Конспект лекций Гармонический анализ 4 семестр Черняев (1187979), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Поскольку кусочно-гладкая функция f это такая функция,что существует такое разбиение отрезка, что на каждом из интервалов разбиения f  непрерывна и существуют все односторонние пределы производной накаждом из концов любого отрезка разбиения. Ясно, что f  определена везде,кроме может быть конечного числа точек и кусочно-непрерывна.

Если an , bn –коэффициенты Фурье f , а an , bn – коэффициенты Фурье f  , то из теоремы одифференцировании рядов Фурье, найдёмbaa0  0, an   n , bn  n , n  натуральное .(14)nnПоскольку f   L2 ( ,  ) , то можно записать неравенство Бесселя для неё (a )n 1n2 (bn ) 21[ f ( x)]2dx .(15)В силу (14) имеемan cos nx  bn sin nx  an  bn annbn111 (an )2  (bn )2  2 .n 22nПоследнее неравенство справедливо в силу того, что2a1111(an ) 2  n  2   an    0 ,2n 2n2n2bn11112(bn )   bn    0 .2n 2n 2 2 nТак как в силу (15) числовой ряд1  2 (a )nn 1211 (bn )2  2 2n сходится, то по признаку Вейерштрасса рядa0   (a n cos nx  bn sin nx)n 1сходится равномерно на (, ) .Черняев А.П.

2 – ой курс, 4 – й семестр.Лекция 13.Свойства собственного интеграла, зависящего от параметра.Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов. Непрерывность несобственного интеграла по параметру.Интегрируемость несобственного интеграла по параметру.Дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.Свойства собственного интеграла, зависящего от параметра .Доказано [1], что если f непрерывна наE  {( x, y) :  ( y)  x   ( y), c  y  d } ,где φ и ψ непрерывны на [c, d], то функция ( y)( y ) f ( x, y )dx( y)непрерывна на [c, d].Теорема 1.

Если f непрерывна на K  {( x, y) : a  x  b, c  y  d } , тоdbbdcaac dy f ( x, y)dx   dx f ( x, y)dy .(1)Доказательство. Каждый из повторных интегралов в (1) равен двойномуинтегралу по K от f.bfТеорема 2. Пусть f инепрерывны в области G  K . Тогда  f ( x, y)dxyaнепрерывно дифференцируем по y на [c, d], причёмdff ( x, y)dx   ( x, y)dx, y  [c, d ] .dy ayabb(2)bДоказательство.f( x, )dx ,ya ( )  Обозначивиз(1)дляK y  {( x,) : a  x  b, c    y} , получаемffc  ()d  c d a y ( x,)dx  a dxc y ( x,)d  a f ( x, y)dx  a f ( x, c)dx .yybbybb(3)Левая часть (3) дифференцируема, а, значит, дифференцируема и правая,следовательноbd ( y)   ( x, y)dx ,dy aчто и означает (2).fнепрерывны вyТеорема 3.

Пусть f и2, а φ(y) и ψ(y) дифференцируемына [c, d]. Тогда ( y) ( y)df ( x, y)dx   f ( x, y)dx  f ( ( y), y) ' ( y)  f ( ( y), y) ' ( y)dy  ( y ) ( y)(4)Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функцииvF ( y, u, v)   f ( x, y)dx, u   ( y), v   ( y) ,uимеемdF F FFu ( y) v( y) ,dy y uvоткуда следует (4).Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру.Предположим, что: 1)    a  b   ; 2) f ( x, y ) задана на множестве( x, y) : x  a, b), y  Y ; 3) для любого   a,b) и для любого y  Y существуетинтеграл Риманаf ( x, y)dx ; 4) для любого y  Yab f ( x, y)dxсходится как не-aсобственный.bЕсли выполнены 1-4, то говорят, что f ( x, y)dxс особенностью в b схо-aдиться на Y .bАналогично рассматривают f ( x, y)dx с особенностью в a ,    a  b.

