Конспект лекций Гармонический анализ 4 семестр Черняев (1187979), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Применим (14) к ряду элементов пространства RL2 (a, b) ,взяв у=1  RL2 (a, b) :b b =f(x)dxf(x)1dxf,1(f,1)f n ( x)dx .nnnna aa( 5)( 5)n 1n 1 n 1 n 1 (14 ) n 1b Замечание. В случае конечного интервала из равномерной сходимости нанем последовательности функций пространства RL2 (a, b) следует ее сходимостьв смысле среднего квадратичного (следствие из леммы 2). Поэтому, если рядfn 1n, f n  RL2 (a, b) равномерно сходится на конечном интервале a, b  , то этотряд можно почленно интегрировать (следствие 2 леммы 3). При более сильныхограничениях (непрерывности членов ряда и равномерная сходимость ряда на[a, b]) это утверждение было доказано ранее другим методом.Черняев А.П. 2 – ой курс, 4 – й семестр.Лекция 9Гильбертово пространство. Пространство L 2Скалярное произведение (x, y) порождает норму x  ( x, x) , а норма – метрику  ( x, y ) = x  y .

Тогда любое линейное пространство со скалярным произведением является метрическим пространством с метрикой ( x, y ) = x  y = ( x  y, x  y ) .(1)Определение 1. Полное линейное пространство со скалярным произведением называется гильбертовым пространством. Полнота понимается в смыслеметрики (1).Теорема 1. Любое линейное пространство со скалярным произведением содержится и плотно в некотором гильбертовым пространстве. Это гильбертовопространство называется пополнением исходного пространства со скалярнымпроизведением.Доказательство.

Если Х - линейное пространство со скалярным произведением, то Х* – его пополнение как метрического пространства. Линейную операцию определим в Х* по формулеx *  y * = lim n (xn  yn ) ,где x n  x*, y n  y* в смысле нормы (1), а  и  – произвольные действительные числа. Скалярное произведение элементов из Х* определим с помощьюпредельного перехода следующим образом. Пусть x*  X*,y*  Y*. ПосколькуX  X * , то существуют такие последовательности xn  X и yn  X , чтоlim x n  x * , lim y n  y * .

Положимn n def( x*, y*)  lim ( xn , y n ) .n(2)Легко проверить, что при заданных x*  X*, y*  Y* определение (2) имеетсмысл, т. е. указанный предел существует и не зависит от выбора последовательностей x n  и yn , и, что из выполнения свойств 1 – 4 скалярного произведения в X в силу свойств предела следует наличие этих свойств у функции(x*, y*), т. е. она есть скалярное произведение в Х*.Замечание.

Для комплексных линейных пространств также существуют понятия скалярного и почти скалярного произведений. Их определения отличаются первым условием определения этих произведений в действительных линейных пространствах: вместо условия (x, y) = (y, x) требуется, чтобы для всех элементов x и y рассматриваемого линейного пространства выполнялось( x, y)  ( y, x) , где черта над числом означает сопряжение комплексному числу,стоящему под этой чертой.Из этого свойства следует, что для произвольного комплексного (x,  y) =  (x, y), т.

к.( x, y)  (y, x)   ( y, x)    ( y, x)   ( x, y).Для комплексных линейных пространств сохраняются многие свойства действительных линейных пространств. Например, для скалярного и почти скаляр-ного произведений в комплексном линейном пространстве верно неравенствоКоши – Буняковского, любое комплексное линейное пространство со скалярным произведением можно пополнить, превратив его в полное, где исходноепространство – плотное множество.Докажем неравенство Коши - Буняковского для почти скалярного произведения в комплексном линейном пространстве.Пусть Х - комплексное линейное пространство, x  X , y  Y и  – произвольное комплексное число.

