Кратный интеграл - Лукашов (1187975), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Åñëè èíòåãðàë Ëåáåãà îò íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé íà èçìåðèìîì ìíîRæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèè f ðàâåí íóëþ, E f (x)dµ(x) = 0, òî f (x) ðàâíàíóëþ ïî÷òè âñþäó íà E .Ñëåäñòâèå 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèé èíòåãðàëà Ëåáåãàíåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâå íóëåâîé ìåðû Ëåáåãà, ñóììèðóåìà íà ýòîì ìíîæåñòâå è åå èíòåãðàë Ëåáåãà ðàâåí íóëþ.Îáîçíà÷èì ÷åðåç e ìíîæåñòâî òåõ x ∈ E, äëÿ êîòîðûõ f (x) 6= g(x). Òîãäà ïîñâîéñòâó êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè èç ñóììèðóåìîñòè, ñêàæåì, ôóíêöèè f íà E ñëåRRäóåò åå ñóììèðóåìîñòü íà E \ e è ðàâåíñòâî E f (x)dµ(x) = E\e f (x)dµ(x).
Òàê êàêf (x) = g(x) íà E \ e, òî g ñóììèðóåìà íà E \ e è èç ïðåäûäóùåãî ñóììèðóåìà íàe. Ïðèìåíåíèå ñâîéñòâà êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè ê ôóíêöèè g çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ðàññóæäàåì îò ïðîòèâíîãî. Òîãäà, çàìåòèâ, ÷òî1,{x ∈ E : f (x) > 0} = lim x ∈ E : f (x) >m→∞mìîæíî óòâåðæäàòü ñóùåñòâîâàíèå m0 òàêîãî, ÷òî ìíîæåñòâî B = {x ∈ E : f (x) >R1}èìååòïîëîæèòåëüíóþìåðó,ñëåäîâàòåëüíî,f (x)dµ(x) ≥ µ(B). Íî ïî ñâîéñòâóm0m0Bêîíå÷íîé àääèòèâíîñòèZZZµ(B)f (x)dµ(x) =f (x)dµ(x) +f (x)dµ(x) ≥> 0,m0EBE\Bïðîòèâîðå÷èå.3.
Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â èíòåãðàëàõ Ëåáåãà. ýòîì ïàðàãðàôå ìû ñíà÷àëà äîêàæåì êëàññè÷åñêóþ "òðèàäó"òåîðåì î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå (òåîðåìà Áåïïî Ëåâè, ëåììà Ôàòó, òåîðåìà Ëåáåãà) â ïðåäïîëîæåíèèêîíå÷íîñòè ìåðû ìíîæåñòâà èíòåãðèðîâàíèÿ, à çàòåì ðàñïðîñòðàíèì ïîñòðîåíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà íà ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íîé ìåðû.11(Òåîðåìà Ëåáåãà).Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîéìåðû ôóíêöèé fm ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó íà E ê ôóíêöèè f , ïðè÷åì ïðè ïî÷òè âñåõx ∈ E è ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ m |fm (x)| ≤ F (x), ãäå F ñóììèðóåìàÿ íà E . ÒîãäàZZf (x)dµ(x) = limfm (x)dµ(x).Òåîðåìà 6.m→∞EEÄîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðèïî÷òè âñåõ x ∈ E ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |f (x)| ≤ F (x), îòêóäà ïî ïðèçíàêó ñóììèðóåìîñòè ïîëó÷àåì ñóììèðóåìîñòü âñåõ ôóíêöèé fm , f è, çíà÷èò, èõ êîíå÷íîñòüïî÷òè âñþäó íà E. Òîãäà ïî òåîðåìå î ñâÿçè ñõîäèìîñòè ïî ìåðå ñî ñõîäèìîñòüþïî÷òè âñþäó (Ò.6 1.5) äëÿ ëþáîãî ε > 0(3)lim µ(Em ) = 0,m→∞ãäå Em = {x ∈ E : |fm (x) − f (x)| ≥ ε, ïðè÷åì ìû óñëîâèìñÿ â Em âêëþ÷àòü èòå çíà÷åíèÿ x ∈ E , â êîòîðûõ êàêèå-òî èç ôóíêöèé fm , f ïðèíèìàþò áåñêîíå÷íûåçíà÷åíèÿ.Òîãäà ZZ (f (x) − fm (x)) dµ(x) = (f (x) − fm (x)) dµ(x)+ EmE ZZZ+(f (x) − fm (x)) dµ(x) ≤(|f (x)| + |fm (x)|) dµ(x)+εµ(E\Em ) ≤ 2F (x)dµ(x)+εµ(E).E\EmEmEmÏðîèçâîëüíîñòü ε > 0, (3) è àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà Ëåáåãà çàâåðøàþòäîêàçàòåëüñòâî.(Òåîðåìà Ëåâè).
