Кратный интеграл - Лукашов (1187975), страница 5
Текст из файла (страница 5)
â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè).Ïðîñòûì îòîáðàæåíèåì íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå f îêðåñòíîñòè 0 ∈ Rn â Rn , òàêîå, ÷òî f (0) = 0, detf 0 (0) 6= 0,è íàéäåòñÿ èíäåêñ j, 1 ≤ j ≤ n òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ i 6= j êîîðäèíàòíûå ôóíêöèèfi ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì êîîðäèíàòàì âåêòîðà x, fi (x) = xi .Îïðåäåëåíèå 6.(Òåîðåìà î ðàçëîæåíèè). Ïóñòü f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîåîòîáðàæåíèå îòêðûòîãî ìíîæåñòâà ⊂ Rn â Rn , òàêîå, ÷òî f (0) = 0, detf 0 (0) 6= 0.Òîãäà íàéäóòñÿ ïðîñòûå îòîáðàæåíèÿ g [1] , .
. . , g [n] è ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ Bi :Rn 7→ Rn , i = 1, . . . , n , êàæäîå èç êîòîðûõ ëèáî òîæäåñòâåííîå, ëèáî ñâîäèòñÿ êïåðåñòàíîâêå äâóõ êîîðäèíàò, òàêèå, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿÒåîðåìà 13.f = g [n] ◦ Bn ◦ g [n−1] ◦ Bn−1 ◦ . . . ◦ g [1] ◦ B1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ïî èíäóêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ îòîáðàæåíèé f [m] òàêèõ, ÷òî f [m] (0) = 0,23det(f [m] )0 (0) 6= 0 è ïåðâûå m − 1 êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì[m]êîîðäèíàòàì âåêòîðà x, fi (x) = xi , i = 1, . .
. , m − 1. êà÷åñòâå f [1] âîçüìåì äàííîå îòîáðàæåíèå, f [1] = f. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïåðâûå m − 1 ñòðîê ìàòðèöû ßêîáè (f [m] )0 (0) ñîâïàäàþò ñ ïåðâûìè m − 1 ñòðîêàìèåäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà n.  ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû (f [m] )0 (0) õîòÿáû îäèí èç ïîñëåäíèõ ýëåìåíòîâ m-é ñòðîêè ýòîé ìàòðèöû íå ðàâåí íóëþ. Åñëèýòîò ýëåìåíò íàõîäèòñÿ â j -ì ñòîëáöå, òî ÷åðåç Bm îáîçíà÷èì ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå Bm : Rn 7→ Rn ,, êîòîðîå ñâîäèòñÿ ê ïåðåñòàíîâêå êîîðäèíàò j, m (ïðè j = m Bm òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå).Ïîñòðîèì ïðîñòîå îòîáðàæåíèå g [m] ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ âñåõ i 6= m êîîðäè[m][m]íàòíûå ôóíêöèè gi ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì êîîðäèíàòàì âåêòîðà x, gi (x) = xi ,[m][m]m-ÿ êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà gm (x) = fm (Bm x).
Âñå ñòðîêè ìàòðèöû ßêîáèýòîãî îòîáðàæåíèÿ, êðîìå m-é, ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòðîêàìè åäèíè÷íîéìàòðèöû ïîðÿäêà n. m-ÿ æå ñòðîêà ïîëó÷åíà èç m-é ñòðîêè ìàòðèöû ßêîáè (f [m] )0 (0)ïåðåñòàíîâêîé êîîðäèíàò j, m. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òîãäà det(g [m] )0 (0) 6= 0. Ïðèìåíèì ê g [m] òåîðåìó îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèè. Òåì ñàìûì íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü íóëÿUm òàêàÿ, ÷òî g [m] îòîáðàæàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íî Um íà îêðåñòíîñòü íóëÿ Vm è âVm ñóùåñòâóåò îáðàòíîå îòîáðàæåíèå (g [m] )−1 , íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå â Vm ,è det((g [m] )−1 )0 (0) 6= 0.Ïîëîæèìf [m+1] (y) = f [m] (Bm (g [m] )−1 (y)), y ∈ Vm .(10)Ïðîâåðèì òðåáóåìûå ñâîéñòâà ïåðâûõ m êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé ýòîãî îòîáðàæåíèÿ(îñòàëüíûå ñâîéñòâà âûïîëíåíû î÷åâèäíûì îáðàçîì).