Согласно свойству 3 определения почти скалярногопроизведения имеем ( x  y, x  y)  0 и, тогда(x, x) +  (y, x )+  (x, y) +   (y, y)  0.Если (x, x) = (y, y) = 0, то  (y, x)+  (x, y)  0. Выбрав  = – (x, y), получим –2(x, y)(y, x)– ( x, y ) (x, y)= – 2(x, y) ( x, y ) = – 2 ( x, y )  0 , что возможно когда(x, y) = 0. B этом случае неравенство Коши - Буняковского очевидно выполнено,ибо обе его части обращаются в нуль.Если (y, y)  0, то берем  = – (x, y)/(y, y), тогда(x, x) –( x, y ) ( x, y )( x, y )( x, y )( y, y )  0,(x, y) +( y, x) –( y, y )( y, y ) 2( y, y )или (x, x)(y, y) – (x, y) ( x, y ) – ( x, y ) (x, y) + (x, y) ( x, y )  0.

Таким образом,(x, x)(y, y) – (x, y) ( x, y )  0, откуда сразу следует неравенство Коши–Буняковского2( x, y )  ( x, x)( y, y ) .Случай, когда (y, y) = 0, но (x, x)  0 в специальном доказательстве не нуждается, т. к. легко сводится к уже рассмотренному.Пространство L 2 .Лемма 1. Пространство CL 2 [a, b] не является гильбертовым.Для доказательства достаточно привести пример фундаментальной, но несходящейся в CL 2 [ 1,1] последовательности. Пусть 1,1  x   1nf n ( x)  nx, 1  x  1,(3)nn1, 1  x  1, n  1,2,... n(см.

рис. 3)Функции f n , очевидно, непрерывны. Покажем, что они образуют в CL 2 [ 1,1]фундаментальную последовательность. Считая, например, что m > n, получим11fn  fm221111f n ( x)  f m ( x) dx 2n1nnf n ( x)  f m ( x) dx 22 f n ( x)  f m ( x)  dx  4(3)nn1dx 8.nnОчевидно, что если задано   0 , то достаточно выбрать n n  n и m  n выполнялось неравенство f n  f m282, чтобы при  , а это и означает фун-даментальность последовательности { f n } . В каждой точке [–1, 1] эта последовательность сходится к функции (рис.2) 1,  1  x  0;.f ( x)  lim f n ( x)  0, x  0;n 1,0x1.Покажем, что { f n } сходится к f и по полунорме пространства RL2 [ 1,1] :11fn  f2211n1f n ( x)  f ( x) dx 2n1f n ( x)  f ( x) dx 2n28 f n ( x)  f ( x)  dx   0, n   .nnПоэтомуlim f n  fn2 0.(4)Функция f разрывна и, следовательно, не принадлежит пространствуCL 2 [ 1,1] .

Покажем, что { f n } не может одновременно сходится в RL2 [ 1,1] и кнепрерывной функции. Допустим противное: существует непрерывная на [–1, 1]функция g, чтоlim f n  g 2  0 .(5)nПосколькуf  g 2  ( f  f n )  ( f n  g ) 2  f  f n  f n  g ( 0, n   .4 ),( 5)Т. к., n   и f – g не зависит от n, то f  g 2  0 (это равенство следует, конечно, и из леммы: если Х – полунормированное пространство,x n  X , n  1,2,...,lim x n  x , то равенство lim x n  y возможно тогда и толькоn тогда, когда x  y  0 ), т.е.n 1f ( x)  g ( x) dx  0 .21Но001f ( x)  g ( x) dx 2111f ( x)  g ( x) dx, 0   f ( x)  g ( x) dx 2201f ( x)  g ( x) dx .21Следовательно,011f ( x)  g ( x) dx  0,  f ( x)  g ( x) dx  0 .22(6)0Функции f и g непрерывны на [–1, 0), (0, 1], поэтому равенства (6) возможнытолько в том случае, еслиf ( x)  g ( x), x  [1,0)  (0,1] ,но тогдаlim g ( x)  1  1  lim g ( x) ,x  0x  0т.е.

g разрывна в точке x = 0.Итак, { f n } - последовательность непрерывных функций фундаментальна вCL 2 [ 1,1] , но не имеет в нём предела. Это и означает, что CL 2 [ 1,1] – неполно,а, значит, оно не гильбертово. Лемма доказана.Определение 2. Подмножество Y полунормированного пространства Х называется плотным в Х по его полунорме, если для любого x  X и любогоε >0существует y  Y такой, что x  y   .Очевидно, когда полунорма является нормой, понятие плотности подмножества в пространстве в смысле определения 2 совпадает с понятием его плотности в смысле метрики, порождённой нормой рассматриваемого пространства.Лемма 2. Пусть f  RL2 (a, b),  a  b   .