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèé fm (x) íåóáûâàþùàÿ èñõîäèòñÿ ïðè ïî÷òè âñåõ x ∈ E ê ôóíêöèè f (x), òîZZf (x)dµ(x) = limfm (x)dµ(x).Òåîðåìà 7.Em→∞EÄîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f (x) ñóììèðóåìà, òî óòâåðæäåíèå íåìåäëåííî ñëåäóåò èçRòåîðåìû Ëåáåãà. Òàêèì îáðàçîì, áóäåì ñ÷èòàòü E f (x)dµ(x) = ∞. Ôóíêöèÿ f (x) íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ, ïîýòîìó åå èíòåãðàë Ëåáåãà ðàâåí ïðåäåëó ïîñëåäîâàRòåëüíîñòè èíòåãðàëîâ îò ñðåçîê, ò.å. limN →∞ E f[N ] (x)dµ(x) = +∞.
Ïî îïðåäåëåíèþ12áåñêîíå÷íîãî ïðåäåëà ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî K íàéäåòñÿ N0Ròàêîå, ÷òî E f[N ] (x)dµ(x) > K ïðè âñåõ N > N0 . Ôèêñèðóåì òàêîå N. ÔóíêöèÿF (x) = N ñóììèðóåìà íà E , ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñðåçîê {fm,[N ] }∞m=1ôóíêöèé fm (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ëåáåãà. Òîãäà íàéäåòñÿ m0 òàêîå,R÷òî ïðè âñåõ m > m0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî E fm,[N ] (x)dµ(x) > K.
Íî òîãäàRRf (x)dµ(x) ≥ E fm,[N ] (x)dµ(x) > K.E m(Òåîðåìà Ôàòó). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ñóììèðóåìûõ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèé fm (x) ñõîäèòñÿ ïðèïî÷òè âñåõ x ∈ E ê ôóíêöèè f (x), òîZZfm (x)dµ(x).f (x)dµ(x) ≤ limm→∞Òåîðåìà 8.EEÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì gm (x) = inf k≥m fk (x). Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé gm óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ëåâè, ïðè÷åìlim gm (x) = lim inf fk (x) = limm→∞ fm (x) = f (x),m→∞ñëåäîâàòåëüíî,m→∞ k≥mZZf (x)dµ(x) = limEm→∞gm (x)dµ(x).ERRÒàê êàêgm (x)dµ(x)≤inf k≥m E fk (x)dµ(x),ERlimm→∞ E fm (x)dµ(x), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.òîREf (x)dµ(x)≤Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà Ëåáåãà ïî ìíîæåñòâó áåñêîíå÷íîé ìåðû.
Íà÷íåì ñ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé.Ïóñòü f íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ íà ìíîæåñòâå E ⊂ RnRáåñêîíå÷íîé ìåðû. Íàçîâåì èíòåãðàëîì Ëåáåãà E f (x)dµ(x) ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåãðàëîâZZÎïðåäåëåíèå 3.f (x)dµ(x) = limEm→∞f (x)dµ(x),Emãäå E1 ⊂ E2 ⊂ . . . íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ êîíå÷íîéìåðû òàêàÿ, ÷òî limm→∞ Em = E.13(Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà ïî ìíîæåñòâó áåñêîíå÷íîé ìåðû).Óêàçàííûé â îïðåäåëåíèè ïðåäåë ñóùåñòâóåò è íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ E1 ⊂ E2 ⊂ .
. . òàêîé, ÷òî limm→∞ Em = E.Òåîðåìà 9.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ôóíêöèè f è àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà ñëåRäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ { Em f (x)dµ(x)} íåóáûâàþùàÿ:ZZf (x)dµ(x) =Em+1ZZf (x)dµ(x) ≥f (x)dµ(x) +Em+1 \EmEmf (x)dµ(x).EmRÒàêèì îáðàçîì, ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåãðàëîâ limm→∞ Em f (x)dµ(x)(êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé) ñóùåñòâóåò. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî îí íå çàâèñèòîò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ E1 ⊂ E2 ⊂ . . . òàêîé, ÷òîlimm→∞ Em = E.Îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü åùå îäíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ0=E èìíîæåñòâ E10 ⊂ E20 ⊂ .
. . òàêàÿ, ÷òî limm→∞ EmZZf (x)dµ(x) = a > b = limf (x)dµ(x).limm→∞m→∞Em0EmÂûáåðåì êàêîå-íèáóäü c, a > c > b. Ïóñòü ñíà÷àëà a < +∞. Íàéäåòñÿ äîñòàòî÷íîR0áîëüøîå k òàêîå, ÷òî c < Ek f (x)dµ(x) < +∞. Òàê êàê Ek = limm→∞ Ek ∩ Em, òî0limm→∞ µ(Ek \ Ek ∩ Em ) = 0, è èç ñóììèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà Ek ïî ñâîéñòâóRàáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà limm→∞ Ek \Ek ∩E 0 f (x)dµ(x) = 0.