Äëÿ ïåðâûõ m − 1 êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé èìååì[m+1]fi[m](y) = fi (Bm (g [m] )−1 (y)) = (Bm (g [m] )−1 (y))i = ((g [m] )−1 (y))i , i = 1, . . . , m − 1.Êàæäàÿ òî÷êà y ∈ Vm ïðåäñòàâèìà â âèäå y = g [m] (x), x ∈ Um , ïîýòîìó((g [m] )−1 (y))i = xi = yi , i = 1, . . . , m − 1.[m+1]Èòàê, fièìååì(y) = yi , i = 1, . . . , m − 1 äëÿ y ∈ Vm . Äëÿ m-é êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè[m][m+1][m][m] [m] −1(x) = ym ,fm(y) = fm(Bm (g [m] )−1 (y)) = gm(g ) (y)) = gm÷òî è òðåáîâàëîñü.24Èòàê, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòîáðàæåíèé f [m] ïîñòðîåíà, ïðè÷åì äëÿ m > n âñåýòè îòáðàæåíèÿ òîæäåñòâåííû.Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâà (10), ïîëàãàÿ y = g [m] (Bm x), cëåäóþùèì îáðàçîì:f [m] (x) = f [m+1] (g [m] (Bm x)).Ïðèìåíèì èõ ïîñëåäîâàòåëüíî ê m = 1, 2, . . .
, n. Ïîëó÷èìf = f [1] = f [2] ◦g [1] ◦B1 = f [3] ◦g [2] ◦B2 ◦g [1] ◦B1 = . . . = g [n] ◦Bn ◦g [n−1] ◦Bn−1 ◦. . .◦g [1] ◦B1 .(Òåîðåìà î çàìåíå ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå Ëåáåãà). Ïóñòüôóíêöèÿ f ñóììèðóåìà íà îãðàíè÷åííîì èçìåðèìîì ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâå V ⊂ Rn ,à îòîáðàæåíèå ϕ ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì íà îáëàñòè Ω, ñîäåðæàùåé çàìûêàíèå ìíîæåñòâà U = ϕ−1 (V ). Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííûõZZf (v)dµ(v) =f (ϕ(u))| det ϕ0 (u)|dµ(u).(11)Òåîðåìà 14.ϕ−1 (V )V ÷àñòíîñòè,Z| det ϕ0 (u)|dµ(u).µ(V ) =ϕ−1 (V(12))Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî åñëè ôîðìóëà (11) äîêàçàíà äëÿ îòîáðàæåíèé ϕ : Ω1 ⊃ U 7→ Ω2 , ψ : Ω2 ⊃ V 7→ Ω2 , ψ(V ) = W, òî îíà ñïðàâåäëèâà è äëÿèõ êîìïîçèöèè φ = ψ ◦ ϕ, ò.å.ZZf (w)dµ(w) =f (φ(w))| det φ0 (w)|dµ(w).Wφ−1 (W ) ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî çàïèñàòü öåïî÷êó ðàâåíñòâZZZ0f (w)dµ(w) =f (ψ(v))| det ψ (v)|dµ(v) =f (ψ(ϕ(u)))| det ψ 0 (ϕ(u))|·| det ϕ0 (u)|dµ(u)WVUè çàìåòèòü, ÷òî ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè φ0 (u) =ψ 0 (ϕ(u))ϕ0 (u), îòêóäà ïî ñâîéñòâàì îïðåäåëèòåëåé det φ0 (u) = det ψ 0 (ϕ(u)) · det ϕ0 (u),÷òî è äàåò òðåáóåìîå.Äîêàæåì ñíà÷àëà ëîêàëüíûå âàðèàíòû ôîðìóë (11),(12), òî åñòü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ìíîæåñòâî U ëåæèò â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a.25Íà÷íåì ñ ôîðìóëû (12). Ïðèìåíèì ïðåäûäóùóþ òåîðåìó (î ðàçëîæåíèè) ê îòîáðàæåíèþ u − a 7→ ϕ(u) − ϕ(a).
Áóäåì ñ÷èòàòü îêðåñòíîñòü òî÷êè a íàñòîëüêî ìàëîé,÷òî â íåéϕ(u) = ϕ(a) + g [n] ◦ Bn ◦ g [n−1] ◦ Bn−1 ◦ . . . ◦ g [1] ◦ B1 (u − a),ãäå ïðîñòûå îòîáðàæåíèÿ g [1] , . . . , g [n] è ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ Bi : Rn 7→ Rn , i =1, . . . , n , êàæäîå èç êîòîðûõ ëèáî òîæäåñòâåííîå, ëèáî ñâîäèòñÿ ê ïåðåñòàíîâêåäâóõ êîîðäèíàò âçÿòû èç òåîðåìû î ðàçëîæåíèè.Ïðîâåðèì ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû (12) äëÿ çàìåí, îñóùåñòâëÿåìûõ ïðîñòûìèîòîáðàæåíèÿìè, ëèíåéíûìè îòîáðàæåíèÿìè, ñâîäÿùèìñÿ ê ïåðåñòàíîâêå äâóõ êîîðäèíàò, è ñäâèãàìè.Ïóñòü ϕ = g [1] .
