Конспект лекций Гармонический анализ 4 семестр Черняев (1187979), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Система полиномов Лежандра полна в C[a, b] , CL1[a, b] , CL2[a, b] иL2 (a, b) , при a  1, b  1 . Это следует из того, что согласно следствию леммы 2полиномы Лежандра и степени 1, x, x2 ,..., xk имеют одну и ту же линейную оболочку.6. Обозначим через С[ ,  ] и С L2 [ ,  ] – подмножества соответственнопространств C[ ,  ] и CL2[ ,  ] , состоящих из таких непрерывных на [ ,  ]функций f , что f ( )  f ( ) . Тогда0CL2 [ ,  ]  C L2 [ ,  ]  L2 ( ,  )0Множество CL2 [ ,  ] плотно в L2 ( ,  ) (теорема 1 предыдущей лекции),поэтому C L2 [ ,  ] также плотно в L2 ( ,  ) .Тригонометрическая система1,sin x, cos x,...,sin nx, cos nx,...,согласно теореме Вейерштрасса полна в С[ ,  ] , поэтому в силу вложенияС[ ,  ]  L2 (a, b) , которое справедливо в силу (7), и плотности С L2 [ ,  ] вL2 ( ,  ) тригонометрическая система полна и в L2 ( ,  ) .Мы получили примеры двух ортогональных полных систем : в L2 ( ,  )тригонометрической и полиномов Лежандра в L2 (1,1) .Черняев А.П.

2 – ой курс, 4 – й семестр.Лекция 12.Коэффициенты Фурье по ортогональной системе.Минимальное свойство коэффициентов Фурье.Равенство Парсеваля.Существования базиса пространства.Необходимое и достаточное условия ,чтобы последовательность вещественных чисел была последовательностью коэффициентов Фурье элемента полного пространства. Связь замкнутости и полноты системы. Дифференцирование рядов Фурье и порядок убывания их коэффициентов. Равномерная сходимость ряда Фурье.Коэффициенты Фурье по ортогональной системе.Пусть X-пространство со скалярным произведением. Если любой элементxX можно представить в виде.x  limmmn 1n 1 a n en   a n en ,(1)где a n – некоторые числа, система {ei }i 1, 2,...

линейно независима, а представление (1) единственно, то эта система называется базисом в X.Если {ei }i 1, 2,... ортогональный базис ,то при k  n n  ai ei , ek   a k (ek , ek ). i 1(2)В силу (1) и непрерывности скалярного произведения, переходя в (2) к пределу при n, получимak ( x, ek )ek2, k  1,2,...

.(3)Числа a k называют коэффицентами Фурье элемента x по ортогональной системе {ei }i 1, 2,... .Если отказаться от требования ,что {ei }i 1, 2,... базис в X, то коэффициентыФурье всё равно можно вычислить по формулам (3). Выражениеa ek 1k k, гдеa k – коэффиценты Фурье элемента x, будем называть рядом Фурье элемента x поортогональной системе {ei }i 1, 2,... , понимая, что он может и не сходиться.Если {ei }i 1, 2,...

– ортонормированный базис т.е. ek  1 , то (3) имеет видak  ( x, ek ), k  1,2,... .Минимальное свойство коэффициентов Фурье.Теорема 1. Если ei i 1,2,... – ортонормированная система в X– пространствесо скалярным произведением, то для любого xX справедливо равенствоnni 1i 1min x    i ei  x   ( x, ei )ei .1 ,... n(4)2nДоказательство. Обозначим  n  x   i ei . Так как x =(x, x), то, в си2i 1лу ортонормированности ( x, ei )  ai . Далее,nnnn0   n  ( x  i ei , x  i ei )  ( x, x)  2i ( x, ei )  i2 i 1nnni 1i 1i 1i 1ni 1i 1nni 1i 1 x  i2  2i ai   ai2   ai2  x   (i  ai )2   ai2 .22i 1(5)Из (5) следует, что минимум  n достигается при  i  ai причёмn0  min  n  x   ai ei2i 1in x   ai2 .2(6)i 1Теорема доказана.Следствие .

Для коэффициентов Фурье элементов x по ортонормированному базису система {ei ) справедливо неравенство Бесселя .ai 12i x .2(7)nДокозательство : Из (6) следует , чтоai 12i x .Переходя к пределу при2n, получаем (7).Равенство Парсеваля.Существования базиса пространстваТеорема 2. Если {ei }i 1, 2,... ортонормированная система в X пространстве соскалярным произведением, то следующие условия эквивалентны:1) {ei }i 1, 2,... полна в X ;2) для любого xX справедливо равенство Парсеваляx2  ai2 , ai  ( x, ei ) ;(8)i 13) для любого xX выполнено равенствоx   ai ei .i 1(9)Доказательство.