Íîmòîãäà íàéäåòñÿ m0 òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ m > m0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîZf (x)dµ(x) > c.0Ek ∩EmRÎòñþäà òåì áîëåå E 0 f (x)dµ(x) > c, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ðàâåíñòâó b =mRlimm→∞ E 0 f (x)dµ(x).mÅñëè a = +∞, òî íàéäåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå k òàêîå, ÷òî c + 1 <RRf(x)dµ(x).Òîãäàäëÿäîñòàòî÷íîáîëüøîãîNc<f (x)dµ(x). ÏîâòîEkEk [N ]ðÿÿ âûøåïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ñî ñðåçêîé f[N ] âìåñòî f , ïðèäåì ê íåðàâåíRñòâó E 0 f[N ] (x)dµ(x) > c, èç êîòîðîãî âíîâü ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ ïîìîùüþmRRf(x)dµ(x)≥f[N ] (x)dµ(x) > c.0EE0mm14Òàêæå, êàê è â 1, íàçîâåì íåîòðèöàòåëüíóþ èíòåãðèðóåìóþ ïî Ëåáåãó íà ìíîæåRñòâå E ⊂ Rn áåñêîíå÷íîé ìåðû ñóììèðóåìîé, åñëè åå èíòåãðàë E f (x)dµ(x) êîíå÷åí.Äëÿ ôóíêöèé ëþáîãî çíàêà ñêàæåì, ÷òî f èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íà E , åñëè õîRRòÿ áû îäèí èç èíòåãðàëîâ Ëåáåãà E f + (x)dµ(x), E f − (x)dµ(x) êîíå÷åí.
Ïðè ýòîìRRRf (x)dµ(x) = E f + (x)dµ(x) − E f − (x)dµ(x) ñ åñòåñòâåííûì ïîíèìàíèåì àðèôìåEòè÷åñêèõ îïåðàöèé ñ ñèìâîëàìè ±∞. Åñëè âñå ýòè èíòåãðàëû êîíå÷íû, òî ôóíêöèÿf íàçûâàåòñÿ ñóììèðóåìîé íà E .Îòìåòèì, ÷òî âñå ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà, äîêàçàííûå â 2 è â íà÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà (êðîìå, åñòåñòâåííî, ñóììèðóåìîñòè ïîñòîÿííîé ôóíêöèè) îñòàþòñÿñïðàâåäëèâûìè è â òîì ñëó÷àå, åñëè èç èõ ôîðìóëèðîâîê óáðàòü îãðàíè÷åíèå íàêîíå÷íîñòü ìåðû ìíîæåñòâà E ⊂ Rn .Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ñâîéñòâ ïî áîëüøåé ÷àñòè ïðîâîäÿòñÿ ïóòåì íåïîñðåäñòâåííîãî ïðèìåíåíèÿ îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà ñíà÷àëà îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè ïî ìíîæåñòâó áåñêîíå÷íîé ìåðû ñ ïîñëåäóþùèì èñïîëüçîâàíèåì ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòåé ôóíêöèè ïðîèçâîëüíîãî çíàêà.Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ σ -àääèòèâíîñòè è àáñîëþòíîé íàïðåðûâíîñòèäëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé.
Äëÿ ïåðâîãî ïîòðåáóåòñÿ âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.Åñëè íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà ak ÿâëÿþòñÿ ïðåäåëàìè íåóáûâàþùèõ ïî(s)(s)ñëåäîâàòåëüíîñòåé íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ak , ak = lims→∞ ak , k = 1, 2, . . . , òîËåììà 3.lims→∞∞X(s)ak =k=1∞Xak ,k=1ãäå íå èñêëþ÷àþòñÿ áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ ñóìì.PP∞(s)Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì a = lims→∞ ∞k=1 ak , c =k=1 ak .
Áóäåì äîêàçûâàòüðàâåíñòâî a = c îò ïðîòèâíîãî.P(s0 )Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a > c. Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî s0 ∞> c. Ôèêk=1 akPm (s0 )ñèðóåì òàêîå s0 . Òîãäà íàéäåòñÿ m òàêîå, ÷òî k=1 ak > c. Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàP(s)(s)òåëüíîñòè ak íåóáûâàþùèå, îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî mk=1 ak > c ïðè âñåõ s ≥ s0 .Ïåðåõîäÿ â ïîëó÷åííîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè s → ∞ , ïðèäåì, ñ ó÷åòîì òîãî,PPm(s) ∞÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { mk=1 ak }s=s0 íåóáûâàþùàÿ, ê íåðàâåíñòâók=1 ak > c, êîòîðîå ïðîòèâîðå÷èò íåîòðèöàòåëüíîñòè ÷èñåë ak .P(s)Ïóñòü òåïåðü a < c. Òîãäà ÷èñëà a(s) = ∞k=1 ak îáðàçóþò íåóáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Íî èç ïðåäïîëîæåíèÿ a < c íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî15PPm (s)áîëüøîãî m ma>a,îòêóäàäëÿäîñòàòî÷íîáîëüøèõskk=1k=1 ak > a, ÷òî âëå÷åò(s)íåðàâåíñòâî a > a, ïðîòèâîðå÷àùåå ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {a(s) }.Äîêàæåì òåïåðü ñâîéñòâî σ -àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà äëÿ íåîòðèöàòåëü(1)íûõ ôóíêöèé.
