Кратный интеграл - Лукашов (1187975)
Текст из файла
À. Ë. ËóêàøîâÊðàòíûé èíòåãðàë (ëåêöèè äëÿ ÔÈÂÒ).1. Îïðåäåëåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà.Ïóñòü E ⊂ Rn - èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó) ìíîæåñòâî êîíå÷íîé ìåðû.Ðàçáèåíèåì P ýòîãî ìíîæåñòâà íàçîâåì ïðîèçâîëüíîå ïðåäñòàâëåíèå åãî â âèäå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó) ìíîæåñòâ Ek : E = tKk=1 Ek .Ýòî îïðåäåëåíèå îáîáùàåò ïîíÿòèå ðàçáèåíèÿ îòðåçêà, ââåäåííîå ïðè ïîñòðîåíèèèíòåãðàëà Ðèìàíà ïî îòðåçêó.Ïóñòü f : E → R îãðàíè÷åííàÿ íà E ôóíêöèÿ.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ Pìíîæåñòâà E îïðåäåëåíû ÷èñëà Mk = supx∈Ek f (x) è mk = inf x∈Ek f (x).Òàêæå, êàê è ïðè ïîñòðîåíèè èíòåãðàëà Ðèìàíà, îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùèåäàííîìó ðàçáèåíèþ P âåðõíèå (íèæíèå) ñóììû Äàðáó (èëè ñîîòâåòñòâåííî ÄàðáóPKPËåáåãà, Äàðáó-Ðèìàíà): U (P, f ) = Kk=1 mk µ(J) (Ek ).k=1 Mk µ(J) (Ek ); L(P, f ) =(i)KiÂâîäÿ ïîíÿòèå îáùåãî èçìåëü÷åíèÿ ðàçáèåíèé Pi : E = tk=1 Ek , i = 1, 2 êàê ðàç(1)(2)áèåíèÿ, ñîñòîÿùåãî èç âñåâîçìîæíûõ ïåðåñå÷åíèé P : E = tj,k Ej ∩ Ek , ïîëó÷èì,÷òî êàæäàÿ íèæíÿÿ ñóììà íå ïðåâîñõîäèò êàæäîé âåðõíåé L(P1 , f ) ≤ L(P, f ) ≤U (P, f ) ≤ U (P2 , f ).Îòñþäà, àíàëîãè÷íî èíòåãðàëó Ðèìàíà ïî îòðåçêó, ìîæíî îïðåäåëèòü íèæíèé èâåðõíèé èíòåãðàëû Ëåáåãà (Ðèìàíà) îò ôóíêöèè f ïî ìíîæåñòâó E êàê ñóïðåìóìíèæíèõ è èíôèìóì âåðõíèõ ñóìì Äàðáó-Ëåáåãà (Äàðáó-Ðèìàíà):(L)(R)I E f = sup L(P, f );P(L)(R)I E (f ) = inf U (P, f ),Pãäå ñóïðåìóì è èíôèìóì áåðóòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïî âñåì ðàçáèåíèÿì ìíîæåñòâà Eíà èçìåðèìûå ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó) ïîäìíîæåñòâà.Åñëè (L)(R)I E f = (L)(R)I E (f ), òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó (Ðèìàíó) íà E .
Îáùåå çíà÷åíèå âåðõíåãî è íèæíåãî èíòåãðàëîâ íàçûâàåòñÿèíòåãðàëîì Ëåáåãà (Ðèìàíà) îò ôóíêöèè f ïî ìíîæåñòâó E . Ìû áóäåì â ýòîé ãëàRRâå èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ E f (x)dx äëÿ èíòåãðàëà Ðèìàíà è E f (x)dµ(x) äëÿ1èíòåãðàëà Ëåáåãà.Àíàëîãè÷íî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òîôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó (Ðèìàíó) íà E òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ðàçáèåíèå P ìíîæåñòâà E íà èçìåðèìûå ïî Ëåáåãó(Æîðäàíó) ìíîæåñòâà, ÷òî U (P, f ) − L(P, f ) < ε.Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ òàêæå âèäíî, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ, èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ðèìàíó íà èçìåðèìîì ïî Æîðäàíó ìíîæåñòâå E ⊂ Rn , èíòåãðèðóåìà ïîËåáåãó íà E , ïðè÷åì èíòåãðàëû Ðèìàíà è Ëåáåãà ñîâïàäàþò.Êàê èçâåñòíî, èíòåãðàë Ðèìàíà ïî îòðåçêó ìîæíî îïðåäåëèòü (ýêâèâàëåíòíûìîáðàçîì) êàê ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì, êîãäà äèàìåòð ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçáèåíèéñòðåìèòñÿ ê íóëþ.Äëÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà (Ðèìàíà) ïî ìíîæåñòâó E ⊂ Rn òàêæå èìååòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ïîíÿòèå èíòåãðàëüíûõ ñóìì, ââîäèìûõ êàê S(P, f, {tk }) =PKk=1 f (tk )µ(J) (Ek ), ãäå {tk } çàäàííûé íàáîð òî÷åê tk ∈ Ek , k = 1, .
