Конспект лекций Гармонический анализ 4 семестр Черняев (1187979), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Теорема доказана.В силу очевидного включения0CL2 (a, b)  CL2 (a, b)  RL2 (a, b) ,CL 2 ( a, b) также плотно в RL2 ( a, b) .Сказанное справедливо для любого конечного или бесконечного промежутка. В случае отрезка функция, непрерывная на [a, b] так же, как и её квадрат,интегрируема по Риману на [a, b], а, следовательно, принадлежит RL2 ( a, b) . Дляотрезка множество непрерывных на нём функций совпадает с CL 2 ( a, b) . Отсюдаследует, что в случае отрезка множество непрерывных на нём функций плотнов RL2 ( a, b) .Черняев А.П.

2 – ой курс, 4 – й семестр.Лекция 10.Пространство L 2 (продолжение). Функция типа Дирихле какэлемент пространства L 2 . Понятие интеграла Лебега. Интегрируемость по Лебегу функции типа Дирихле.При использовании RL2 неудобным является то, что в нём определено почти скалярное, а не скалярное произведение, и поэтому, в частности, его нельзяпополнить до гильбертова пространства.

Опишем конструкцию, приводящую кпространству со скалярным произведением.Функции f1  RL2 (a, b), f 2  RL2 (a, b),  a  b   назовём эквивалентными, и будем писать f 1 ~ f 2 , еслиf1  f 22 0.(1)~~Обозначим через RL2  RL 2 (a, b) множество, элементами которого являютсяклассы эквивалентных функций пространства RL2  RL2 (a, b) .~Пусть F и G – элементы RL2 : F  { f }, f  RL2 ; G  {g}, g  RL2 .

Выберем в Fи G по элементу, f  F , g  G и определим для любых чисел  и  элемент F,G как класс эквивалентных функций, содержащий f + g,defF  G  {f  g} ,(2)а скалярное произведение F и G положим равным почти скалярному произведению f и g:def( F , G)  ( f , g ) ,(3)эти определения корректны, т.е. не зависят от выбора элементов f  F , g  G .Действительно, если f1  F , g1  G то, заметив, что f ~ f1 , g ~ g1 , а, следовательно,f  f12 0, g  g120получим(f  g )  (f1  g1 )2  ( f  f1 )   ( g  g1 ) 2   f  f1 2   g  g120.Это и означает, что f  g ~ f1  g1 .Из того, что RL2 - линейное, вытекает, что операция F + G является ли~нейной, т.е.

RL2 также линейное. Действительно, проверка восьми аксиом основывается на том факте, что два класса, имеющие общий элемент, совпадают.Покажем, что произведение (3) не зависит от выбора представителейf , f 1 ; g , g 1 соответственно в классах F и G эквивалентных функций:( f , g )  ( f1 , g1 )  ( f , g )  ( f1 , g )  ( f1 , g )  ( f1 , g1 )  ( f  f1 , g )  ( f1 , g  g1 )  f  f12y 2  f12g  g1 2  0,а поэтому ( f , g )  ( f1 , g1 ) .Покажем, что (F, G) является скалярным произведением. Свойства 1, 2, 3скалярного произведения следуют из аналогичных свойств почти скалярногопроизведения ( f , g ), f  F , g  G , и определения (3). Докажем, что для произведения (F, G) выполняется и четвёртое свойство скалярного произведения.Действительно, если (F, F) = 0 и f  F , то ( f , f )  ( F , F )  0 .Следовательно,( 3)f 0 2  f2 ( f , f )  0,т.е. f ~ 0, а это значит, что F = 0.~~Итак, RL2  RL 2 (a, b) с введёнными в нём операциями (2) и (3) является линейным пространством со скалярным произведением.

Можно показать, что ионо не является гильбертовым (т. е. оно неполное).~В силу (3), если f  F  RL2 , тоF~RL2 fRL2.В самом деле, F(4)~RL 2 (F , F )  ( f , f )  f( 3)RL2.Замечание 1. Если в F  RL2 (a, b) имеется непрерывная функция f  F , тоона единственна. Это следует из того, что если f , f1 непрерывны и эквивалентbны, то есть f  f122  ( f ( x)  f1 ( x)) 2 dx  0 , то f ( x)  f 1 ( x) для всех x  (a, b) .aИз замечания следует, что отображение, ставящее в соответствие каждой~f  CL 2 (a, b) содержащий её класс эквивалентных функций F  RL 2 (a, b) , явля~ется однозначным отображением CL 2 ( a, b) в RL 2 (a, b) , т.е. инъекцией. Приэтом линейные операции с функциями и скалярное произведение функций изCL 2 ( a, b) совпадают соответственно с линейными операциями и скалярнымпроизведением, применёнными к содержащим рассматриваемые функции классам, т.е.