Есaли и a и b особые точки, то интеграл нужно разбить на сумму двух интеграловс одной особой точкой.bОпределение. Пусть f ( x, y)dxсходится на множестве Y . Говорят, что ин-aтеграл сходится равномерно по параметру у на Y , если   0кое, что   [b, b) и y  Y выполнено неравенство:b   a,b) та-b f ( x, y )dx   .bКритерий Коши. Для того, чтобы f ( x, y)dxсходился равномерно по па-aраметру y на Y , необходимо и достаточно, чтобы   0 b   a,b) такое, что ,    [b, b) и y  Y выполнялось неравенство f ( x, y )dx  (5)b f ( x, y)dxНеобходимость. Пустьравномерно сходится по y на Y . Тогдаa  0 b   a,b) , такое, что   [b, b) и y  Yb f ( x, y)dx  2 .(6)Из (6) для  ,    [b, b) и y  Y получаемbf ( x, y )dx bf ( x, y )dx   f ( x, y )dx bbf ( x, y )dx  f ( x, y)dx   .Достаточность.

Пусть   0 b   a,b) такое, что  ,    [b' , b) и y  Yвыполнено (5). Тогда из критерия Коши сходимости несобственных интегралов,b f ( x, y)dx сходится при y  Y . Перейдя в (5) к пределу при    b  0 , полуaчаем, что   [b' , b) и y  Y справедливо неравенствоb f ( x, y )dx   . В силупроизвольности   0 достаточность доказана.Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов.Признак Вейерштрасса.

Пусть y  Y f ( x, y ) интегрируема по х на любом[a, b]  [a, b) и на [ a, b) существует  (x) такая, что x  [a, b) и y  Y выполнено неравенствоf ( x, y)   ( x) , аbb  ( x)dx сходится. Тогда f ( x, y)dxaaсходится равномерно по y на Y .Доказательство. Из условия   0 b   a,b) такое, что  , [b, b)bсправедливо неравенствоb  ( x)dx   . Так как  f ( x, y)dxсходится абсолютноay  Y по признаку сравнения, то   [b, b) и y выполнено неравенствоbbbf ( x, y )dx   f ( x, y ) dx    ( x)dx   ,то есть искомый интеграл сходится равномерно по y на Y .g ( x, y )непрерывныxпо х на [a,) ; 2) F ( x, y ), первообразная по х функции f ( x, y ) y  Y , ограниg 0 при y  Y и x  [a,) ; 4)чена на множестве x  [a,), y  Y ; 3)x (x) непрерывная на [a,) , такая что g ( x, y)   ( x) для y  Y и x  [a,)Признак Дирихле.

Пусть: 1) y  Y f ( x, y), g ( x, y ) ии lim  ( x )  0 .xТогда равномерно по y на Y сходится интеграл f ( x, y) g ( x, y)dx .(7)aДоказательство. По признаку Дирихле (7) сходится y  Y . Покажемравномерную сходимость (7) на Y . Из 4) следует, что   0 a  a такое, что  [a,) выполнено неравенство ( )   2C ,(8)где C  F ( x, y ) при y  Y , x  [a,) . Для y  Y и   [a ,) из интегрирования по частям и того, что g ( x, y)  0 при x   , получаемf ( x, y) g ( x, y)dx   F ( , y) g ( , y)   F ( x, y)g ( x, y)dx .x(9)Из (9), (8) и условия имеемf ( x, y ) g ( x, y )dx  C ( )  C ( )  C  Cg ( x, y )dx xg ( x, y)dx  C ( )  Cg ( , y)  2C ( )   .xОтсюда следует равномерная сходимость (7) по y на Y .Непрерывность несобственного интеграла по параметру.Теорема4.Пусть( x, y ) : a  x  b, c  y  d f ( x, y ) -непрерывнанамножествеbи f ( x, y)dxсходится равномерно по y на [c, d ] .aТогда этот интеграл – непрерывная функция y на [c, d ].Доказательство.

В силу равномерной сходимости   0 b  [a, b) такое,что y  [c, d ]b f ( x, y)dx  3 .(10)bbНо собственный интеграл f ( x, y)dxесть непрерывная функция y на [c, d ] .aПусть y0 [c, d ] . Найдется   0 такое, что y  [c, d ] и такого, что y  y0  имеет местоbb f ( x, y)dx   f ( x, ya0)dx a3.(11)Тогда для любого y  [c, d ] такого, что y  y0   , имеем в силу (10) и (11)babf ( x, y)dx   f ( x, y0 )dx abbf ( x, y)dx   f ( x, y0 )dx aabb f ( x, y)dx b f ( x, y )dx  3  3  3   .0bЭто и означает искомую непрерывность.Интегрируемость несобственного интеграла по параметру.f ( x, y )Теорема5.Пустьнепрерывнанамножествеb( x, y ), a  x  b, c  y  d  и  f ( x, y)dxсходится равномерно по y на [c, d ] .