. . , K. Ïðè ýòîìçäåñü è â äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ Ek = ∅ ñîîòâåòñòâóþùåå ñëàãàåìîå âèíòåãðàëüíîé ñóììå ðàâíî íóëþ.Îñîáîå çíà÷åíèå â òåîðèè èíòåãðàëà Ëåáåãà ïðèîáðåòàþò èíòåãðàëüíûå ñóììûäëÿ ðàçáèåíèé Ëåáåãà.Ïóñòü f : E → R îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ íà èçìåðèìîì ïîËåáåãó ìíîæåñòâå E ⊂ Rn êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèÿ. Åñëè M = supx∈E f (x), m =inf x∈E f (x), òî ðàçáèåíèåì Ëåáåãà, îòâå÷àþùèì ðàçáèåíèþ Q = {m = y0 < y1 <Sq−1. . .
< yq = M }, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèå P : E = tj=1{x ∈ E : f (x) ∈ [yj−1 , yj )} {x ∈E : f (x) ∈ [yq−1 , yq ]}.Îïðåäåëåíèå 1.Èç îïðåäåëåíèÿ íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðàçáèåíèÿ Ëåáåãà P , îòâå÷àþùåìóðàçáèåíèþ Q = {m = y0 < y1 < . . . < yq = M }, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî U (P, f ) −L(P, f ) ≤ ∆(Q)µ(E), ãäå ∆(Q) äèàìåòð ðàçáèåíèÿ Q, ò.å.
∆(Q) = max1≤j≤q (yj −yj−1 ).(Îñíîâíàÿ òåîðåìà îá èíòåãðàëå Ëåáåãà îò îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé).Ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E ⊂ Rn êîíå÷íîé ìåðûôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íà E , ïðè÷åì åå èíòåãðàë ðàâåí ïðåäåëó èíòåãðàëüíûõ ñóìì ñ ðàçáèåíèÿìè Ëåáåãà, îòâå÷àþùèìè ðàçáèåíèÿì Q, ïðè ñòðåìÿÒåîðåìà 1.2ùåìñÿ ê íóëþ äèàìåòðå ïîñëåäíåãî, ò.å.Zf (x)dµ(x) = limE∆(Q)→∞S(P, f, {tk }),ãäå, ïîäîáíî èíòåãðàëó Ðèìàíà ïî îòðåçêó, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ ðàçáèåíèÿ Ëåáåãà P : E = tKk=1 Ek ,îòâå÷àþùåãî ïðîèçâîëüíîìó ðàçáèåíèþ Q ñ ∆(Q) < δ , è äëÿ âñÿêîãî íàáîðà òî÷åêRtk ∈ Ek , k = 1, .
. . , K , ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî | E f (x)dµ(x) − S(P, f, {tk })| < ε.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâ E ìåðû íóëü óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, òàê êàê âñå ñóììû (âåðõíèå, íèæíèå, èíòåãðàëüíûå) â ýòîì ñëó÷àåðàâíû íóëþ.Òàêèì îáðàçîì, áóäåì ñ÷èòàòü µ(E) > 0. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü íàëè÷èå ïðåäåëà èíòåãðàëüíûõ ñóìì ñ ðàçáèåíèÿìè Ëåáåãà.  ñàìîì äåëå,âûáðàâ δ = ε/µ(E), áóäåì èìåòü äëÿ ðàçáèåíèÿ Ëåáåãà P : E = tKk=1 Ek , îòâå÷àþùåãî ïðîèçâîëüíîìó ðàçáèåíèþ Q ñ ∆(Q) < δ , è äëÿ âñÿêîãî íàáîðà òî÷åê tk ∈Ek , k = 1, .
. . , K íåðàâåíñòâà L(P, f ) ≤ S(P, f, {tk }) ≤ U (P, f ), U (P, f ) − L(P, f ) ≤∆(Q)µ(E) < ε.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε > 0 èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f íà E , ÷òî âìåñòå ñ ïðåäïîñëåäíèì íåðàâåíñòâîì çàâåðøàåòäîêàçàòåëüñòâî. êà÷åñòâå ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ ýòîé òåîðåìû óñòàíîâèì, ÷òî èíòåãðàë Ëåáåãàîò ôóíêöèè Äèðèõëå ïî ëþáîìó îòðåçêó [a, b] ðàâåí íóëþ (â òî æå âðåìÿ ýòà ôóíêöèÿ íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íè íà êàêîì îòðåçêå).  ñàìîì äåëå, äëÿ ôóíêöèèÄèðèõëå m = 0, M = 1, è äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ Q = {m = y0 < y1 < .