Докажем, что из 1) следует 2). В силу 1) для любого  > 0nнайдётся линейная комбинация ei ii 1, такая чтоnx    i ei   .(10)i 1Из минимального свойства коэффицентов Фурье и (10)2n0  x   ai eini 1n x   a  x   i ei22ii 122.i 1Используя это неравенство и неравенство Бесселя , получаемn0  x   ai2  x   ai2   2 .22i 1i 1В силу произвольности  получаем (8).Докажем, что из 2) следует 3).Из (8) имеемnx   ai ei22i 1n x   ai2  0 ,i 1n то есть справедливо (9).Утверждение, что из 3) следует 1) очевидно. Теорема доказана.Необходимое и достаточное условие ,чтобы последовательность вещественныхчисел была последовательностью коэффициентов Фурье элемента полного пространства.Теорема 3. Пусть X – гильбертово пространство и {ei }i 1, 2,... – ортонормированная система его элементов.

Для того,чтобы ряд ei 1(11)i iсходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой рядi 12i.Доказательство. Необходимость следует из неравенство Бесселя. Еслиx   i ei , то  i  ( x, ei ) иi 1i 12i x .2Докажем достаточность. Пустьi 12i– сходится. Для любого  > 0 найдетсяномер N, такой что для всех n, m  N выполнено неравенствоi 12i .Последовательность частичных сумм ряда (11) будет фундаментальной, так какдля любых n, m  N выполнено условиеSn  Sm2m i ei2i nm  i2   ,i nгде S n  1e1  ...

  n en .Но X – полно, значит последовательность {S n } сходится, то есть сходится иряд (11).Связь замкнутости и полноты системыОртогональная система {ei } называется замкнутой в пространстве со скалярным произведением X, если для любого x  X из равенств( x, ei )  0, i  1, 2,... следует, что x = 0.Теорема 4. Для того, чтобы ортонормированная система была полной в X,необходимо, а в случае если X полно, и достаточно чтобы она была замкнута.Доказательство Необходимость.

Пусть {ei } – полная система. Если для xXсправедливы равенства ( x, ei )  0 , i–натуральное, то применяя равенство Парсеваля, получимx2  ( x, ei ) 2  0 ,i 1то есть x = 0.Достаточность: пусть X – полно. Покажем, что для любого xX ряд Фурье поортонормированной системе сходится и справедливо представлениеx   ai ei  y , ai  ( x, ei ) , ( y, ei )  0 .(12)i 1Пустьa ei 1i i– ряд Фурье элемента x.

В силу неравенства Бесселя рядai 12iсходится. Тогда рядa ei 1i i–сходящийся.nПусть y  x   ai ei  lim  x   ai ei  . В силу ортогональности {ei } и непреn i 1i 1рывности скалярного произведения получаемni 1x   ai ei   ( x, ei )  ai  0 . y, ei   limn  Воспользуемся представлением (12). Из замкнутости {ei } следует, что если y, ei   0 , i–натуральное, то y = 0. То есть любой элемент x есть сумма своегоряда Фурье на ортонормированной системе {ei } . Следовательно, система {ei }полна в X.Дифференцирование рядов Фурьеи порядок убывания их коэффициентов.Теорема 5. Если f непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производнуюна [ ,  ] , f ( )  f ( ) , то ряд Фурье f  получается при помощи формального почленного дифференцирования ряда Фурье f .Доказательство.

Пусть an , bn - коэффициенты Фурье f , а an , bn - коэффициенты Фурье f  , тогдаa0 12f ( x)dx 1 f ( )  f ( )  0,an   f ( x) cos nxdx  f ( x) cos nx  2  nf ( x) sin nxdx  (1) n  f ( )  f ( )  nbn  nbn , an  nbn ,bn f ( x) sin nxdx  f ( x) sin nx    nf ( x) cos nxdx  nan , bn  nan .Поэтому ряд Фурье f (x) будет иметь видn 1n 1n 1d an cos nx  bn sin nx    nbn cos nx  nan sin nx    an cos nx  bn sin nx  .dxТеорема доказана. Из неё вытекаетСледствие 1. Если 2π – периодическая функция f имеет на [ ,  ] k – 1непрерывных производных и кусочно-непрерывную k – ю производную, то рядФурье f (k ) получается k – кратным почленным дифференцированием рядаФурье f .Следствие 2.

Если выполнены условия следствия 1, и, кроме того, f (k ) абсолютно интегрируемы на [ ,  ] , то для коэффициентов Фурье f справедливы равенстваan  o(n k ), bn  o(n k ), n   .(13)Доказательство. В силу следствия 1k  kk( x) ~   n k an cos  nx   n bn sin  nx 2 2n 1 f(k ) .С точностью до знака n k an , n k bn есть коэффициенты Фурье f (k ) и, поэтоkkму по теореме Римана lim n k an  0, lim n k bn  0 , т.е. выполнено (13).nnРавномерная сходимость ряда Фурье.Теорема 6. Пусть f  2 – периодическая кусочно-гладкая и непрерывная на[ ,  ] функция. Тогда ряд Фурье f сходится равномерно.Доказательство.

Характеристики

Список файлов лекций