Тогда для любого ε > 0 существует ступенчатая функция φ, что supp   (a, b) (т.е. φ – финитна на (a, b)) иf g 2  .Доказательство. Пусть f интегрируема по Риману на любом отрезке[ , ]  (a, b) (общий случай абсолютно интегрируемой функции легко сводитсяbк этому случаю; см. ранее). Для любого ε > 0 в силу сходимостиf2( x)dx су-aществуют такие ξ и η, a < ξ <η < b, чтоabf 2 ( x)dx   f 2 ( x)dx 22.(7)В силу интегрируемости f на [ , ] мы имеем ограниченность f на нём, т.е.существует c > 0,чтоf ( x)  c,   x   .(8)Согласно соответствующей теореме и замечанию к ней для f существуетступенчатая функция φ, удовлетворяющая следующим условиям:supp   [ , ] ,(9)f ( x)  c,   x   ,f ( x)   ( x) dx 24C(10)(11).Поэтомуf b22  f ( x)   ( x) dx   f 2 ( x)dx 2aab  f ( x)   ( x) dx   f ( x)dx 22(7)22  f ( x)   ( x)  f ( x)   ( x)  dx (8),(10)(8),(10)22 2c  f ( x)  g ( x) dx 2222  2.(12)Из выполнения условия (9) и (12) следует утверждение леммы (рис.

3)Лемма 3. Если  - ступенчатая функция, supp   (a, b),  a  b   , тодля любого  > 0 существует такая непрерывная и финитная на (a, b) функция g,чтоg 2  .(13)Доказательство. Поскольку всякая ступенчатая функция с носителем, лежащем в (a, b),является линейной комбинацией характеристических функцийконечных полуоткрытых промежутков типа [ , ), то лемму достаточно доказать для характеристической функции  произвольно фиксированного интервала [,, ), a <  <  < b.

Пусть задано  > 0. Возьмём   ,так чтобы выполнялось условие 2    min{ ,},22и рассмотрим непрерывную кусочно-линейную функцию g, график которойизображён на рис.4. Эта функция финитна на (a, b), т.к. supp g ( x)  [ , ]  (a, b)и для неё во всех точках x  R выполняется неравенство 0   ( x)  g ( x)  1 .Поэтому,g 2 2   ( x)  g ( x) dx 2    ( x)  g ( x) 2dx    ( x)  g ( x)  2dx   dx   dx  2   ,2т.е. для функции    выполняется (13). Лемма доказана.0Обозначим за CL2 (a, b),  a  b   , подмножество полунормированногопространства RL2 ( a, b) , состоящее из непрерывных и финитных на конечномили бесконечном интервале (a, b) функций.Ясно, что любая непрерывная финитная на конечном или бесконечном интервале (a, b) функция принадлежит пространству RL2 (a, b) , т.к.

в силу непрерывности и финитности функции интеграл от её квадрата всегда конечен.0Теорема 2. Множество CL2 (a, b),  a  b   , плотно в линейном полунормированном пространстве RL2 ( a, b) по его полунорме.Доказательство. Пусть f  RL2 (a, b) и произвольно взято  > 0. По лемме 2существует такая финитная на (a, b) ступенчатая функция , чтоf 22.(14)Для  согласно лемме 3, существует такая непрерывная и финитная на (a, b)0функция g, т. е. g  CL2 (a, b) , чтоg 2 2.(15)Поэтомуf g2 f 2 g2 (14 )(15 )22 .0Это и означает, что CL2 (a, b) плотно в RL2 ( a, b) .

Характеристики

Список файлов лекций