к образам этих функций при указанной выше инъекции. Отождествивкаждую f  CL 2 (a, b) с содержащим её классом эквивалентных функций,~CL 2 ( a, b) можно рассматривать как подмножество пространства RL 2 (a, b) :~CL2 (a, b)  RL2 (a, b) .0Поскольку множество CL2 (a, b) непрерывных финитных на (a, b) функцийявляется подмножеством CL 2 ( a, b) , то0~CL2 (a, b)  CL2 (a, b)  RL2 (a, b) .(5)~Определение 1. Пополнение пространства RL 2 (a, b) называется лебеговымпространством L2  L2 (a, b) .0Теорема 1. Пространство CL2 (a, b),  a  b   плотно в гильбертовомпространстве L2 (a, b) .Доказательство. Пусть H  L2 (a, b) .

Зададим произвольно   0 .~~~Поскольку L 2 – пополнение RL2 , то RL2 плотно в L2 , т. е. RL2  L2 . Следо~вательно, существует F  RL2 , для которойH FL22.(6)Элемент F есть класс эквивалентных функций из RL2 . Пусть f одна из них:f  F . Тогда f  RL2 (a, b) , и, согласно соответствующей теореме существу0ет g  CL2 (a, b) , такая чтоf gRL22.(7)Функция g отождествлена с содержащим её классом эквивалентных функ~ций и поэтому является элементом пространства RL2 . Следовательно,FgL2 Fg~~RL 2 f gRL 2 ( 7 )2.(8)В результате будем иметьH gL2 H FL2 FgL2 ( 6 )(8 )22 .Теорема доказана.Следствие.

Пространство L2 (a, b) является пополнением пространстваCL 2 ( a, b) .0Доказательство. Из включений (5) получаем требуемое, ибо если CL20плотно в L 2 , то и CL 2 , содержащее CL2 , тем более плотно в L2 .Функция типа Дирихле как элемент пространства L 2Функцию типа Дирихле можно определить следующим образом 0, x  рациональн ое число,f ( x)  1, x  иррационал ьное число.Ограничимся произвольным конечным интервалом (a, b), т. е. будем рассматривать только те x, которые удовлетворяют неравенству a  x  b .

Известно, чтотакая функция типа Дирихле разрывна в каждой точке и не является интегрируемой по Риману, откуда f ( x)  RL2 (a, b) . Т. к., квадрат этой функции совпадаетс ней самой он также не является интегрируемым по Риману.Однако, такая функция типа Дирихле все-таки является элементом пространства L2 (a, b) и для того, чтобы это показать сначала докажем справедливость формулыf ( x)  lim sgn sin( n!x) ,(9)nгде 1, если x  0;sgn x   0, если x  0;- 1, если x  0.Действительно, пусть x– рациональное число, но тогда существует такоенатуральное число n0 , что число xn0 является целым. Тогда, очевидно, что целым числом является и число xn0 ! , поскольку оно делится на xn0 .

Замечая, чтопри натуральных n  n0 число n! делится на n0 ! , получаем делимость числа xn!на xn0 ! . Отсюда следует, что число n0 !x кратно , а значит и при всех натуральных n  n0 числа n!x также кратны . На основании только что сказанногоsin( n!x)  0, n  n0 ,числа n и n0 по – прежнему предполагаются натуральными. Тогда, очевидно,sgn sin( n!x)  0, n  n0 ,а значит иlim sgn sin( n!x)  0 .n(10)Таким образом, из (10) следует, что справедливость формулы (9) доказанадля рациональных x.Пусть теперь x – иррациональное число.