Ïî ñâîéñòâàì îòîáðàæåíèÿ g [1] äëÿ òî÷åê ìíîæåñòâà V ïðåäñòàâëåííûõ â âèäå v = (y, x), ãäå y ∈ Y = R, x ∈ X = Rn−1 ðàâåíñòâî v = g [1] (u)[1]îçíà÷àåò, ÷òî y = g1 (ũ, x), u = (ũ, x). Òåì ñàìûì îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ τx îäíîé ïå[1]ðåìåííîé ũ ðàâåíñòâîì y = τx (ũ) = g1 (ũ, x). Òîãäà ïî ôîðìóëå çàìåíû ïåðåìåííîéâ îäíîêðàòíîì èíòåãðàëå Ëåáåãà (9) íà ñå÷åíèè VY (x) èìååìZ|τx0 (ũ)|dµ(ũ).µY (VY (x)) =τx−1 (VY (x))Ïîñêîëüêó[1]τx0 (ũ)0∂g= 1 (ũ, x) = det g [1] (ũ, x),∂ ũòî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZµY (VY (x)) =τx−1 (VY (x))[1] 0(ũ, x) dµ(ũ).det g(13)Ïî òåîðåìå î âû÷èñëåíèè ìåðû ñ ïîìîùüþ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ µ(V ) =Rµ (VY (x))dµX .
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ðàâåíñòâî (13) è èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ôóáèíè, ïîX Yëó÷èìZ ZZ[1] 0[1] 0µ(V ) =(ũ, x) dµ(ũ)dµX =(ũ, x) dµ(u).det gdet gXτx−1 (VY (x))τx−1 (VY (x))×XÎñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ðàâåíñòâî v = g [1] (u) îçíà÷àåò, ÷òî v = (τx (ũ), x), îòêóäàτx−1 (VY (x)) × X = (g [1] )−1 (V ).26Ïóñòü òåïåðü ϕ = B, ãäå B ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, ñâîäÿùååñÿ ê ïåðåñòàíîâêå ïåðâîé è âòîðîé êîîðäèíàò. Òåïåðü òî÷êè ìíîæåñòâà V ïðåäñòàâëåíû â âèäåv = (y, x), ãäå y ∈ Y = R2 , x ∈ X = Rn−2 . Ïî òåîðåìå î âû÷èñëåíèè ìåðû ñ ïîìîùüþRêðàòíûõ èíòåãðàëîâ µ(V ) = X µY (VY (x))dµX . Ïðèìåíåíèå îòîáðàæåíèÿ B îçíà÷àåò ëèøü ïåðåñòàíîâêó ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîâòîðíîì èíòåãðàëå, ê êîòîðîìóñâîäèòñÿ ïî òåîðåìå Ôóáèíè âû÷èñëåíèå µY (VY (x)), à ìîäóëü ÿêîáèàíà îòîáðàæåíèÿB ðàâåí åäèíèöå, ÷òî îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü (12) è â ýòîì ñëó÷àå.Åñëè ϕ = T, ãäå T ñäâèã, òî åãî ÿêîáèàí ðàâåí åäèíèöå, è ôîðìóëà (12) ñëåäóåòèç èíâàðèàíòíîñòè ìåðû Ëåáåãà îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ.Óñòàíîâèì òåïåðü ëîêàëüíûé âàðèàíò ôîðìóëû (11) â òåõ æå ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ.Ñâîéñòâî σ -àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà è ëèíåéíîñòü èíòåãðàëà Ëåáåãà äîêàçûâàþòñïðàâåäëèâîñòü (11) äëÿ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé.