. . < yq = M },ñîîòâåòñòâóþùàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ðàâíà S(P, f, {tk }) = f (tq )µ(Eq ) = 0, ïîñêîëüêó Eq = f −1 ([yq−1 , yq ]) = Q ∩ [a, b], êàê òîëüêî ∆(Q) < 1.Ïåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ èíòåãðàëà Ëåáåãà îò íåîòðèöàòåëüíîé íåîãðàíè÷åííîéôóíêöèè. Çäåñü èíòåãðàë Ðèìàíà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå, ïîýòîìó èçìåðèìîñòü ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå Ëåáåãà. êà÷åñòâå ðàçáèåíèé ìíîæåñòâà E ⊂ Rn êîíå÷íîé ìåðû òåïåðü áóäóò ôèãóðèðîâàòü ðàçáèåíèÿ íà íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ: E = t∞k=1 Ek . Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó òåïåðü íå èñêëþ÷åí âàðèàíò Mk = +∞,ïîëîæèì â ýòîì ñëó÷àå Mk µ(Ek ) = 0, åñëè µ(Ek ) = 0. Ñëåäóÿ òîé æå ëîãèêå, áóäåìäîïóñêàòü è áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â íåêîòîðûõ òî÷êàõ, óñëîâèâøèñü âñå3òàêèå òî÷êè ïîìåùàòü âî ìíîæåñòâî E0 , ò.å.
E0 = {x ∈ E : f (x) = +∞}, ñ÷èòàÿm0 µ(E0 ) = 0 ïðè µ(E0 ) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ñîîòâåòñòâóþùèå âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó-Ëåáåãà îïðåäåPP∞ëÿþòñÿ êàê U (P, f ) = ∞Mµ(E);L(P,f)=kkk=0k=0 mk µ(Ek ). Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó îïðåäåëèì òåïåðü (âîçìîæíî ðàâíûå ∞) âåðõíèé è íèæíèé èíòåãðàëû Ëåáåãàêàê(L)I E f = sup L(P, f ); (L)I E (f ) = inf U (P, f ),PPãäå ñóïðåìóì è èíôèìóì áåðóòñÿ òåïåðü ïî âñåì ðàçáèåíèÿì ìíîæåñòâà E íà ñ÷åòíîå÷èñëî èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ.Òàêæå, êàê è äëÿ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé, åñëè (L)I E f = (L)I E (f ), òî ôóíêöèÿf íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó íà E .
Îáùåå çíà÷åíèå âåðõíåãî è íèæíåãî èíòåãðàëîâ íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëåáåãà îò ôóíêöèè f ïî ìíîæåñòâó E , äëÿRêîòîðîãî ìû ñîõðàíèì ïðåæíåå îáîçíà÷åíèå E f (x)dµ(x).RÍàèáîëåå èíòåðåñåí, êîíå÷íî, ñëó÷àé, êîãäà E f (x)dµ(x) 6= ∞.  ýòîì ñëó÷àåôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ñóììèðóåìîé íà E . Ýòî îïðåäåëåíèå, åñòåñòâåííî, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà îãðàíè÷åííûå èçìåðèìûå ôóíêöèè íà E .Òîãäà ôóíêöèÿ f ñóììèðóåìà íà E òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0ñóùåñòâóåò òàêîå ðàçáèåíèå P ìíîæåñòâà E , ÷òî U (P, f ) − L(P, f ) < ε.  ÷àñòíîñòè,åñëè ôóíêöèÿ f ñóììèðóåìà íà E , òî îíà êîíå÷íà ïî÷òè âñþäó íà E , µ(E0 ) = 0.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìåíÿåòñÿ è îïðåäåëåíèå ðàçáèåíèÿ Ëåáåãà. Òåïåðü îíîñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèþ Q = {0 = y0 < y1 < y2 < .
. .} : P : E = E0 ∪ t∞j=1 {x ∈ E :f (x) ∈ [yj−1 , yj )}. Äèàìåòð ðàçáèåíèÿ Q òåïåðü îïðåäåëÿåòñÿ êàê ∆(Q) = supj∈N (yj −yj−1 ) ≤ +∞.Èç îïðåäåëåíèÿ íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðàçáèåíèÿ Ëåáåãà P , îòâå÷àþùåìóðàçáèåíèþ Q, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî U (P, f ) − L(P, f ) ≤ ∆(Q)µ(E).(Îñíîâíàÿ òåîðåìà îá èíòåãðàëå Ëåáåãà îò íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé). Ëþáàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâåE ⊂ Rn êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íà E , ïðè÷åì åå èíòåãðàë ðàâåí ïðåäåëó èíòåãðàëüíûõ ñóìì ñ ðàçáèåíèÿìè Ëåáåãà, îòâå÷àþùèìèðàçáèåíèÿì Q = {0 = y0 < y1 < y2 < .