Тогда, какое бы натуральное числоn мы ни взяли, xn не будет являться целым числом. Это значит, что для любогонатурального n число xn! также целым являться не будет. Таким образом, n!xне будет кратно  ни при каком натуральном n. Это, в свою очередь, означает,что sin( n!x)  0 какое бы ни было натуральное n. Тогда, для любого натурального n sin( n!x)  0 , а значит иsgn sin( n!x)  1 .(11)Из равенства (11), очевидно, следует, чтоlim sgn sin( n!x)  1.n(12)Таким образом, из (12) следует, что справедливость формулы (9) доказана дляиррациональных x.Рассмотрим теперь функциональную последовательностьf n ( x)  sgn sin( n!x) .(13)Мы уже показали, получив формулу (12), что при любом натуральном n и любом иррациональном xf n ( x)  1 .Последнее равенство справедливо и при рациональном x, лишь бы было выполнено условиеn!x  l ,где l – целое число.

Если жеn!x  l ,тоf n ( x)  0 .Таким образом, для выполнения последнего равенства нужно, чтобыlx .n!При фиксированном n на конечном отрезке [a, b] таких рациональных точек конечное множество. Отсюда следует, что при любом фиксированном n функцияf n (x) – кусочно постоянна, а значит принадлежит пространству L2 (a, b) , болеетогоbf2n( x)dx  b  a .aУсловимся, кусочно постоянной функцией на [a, b] называть произвольнуюконечную линейную комбинацию характеристических функций любых промежутков из [a, b]. Очевидно, введенные ранее ступенчатые функции являютсячастным случаем кусочно постоянных.Далее, если мы при любом натуральном m рассмотрим выражение2f m ( x)  f n ( x) ,то на основании изложенного выше, получаем, что оно везде равно нулю за исключением конечного числа рациональных точек, в которых оно равно единице.Тогда, мы можем утверждать, что1b 22f m ( x)  f n ( x) L ( a ,b )    f m ( x)  f n ( x) dx   0 .2aОтсюда следует, что последовательность { f n ( x)}– последовательность кусочнопостоянных функций, фундаментальная в L2 (a, b) .

В силу полноты этого пространства, получаем, что в нем существует предел этой последовательности, который мы и понимаем как функцию Дирихле в пространстве L2 (a, b) .В итоге, мы получили, что обычная функция Дирихле является поточечнымпределом кусочно постоянных функций f n (x) из (13), а предел тех же функцийв пространстве L2 (a, b) , существование которого мы доказали, мы берем какопределение функции Дирихле в этом пространстве.Понятие интеграла ЛебегаНапомним, что линейным функционалом в линейном пространстве являетсяфункция на элементах этого пространства, удовлетворяющая условиям линейности [3] и непрерывности [1]. Чтобы непрерывный функционал был определенна всем пространстве достаточно его задать лишь на плотном множестве этогопространства, тогда на все остальные элементы этот функционал распространяется по непрерывности.В качестве линейного непрерывного функционала возьмем интеграл Римана,то естьbI ( f )   f ( x)dx .(14)aЛинейность функционала (1) означает справедливость равенства [3]I (f  g )  I ( f )  I ( g ); ,   const .(15)Но подставив (15) в (14) мы получим широко известное свойство линейностиинтеграла.В силу линейности, очевидно, что для установления непрерывности (14) накаждом элементе пространства достаточно доказать непрерывность этого функционала в нуле.

Действительно, эта непрерывность означает, чтоI ( f )  I ( g ) при f  g в смысле L 2 .Но, в силу линейности, это эквивалентно условиюI ( f )  I ( g )  I ( f  g )  0 при f  g  0 в смысле L 2 .Обозначив f  g  h , получимI (h)  0 при h  0 в смысле L 2 ,(16)а это и означает непрерывность I в нуле.Непрерывность в нуле функционала (14), заданного на L2 (a, b) следует изнеравенства Коши–Буняковского11b 2 2b  2I (h)   h( x)dx    h ( x)dx    dx   b  a haa a Из последнего соотношения следует, что еслиh L ( a ,b )  0 , то I (h)  0 .bL2 ( a ,b ).2Последнее как-раз и означает (16).В качестве плотного множества в L2 (a, b) возьмем множество кусочно постоянных функций, каждая из которых, очевидно, интегрируема по Риману.Как уже показано ранее, любая функция из L2 (a, b) может быть представлена фундаментальной в смысле нормы L 2 последовательностью ступенчатыхфункций в силу плотности множества ступенчатых функций в L 2 .

Характеристики

Список файлов лекций