Òåïåðü ïî òåîðåìå î ïðåäñòàâëåíèè èçìåðèìûõ ôóíêöèé ïðåäåëàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñòóïåí÷àòûõ (Òåîðåìà 19ïðåäûäóùåé ãëàâû) è ïî òåîðåìå Ëåâè ïîëó÷àåì (11) äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèèf.Äëÿ ôóíêöèè ëþáîãî çíàêà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü óæå äîêàçàííóþ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ ê ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòÿì ôóíêöèè f è âîñïîëüçîâàòüñÿëèíåéíîñòüþ èíòåãðàëà Ëåáåãà.Ïîñêîëüêó òîãäà ôîðìóëà (11), êàê áûëî îòìå÷åíî â íà÷àëå äîêàçàòåëüñòâà, ñïðàâåäëèâà è äëÿ ëþáîé êîìïîçèöèè çàìåí, îñóùåñòâëÿåìûõ ïðîñòûìè îòîáðàæåíèÿìè,ëèíåéíûìè îòîáðàæåíèÿìè, ñâîäÿùèìñÿ ê ïåðåñòàíîâêå äâóõ êîîðäèíàò, è ñäâèãàìè,òî ñïðàâåäëèâîñòü ëîêàëüíîãî âàðèàíòà ôîðìóëû (11) äîêàçàíà.Èòàê, êàæäàÿ òî÷êà a ∈ Ū îáëàäàåò òàêîé îêðåñòíîñòüþ, ÷òî äëÿ èçìåðèìûõïîäìíîæåñòâ ýòîé îêðåñòíîñòè ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (11).
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâîŪ êîìïàêòíîå, èç åãî ïîêðûòèÿ âñåìè îêðåñòíîñòÿìè ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîåïîäïîêðûòèå, ò.å. òàêîé êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê u1 , . . . , uN , ÷òî ñåìåéñòâî îêðåñòíîñòåé U (us , εs ), s = 1, . . . , N, ïîêðûâàåò âñå Ū äëÿ èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ êàæäîéèç îêðåñòíîñòåé U (us , εs ), s = 1, . . . , N, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (11).
Äîêàæåì, ÷òîñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå åäèíèöû, ïîä÷èíåííîå ýòîìó ïîêðûòèþ, ò.å. òàêîé íàáîð áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ζ1 , . . . , ζN , ÷òî1. ζs (u) > 0 ïðè u ∈ U (us , εs ), s = 1, . . . , N,2. ζs (u) = 0 ïðè u ∈/ U (us , εs ), s = 1, . . . , N,PN3.s=1 ζs (u) = 1 äëÿ âñåõ u ∈ Ū .27 ñàìîì äåëå, ôóíêöèè ηs (u), ðàâíûå íóëþ âíå U (us , εs ), s = 1, . . .
, N, è ηs (u) =exp(−1/(ε2s − |u − us |2 )2 ) äëÿ |u − us | < εs áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìû. Èõ ñóììàPNs=1 ηs (u) > 0 äëÿ âñåõ u ∈ Ū , òàê êàê ëþáàÿ òî÷êà u ∈ Ū ëåæèò â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U (us , εs ). Áîëåå òîãî, êàê íåïðåðûâíàÿ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå ôóíêöèÿ,îíà äîñòèãàåò ñâîåãî (ïîëîæèòåëüíîãî) ìèíèìóìà íà Ū , à òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òîôóíêöèèηs (u)ζs (u) = PNs=1 ηs (u)îáðàçóþò òðåáóåìîå ðàçáèåíèå åäèíèöû. Òîãäà öåïî÷êà ðàâåíñòâZZf (v)dµ(v) =VN ZXs=1f (v)V−1f (v)ζs (ϕ (v))dµ(v) =V ∩ϕ(U (us ,εs ))Zf (ϕ(u))Uζs (ϕ−1 (v))dµ(v) =s=1N ZXs=1NXNXf (ϕ(u))ζs (u)| det ϕ0 (u)|dµ(u) =ϕ−1 (V∩ϕ(U (us ,εs )))Z0f (ϕ(u))| det ϕ0 (u)|dµ(u)ζs (u)| det ϕ (u)|dµ(u) =ϕ−1 (Vs=1)çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.Çàêëþ÷èòåëüíàÿ òåîðåìà ýòîãî ïàðàãðàôà áûëà äîêàçàíà Ëåáåãîì (÷àñòü åå íåçàâèñèìî òàêæå Âèòàëè).
Ìû äîêàæåì òîëüêî îäíîìåðíûé âàðèàíò, õîòÿ äîêàçàòåëüñòâî íåòðóäíî ïåðåíåñòè è íà ñëó÷àé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.(Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ðèìàíó). Îãðàíè÷åííàÿ íà îòðåçêå[a, b] ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà ýòîì îòðåçêå òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà îíà íåïðåðûâíà ïî÷òè âñþäó íà [a, b].Òåîðåìà 15.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû îá èíòåãðàëå Ðèìàíà êàê î ïðåäåëå èíòåãðàëüíûõñóìì ñëåäóåò, ÷òî f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà [a, b] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà(k)(k)(k)äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé {Pk = {a = x0 < x1 < . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