Åñëè E = t∞⊂ E (2) ⊂ . . . íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëük=1 Ek , è Eíîñòü èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ êîíå÷íîé ìåðû òàêàÿ, ÷òî lims→∞ E (s) = E òî îáîçíà÷èìRR(s)ak = Ek ∩E (s) f (x)dµ(x), ak = Ek f (x)dµ(x). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëü(s)íîñòè ak , ak , óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé ëåììû, è òðåáóåìîåñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ åå íåìåäëåííûì ñëåäñòâèåì.Òî÷íî òàê æå, âûáðàâ íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü E (1) ⊂ E (2) ⊂ .
. . èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ êîíå÷íîé ìåðû òàêóþ, ÷òî lims→∞ E (s) = E, ìîæíî äëÿ ëþáîãî ε > 0íàéòè òàêîå s, ÷òîZf (x)dµ(x) < ε/2.E\E (s)Òåïåðü äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà e ⊂ E ïî ñâîéñòâó àääèòèâíîñòèZZZf (x)dµ(x) =f (x)dµ(x) +f (x)dµ(x).e∩E (s)ee∩(E\E (s)Ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè äëÿ ìíîæåñòâà E (s) êîíå÷íîé ìåðû, íàéäåì òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà e ⊂ E ñ µ(e) < δRñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî e∩E (s) f (x)dµ(x) < ε/2, ÷òî âìåñòå ñ íåðàâåíñòâîìZZf (x)dµ(x) ≤f (x)dµ(x) < ε/2e∩(E\E (s)E\E (s)äîêàçûâàåò òðåáóåìîå.4.
Âû÷èñëåíèå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ. ýòîì ïàðàãðàôå áóäóò äîêàçàíû äâà óòâåðæäåíèÿ, íà êîòîðûõ îñíîâàíû îñíîâíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ òåîðåìû Ôóáèíè (î ñâåäåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ ê ïîâòîðíûì) è î çàìåíå ïåðåìåííûõ. Êðîìå òîãî, äîêàçûâàåìûéçäåñü æå êðèòåðèé Ëåáåãà èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ðèìàíó ïîçâîëÿåò íå äåëàòü ðàçëè÷èÿìåæäó èíòåãðàëàìè Ðèìàíà è Ëåáåãà â áîëüøèíñòâå çàäà÷ íà âû÷èñëåíèå êðàòíûõèíòåãðàëîâ.Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ ñå÷åíèé ìíîæåñòâ. Ïðåäñòàâèì òî÷êè ïðîñòðàíñòâà Rnêàê (x, y), ãäå x ∈ Rm = X, y ∈ Rk = Y, m + k = n.  áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêèõçàäà÷ n = 2, m = k = 1; èëè n = 3, m = 1, k = 2; èëè n = 3, m = 2, k = 1.16Îïðåäåëåíèå 4.Ñå÷åíèÿìè ìíîæåñòâà A ⊂ Rn íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâàAY (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ A},AX (y) = {x ∈ X : (x, y) ∈ A}.Äëÿ ðàçëè÷èÿ ìåð Ëåáåãà â ïðîñòðàíñòâàõ ðàçëè÷íîé ðàçìåðíîñòè óñëîâèìñÿîáîçíà÷àòü ìåðó Ëåáåãà â ïðîñòðàíñòâàõ Rn , X, Y, ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç µ, µX , µY èîïóñêàòü ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîñëå çíàêà ìåðû.(Âû÷èñëåíèå ìåðû ñ ïîìîùüþ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ).Ñå÷åíèÿ AY (x) èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà A ⊂ Rn ïðè ïî÷òè âñåõ (âñìûñëå ìåðû µX ) x ∈ X èçìåðèìû ïî Ëåáåãó, ïðè÷åìZµ(A) =µY (AY (x))dµX .(4)Òåîðåìà 10.XÑå÷åíèÿ AX (y) èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà A ⊂ Rn ïðè ïî÷òè âñåõ (âñìûñëå ìåðû µY ) y ∈ Y èçìåðèìû ïî Ëåáåãó, ïðè÷åìZµX (AX (y))dµY .µ(A) =YÄîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
