечном интервале к некоторой функции, то она сходится на этом же интервалеи в смысле среднего квадратичного, следовательно, она сходится и в среднем ктой же функции. Доказательство вытекает из неравенстваfn  f b  a fn  f1 (10 ) (b  a) f n  f2 (11).Замечание 1.

Ограниченность промежутка в лемме 2 существенна.Замечание 2. Можно рассматривать и пространства функций, заданные нена интервалах, а на промежутках других типов, например, на отрезках: RLa; b ,RL2 a; b , CL[a;b], CL2 a; b .Если (a; b) –конечный интервал, то отображение, при котором каждойфункции, заданной на a; b , ставится в соответствие ее сужение на интервал (a;b), отображает пространства RLa; b , RL2 a; b  соответственно на пространстваRL(a; b) и RL2 (a; b) (т.

е. является сюръекцией) и сохраняет полунорму, т. к.значение интеграла от а до b некоторой функции не зависит от значений или отих отсутствия в точках x = a и x = b. При сужении на интервал (a; b) непрерывных на [a; b] функций уже не получится отображений пространств CL[a; b] ,CL2 a; b соответственно на пространства CL(a; b) и CL2 (a; b) , а только в этипространства (не каждую функцию, непрерывную на (a;b), можно с сохранением непрерывности продолжить на [a; b]), но зато эти отображения являютсявзаимно однозначными (т.е. инъекциями), т. к. они сохраняют значения норм.В полунормированном пространстве можно рассматривать не только конечные суммы его элементы, но и бесконечные, т.

е. ряды, членами которых являются элементы пространства. При этомdef xn  lim xn .(12)m n 1Лемма 3. Почти скалярное произведение непрерывно по порождаемой имполунорме.Доказательство. Пусть Х - линейное пространство с почти скалярным произведением xn  X , yn  X , n=1,2,… , x  X , y  X , lim x n  x , lim y n  y ,n nтогда( xn , yn )  ( x, y)  ( xn , yn )  ( x, yn )  ( x, yn )  ( x, y)  ( xn  x, yn )  ( x, yn  y)  ( xn  x, yn )  ( x, y n  y)  xn  x y n  x y n  y  0, n  ,( 4)ибо последовательность yn  ограничена, поскольку она сходящаяся иlim xn  x  lim yn  y  0 .nnСледовательно,lim ( x n , y n )  ( x, y ) .(13)n Следствие 1.

Если в линейном пространстве X с почти скалярным произведением сходится рядxn 1n, то для любого элемента y  X справедливо равен-ство    xn , y    ( xn , y) . n 1 n 1(14)Доказательство.mm   m  x n , y    lim  x n , y   lim   x n , y   lim  ( x n , y )   ( x n , y ) .n 1 n 1 (12 ) m n 1 (13) m n 1 m n 1Cледствие 2. Если (a, b) - конечный интервал, f n (x)  RL2 (a, b) , n=1,2,..., иfрядn 1b anсходится в RL2 (a, b) , то f n ( x)dx =   f n ( x)dx .n 1n 1ba(15)Доказательство.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций