Конспект лекций Гармонический анализ 4 семестр Черняев (1187979), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Таким образом, можно сказать, что любая функция из L2 (a, b) может быть представленафундаментальной в смысле нормы L 2 последовательностью f n – кусочно постоянных функций, поскольку ступенчатая функция является частным случаем кусочно постоянной и множество кусочно постоянных функций, как более широкое, чем ступенчатых, также плотно в L2 (a, b) .Интегрируемость по Лебегу функции типа Дирихле.Итак, функция типа Дирихле f(x), как элемент L2 (a, b) , есть предел в смыслепространства L2 (a, b) фундаментальной в этом пространстве последовательности кусочно постоянных функций (13).Интеграл от каждой из этих функций (13) существует, поскольку f n (x) –кусочно постоянна и равен единице, так как f n (x) на [a, b] отличается от единицы лишь в конечном числе точек, которые, как известно, не могут изменитьзначения интеграла.

Отсюда, по опредению интеграла Лебегаbb f ( x)dx  lim  fan n( x)dx  b  a .aЧерняев А.П. 2 – ой курс, 4 – й семестр.Лекция 11.Ортогональные системы. Полные системыОртогональные системыПусть Х – линейное пространство со скалярным произведением, а А – некотороемножество,называемоемножествоминдексов.Система {x :   A}, x  X , называется ортогональной, если ( x , x )  0 при   ,  A,   A .

Если, кроме того, для всех   A выполняется условие( x , x )  1 , то система {x :   A}, x  X называется ортонормированной.Лемма 1. Если {x :   A} - ортогональная система в пространстве со скалярным произведением и для всех   A выполняется неравенство x  0 , тоэта система является линейно независимой системой.Доказательство. Надо показать, что, каково бы ни было конечное подмножество элементов системы {x :   A} , его элементы линейно независимы.Пусть x i  {x :   A} и существуют числа i , i  1,2,..., n , такие, что1x  ...

 n x  0 .1(1)nУмножив (1) скалярно на x k (k  1,2,..., n) , получимn  ( x , xii 1ik)  0.Так как при i  k выполняется равенство ( x i , x k )  0 , то k ( x k , x k )  0 . Поусловию x k  0 , следовательно, и ( x i , x k )  0 , поэтому k  0 . Таким образом, из (1) следует, что все i , i  1, 2,..., n равны нулю, а это и означает линейную независимость элементов x k (k  1,2,..., n) .Примеры. 1. Тригонометрическая система1, cos x, sin x, ..., cos nx, sin nx...ортогональна в пространстве L2 ( ,  ) , а система1 cos x sin xcos nx sin nx,,,...,,,...2ортонормирована.

Это следует из соответствующей леммы.2. ПолиномыP0 ( x)  1, Pn ( x) 1 d n ( x 2  1)n, n  1,2,... ,2n n!dxnназываемые полиномами Лежандра, образуют ортогональную систему в пространстве L2 (1,1) .Докажем это. Заметив, чтоd k ( x 2  1)ndx n 0, k  0,1,...,n  1 ,x  1и, проинтегрировав последовательно по частям, получим при 0  m  n  1 :n 1d n ( x 2  1)n( x 2  1)nm dxdxxdx ndx n 11111m1 m  x m11d n 1 ( x 2  1) ndx  ... dx n 11d n m ( x 2  1) nd n m1 ( x 2  1) nm(2) (1) m! dx  (1) m!0,dx n mdx n m111ибо 0  n  m  1  n  1.Поскольку любой многочлен Qm (x) степени не выше m, m = 0,1,…,n – 1,1mявляется линейной комбинацией степеней 1, x, x2 ,..., xm , то из (2) следует, что1Qm( x) Pn ( x)dx  0, m  0,1,..., n  1.1В частности,1 P ( x) P ( x)dx  0, m  n .mn1Вычислим интеграл от квадрата Pn (x) на [–1, 1].

Положим un ( x)  ( x2  1)n . Тогда1111(n)(n)( n 1)( n 1) un ( x)un ( x)dx    un ( x)un ( x)dx 11  un( n 2) ( x)un( n  2) ( x)dx  ...  (1) n  un ( x)un(2 n ) ( x)dx 111 (2n)!  (1  x) n (1  x) n dx.1Но11111nn 1nn 11 (1  x) (1  x) dx  n  1 1 (1  x) d (1  x)  n  1 (1  x) (1  x) 1nn1111nn 1n 1  (1  x)n1 d (1  x)n  (1x)n(1x)dx(1  x)n1 (1  x)n1 dx  ...

n1n1111n(n  1)...1n(n  1)...1  (1  x)2 n12n(1x)dx(n  1)(n  2)...2n 1(n  1)(n  2)...2n  2n  12 n 12n(n  1)...1 2(n !)22 n 1.(n  1)(n  2)...2n(2n  1) (2n)!(2n  1)11 1Поэтому,211 d n ( x 2  1)n 11P(x)dxdxu ( n ) ( x)un( n ) ( x)dx 2n2 n2n2  n12 (n !) 1 dx2 (n !) 112n112 2n(2n)!  (1  x) n (1  x) n dx ,22 (n !)2n  111Pn2 P ( x)dx 2n12.2n  1Лемма 2. Всякий многочлен степени не выше n является линейной комбинацией полиномов Лежандра P0 ( x), P1 ( x),..., Pn ( x) .Доказательство. Прежде всего заметим, что степени 1, x, x2 ,..., xn линейнонезависимы, т.к., если0  1x  2 x2  ...  n 1xn 1  n xn  0(3)на каком-то промежутке, то, продифференцировав последовательно n раз равенство (3), получим0  1 x  2 x2  ...

 n1 xn1  n xn  0,1 1  22 x  ...  (n 1)n1 xn2  nn xn1  0,..................................................,(n 1)!n1  n(n 1)...2n x  0,n!n  0.Из последнего равенства следует, что n  0 . Подставив это значение n впредпоследнее равенство, будем иметь n 1  0 . Продолжив этот процесс, получим n  2  n 3  ...  1  0  0 , что и означает линейную независимость степеней 1, x, x2 ,..., xm . Следовательно, эти степени образуют базис в их линейнойоболочке L(1, x, x2 ,..., xn ) , являющейся, очевидно, (n + 1) – мерным пространством всех многочленов степени не выше n, дополненных нулевым многочленом.Теперь заметим, что любая система n + 1 многочленов, степени которыхразличны и не превосходят n, т.

е. система многочленов Q0 ( x), Q1 ( x),...,Qn ( x) ,где многочлен Qk (x) имеет степень, равную k, k = 0, 1, …, n, образует базис впространстве L(1, x, x2 ,..., xn ) . Действительно, если Qk ( x) kam0kmx m , то по усло-вию akk  0 . Таким образом, многочлены Qk (x) выражаются через элементыбазиса 1, x, x2 ,..., xn с помощью треугольной матрицы, диагональные элементыкоторой не равны нулю, и, следовательно, с помощью невырожденной матрицы.Поэтому многочлены Qk ( x), k  0,1,..., n , также образуют базис в пространствеL(1, x, x2 ,..., xn ) .Полиномы Лежандра Pk ( x), k  0,1,..., n , удовлетворяют указанному условию: полином Pk (x) имеет в точности степень k.

Поэтому они образуют базис впространстве L(1, x, x2 ,..., xn ) , состоящем из всех многочленов степени не вышеn и нулевого многочлена. Отсюда и следует, что любой многочлен степени невыше n является линейной комбинацией полиномов Лежандра. Теорема доказана и попутно доказаноСледствие. Линейная оболочка степеней 1, x, x2 ,..., xn , т. е. множество всехмногочленов степени не выше n, дополненных нулевым многочленом, совпадает с линейной оболочкой полиномов Лежанлра P0 ( x), P1 ( x),..., Pn ( x) .Полные системы.Определение 2. Пусть X – полунормированное пространство. Система{x ;  A} его элементов называется полной в нём, если линейная оболочкаэтой системы плотна в нём по его полунорме.Иначе говоря, полнота системы {x ;  A} в пространстве X означает, чтодля любого x  X и любого   0 существуют такие элементы x1 , x2 ,..., xnэтой системы и такие числа 1, 2 ,..., n , чтоx  (1 x1  2 x 2  ...

 n x n )   .Из этого определения следует, что если две системы элементов полунормированного пространства имеют одинаковые линейные оболочки, то они одновременно полны или неполны в нём. Примером полной системы является система всех непрерывных финитных на (a, b) функций в полунормированномпространстве RL2 (a, b) и в гильбертовом пространстве L2 ( a, b) (см. соответствующие теоремы).Определение 3. Полунормированное пространство X называется вложеннымв полунормированное пространство Y, если: 1) X  Y , 2) существует постоянная c > 0, называемая константой вложения, такая, что для каждого x  X выполняется неравенствоxY c x X.(4)В этом случае пишут XY.Отметим, что если X 1 ,Y1 являются соответственно подпространствами пространств X , Y , причём X 1  Y1 , то из вложения XY следует, очевидно, вложение X 1  Y1 с той же константой.Примеры 1. Простейшим примером вложения является тождественное вложение, когда полунорма на X является сужением полунормы на Y, т.

е. когдаx X  x Y для всех x  X . В этом случае константа вложения равна единице.Примерами таких вложений являются вложения C[a, b]  B[a, b] , CL1[ a, b] RL1[ a, b] , CL2 [a, b]  RL2 [a, b] , CL2 [a, b]  L2 ( a, b) .2. Из неравенства f 1  b  a f 2 следует вложение RL2 [a, b]  RL1[ a, b] , а,следовательно, и вложение для подпространств непрерывных функцийCL2 [a, b]  CL1[ a, b] .3. Из неравенства f(5)1 ba fследует, что если в линейном простран-стве B[a, b] RL2 [a, b] взять в качестве нормыfпространства B[a, b] , тоимеет место вложение B[a, b] RL2 [a, b]  RL2 [a, b] , а, следовательно, и вложениеC[a, b]  CL2 [a, b] .(6)В примерах 2 и 3 число b  a является константой рассмотренных вложений.Вложение пространств, очевидно, обладает транзитивностью: еслиX  Y и Y  Z, то X  Z.

Так из вложений C[a, b]  CL2 [a, b] иCL2 [a, b]  L2 [ a, b] следует, чтоC[a, b]  L2 [ a, b] .(7)Отметим, что если  , xn  X , n = 1,2,…, x  X и lim xn  x по полуn норме в , то lim xn  x и по полунорме в . Действительно, из (4) следует, чтоn 0  xn  x Y  c xn  xX 0 при n  Таким образом,lim xn  x Y  0 .nОписанное свойство вложения называют его непрерывностью.Лемма 3. Пусть X и Y – полунормированные пространства. Если : 1) система { x ;   A } элементов из X полна в нем, 2)  , 3) пространство Xплотно в Y ,то { x ;   A } полна в Y.Доказательство: Пусть y  Y и задано  > 0 .т.

к. X плотно в Y, то существует x  X , такой чтоyx Y (8)2В силу полноты { x ;   A } в X существует конечные множества x1 ,..., xnэлементов системы и чисел 1 ,...n также , чтоx  (1 x1  ...  n xn )X  / (2c)(9)где с - константа вложения  , . Поэтомуy  (1 x1  ...

 n x n )Y y  x Y  x  (1 x1  ...  n x n )c x  (1 x1  ...  n x n )(9)X22(4),(8)Y2.Лемма доказана.Примеры: 4. Система степеней 1, x, x2 ,..., xk согласно теореме Вейерштрассаполна в C[a, b] , а в силу вложений (5) и (6), согласно лемме 3, эта система полнаи в CL2[a, b] и CL1[a, b] (все пространства C[a, b] , CL2[a, b] и CL1[a, b] состоятиз одних и тех же функций, поэтому условие плотности одного в другом выполняются очевидным образом). Поскольку CL2[a, b] плотно в L2 (a, b) (см.следствие из теоремы 1 предыдущей лекции), то в силу тождественного вложе-ния CL2[a, b] в L2 (a, b) , согласно лемме 3, система степеней 1, x, x2 ,..., xk полнав L2 (a, b) .5.

Характеристики

Список файлов лекций