То-aгдаdbbdcaac dy f ( x, y)dx   dx f ( x, y)dy .(12)bДоказательство. Функция f ( x, y)dxнепрерывна по y на [c, d ] , а значитaинтегрируема, то есть интеграл левой части (12) существует. Далее  0 b  [a, b) такое, что   (b.b) и y  [c, d ] выполненоb f ( x, y)dx  d  c .(13)Переставляя порядок интегрирования в собственных интегралах, получимddсaac dy f ( x, y)dx  dx f ( x, y)dy .(14)Покажем, что интеграл левой части (14) при   b  0 стремится к интегралу левой части (12). Действительно,dbdcac dy  f ( x, y)dx   dy  f ( x, y)dx adbd bcc   dy  f ( x, y )dx  dd  c c f ( x, y)dx dy dy   .Левая часть (14) имеет предел при   b  0 .

Поэтому правая часть (14)также имеет предел при   b  0 . Переходя к пределу при   b  0 в (14) получаем (12).Теорема 6. Пусть f ( x, y ) непрерывна на множестве( x, y ), a  x  b, c  y  d и выполнены условия:b1)  f ( x, y ) dx сходится равномерно по y на любом [c, d ]  (c, d );ad2)  f ( x, y ) dx сходится равномерно по x на любом [a .b]  (a, b) ;cdbcabd3) один из двух интегралов  dy f ( x, y) dx ,  dx f ( x, y ) dy сходится.acbddbaccaТогда сходятся оба повторных интеграла  dx f ( x, y)dy и  dy f ( x, y)dx иbddb dx f ( x, y)dy =  dy f ( x, y)dx .acc(15)aДоказательство. а) Пусть f  0 и существует интегралbdac dx f ( x, y)dy .Возьмем произвольно [c, d ]  (c, d ); и применим теорему 5, тогдаd'bbd'acbd dy f ( x, y)dx =  dx f ( x, y)dy   dx f ( x, y)dy .caa(16)cbПерестановка интегрирования законна, так как f ( x, y)dxсходится равно-aмерно по y на [c, d ]  (c, d ); .

Последнее неравенство в (16) следует из неотрицательности f и существованияbdac dx f ( x, y)dy . Переходя в (16) к пределу приd   d  0 и c  c  0 и замечая, что, в силу неотрицательности f интеграл влевой части (16) есть возрастающая функция верхнего предела d  и убывающаяфункция нижнего предела c , получаем, чтоdbbdI 2   dy f ( x, y)dx   dx f ( x, y)dy  I 1 .caa(17)cПроделав то же самое рассуждение дляdbca dy f ( x, y)dxполучим вместо (17)неравенство I 1  I 2 .

Поэтому справедливо (15).б) Пусть f ( x, y ) знакопеременна. Представим её в виде f  f   f  , гдеf ff ff , f , f   0, f   0.22Очевидно, что 0  f   f , 0  f   f . Используя критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов, получаем, что для f  и f выполнены условия теоремы. В силу пункта а) доказательства повторные интегралы от f  и f  равны. Поэтому и равны и повторные интегралы отf  f   f .Дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.Теорема 7. Пусть f ( x, y ) и f y ( x, y) непрерывны на множестве( x, y ), a  x  b, c  y  d bиfy( x, y)dx сходится равномерно по y на [c, d ] .abbТогда, еслиf ( x, c)dx сходится, тоa f ( x, y)dxсходится на [c, d ] и являетсяaна [c, d ] непрерывно дифференцируемой функцией y , причемbbd(18)f ( x, y)dx   f y ( x, y)dx .dy aaДоказательство.

Пусть c  y  d . В силу равномерной сходимостиbfy( x, )dx на [c, y] законна перестановка порядка интегрированияaybca d  fyfybbacaa( x,)dx   dx f y ( x, )d   f ( x, y)dx   f ( x, c)dx .bТак какby(19)( x, )dx сходится равномерно по  на [c, d ] , то он будет непре-aрывной функцией  на [c, d ] и интеграл, стоящий в левой части (19), будетbнепрерывно дифференцируемой функцией y на [c, d ] .

Но тогда и f ( x, y)dxaесть непрерывно дифференцируемая функция на [c, d ] . Дифференцируя обе части (19) по y получаем (18).Черняев А.П. 2 – ой курс, 4 – й семестр..

Характеристики

Список файлов лекций