. .}, ïðè ñòðåìÿùåìñÿ ê íóëþ äèàìåòðåïîñëåäíåãî. Ïðè êîíå÷íîì çíà÷åíèè èíòåãðàëà ïîíÿòèå ïðåäåëà òàêîãî âèäà òîæå, ÷òî è â ïðåäûäóùåé îñíîâíîé òåîðåìå, åñëè æå èíòåãðàë áåñêîíå÷åí, òî òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàøëîñü δ > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ ðàçáèåíèÿÒåîðåìà 2.4Ëåáåãà P : E = t∞k=0 Ek , îòâå÷àþùåãî ïðîèçâîëüíîìó ðàçáèåíèþ Q ñ ∆(Q) < δ ,è äëÿ âñÿêîãî íàáîðà òî÷åê tk ∈ Ek , k = 1, 2, . . ., áûëî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîS(P, f, {tk }) ≥ ε.Äîêàçàòåëüñòâî ïî ñóòè ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû îá èíòåãðàëå Ëåáåãà äëÿ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé ñ åñòåñòâåííûì äîáàâëåíèåì ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ áåñêîíå÷íîãî èíòåãðàëà (òîãäà ïîÿâëÿþùèåñÿ ðÿäû ìîãóò ðàñõîäèòüñÿ êáåñêîíå÷íîñòè) è ñëó÷àÿ, êîãäà ôóíêöèÿ ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè íà ìíîæåñòâå íóëåâîéìåðû (âî âñåõ ñóììàõ íóæíî áóäåò âûäåëÿòü íóëåâîå ñëàãàåìîå, ñîîòâåòñòâóþùååíóëåâîìó èíäåêñó).Äëÿ îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà îò ôóíêöèé ëþáîãî çíàêà ââåäåì ïîíÿòèåïîëîæèòåëüíîé f + (x) = max(f (x), 0) è îòðèöàòåëüíîé f − (x) = max(−f (x), 0) ÷àñòåéôóíêöèè f .
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ èçìåðèìîé ôóíêöèè f îáå ýòè ôóíêöèè èçìåðèìû âñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè max(t, 0). Êðîìå òîãî, ìîæíî äîïóñêàòü è áåñêîíå÷íûåçíà÷åíèÿ ±∞ ôóíêöèè f , ïðèíèìàåìûå åþ íà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâàõ.Íàçîâåì èçìåðèìóþ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E ⊂ Rn êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèþ f èíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó íà E , åñëè õîòÿ áû îäèí èç èíRRRòåãðàëîâ Ëåáåãà E f + (x)dµ(x), E f − (x)dµ(x) êîíå÷åí. Ïðè ýòîì E f (x)dµ(x) =R +R −f(x)dµ(x)−f (x)dµ(x) ñ åñòåñòâåííûì ïîíèìàíèåì àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàEEöèé ñ ñèìâîëàìè ±∞.
Åñëè âñå ýòè èíòåãðàëû êîíå÷íû, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿñóììèðóåìîé íà E .Îïðåäåëåíèå 2.2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà.(Ëèíåéíîñòü è ìîíîòîííîñòü èíòåãðàëà Ëåáåãà). 1.Åñëè ôóíêöèèf1 , f2 ñóììèðóåìû íà ìíîæåñòâå E ⊂ Rn êîíå÷íîé ìåðû, òî äëÿ ëþáûõ äåéRñòâèòåëüíûõ ÷èñåë c1 , c2 ôóíêöèÿ c1 f1 + c2 f2 ñóììèðóåìà íà E è E c1 f1 (x) +RRc2 f2 (x)dµ(x) = c1 E f1 (x)dµ(x) + c2 E f2 (x)dµ(x).2.Åñëè ôóíêöèè f1 , f2 ñóììèðóåìû íà ìíîæåñòâå E ⊂ Rn êîíå÷íîé ìåðû èRRf1 (x) ≤ f2 (x) ïðè âñåõ x ∈ E, òî E f1 (x)dµ(x) ≤ E f2 (x)dµ(x).Òåîðåìà 3.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ñëó÷àÿ îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé f1 , f2 äîêàçàòåëüñòâî ëèíåéíîñòè ïðîâîäèòñÿ ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è äîêàçàòåëüñòâî ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà Ðèìàíà ïî îòðåçêó.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
