Кратный интеграл - Лукашов (1187975), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Áóäåì äîêàçûâàòü òîëüêî ðàâåíñòâî (4).QQÏóñòü ñíà÷àëà A áðóñ A = ni=1 hai , bi i. Òîãäà ïðè x ∈ mi=1 hai , bi i AY (x) =QmQn(x),/ i=1 hai , bi i AY (x) = ∅. Îòñþäà µY (AY (x)) = χQmi=m+1 hai , bi i, à ïðè x ∈i=1 hai ,bi i÷òî íåìåäëåííî âëå÷åò (4).Ïóñòü òåïåðü A ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî. Ïîñêîëüêó ìåðû Ëåáåãà ãðàíåéáðóñüåâ (â îäíîé ðàçìåðíîñòè) ðàâíû íóëþ, à çíà÷åíèÿ ôóíêöèé íà ìíîæåñòâå íóëåâîé ìåðû Ëåáåãà íå îêàçûâàþò âëèÿíèÿ íà çíà÷åíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà ýòîé ôóíêöèè,Qn(k) (k)ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî A = ∪Nk=1 Qk , ãäå áðóñüÿ Qk =i=1 [ai , bi ] èìåþò íåïåðåñåêàþùèåñÿ âíóòðåííîñòè: int Qk ∩ int Qj = ∅ ïðè k 6= j.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (4) íóæíîïðåäñòàâèòü A â âèäåYA = ∪M(5)j=1 Pj × Qj ,ãäå Pj áðóñüÿ â X, à QYj ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà â Y, j = 1, . . . , M. Äëÿ ýòîãîïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî m. Îñíîâíîé øàã çäåñü m = 1. Çàïèøåì ðàçëè÷íûå ÷èñëà(1)(N ) (1)(N )èç ìíîæåñòâà {a1 , . . .
, a1 , b1 , . . . , b1 } â âîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå: c1 < . . . cM +1 .YÒîãäà A = ∪Mj=1 [cj , cj+1 ] × Qj , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Èç (5) ïî îïðåäåëåíèþ17PPMYYîáúåìà µ(A) = |A| = M|P×Q|=jjj=1j=1 µX (Pj )µY (Qj ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿx ∈ (cj , cj+1 ) AY (x) = QYj , îòêóäà ïî ñâîéñòâàì èíòåãðàëà ËåáåãàZµY (AY (x))dµX =M ZXXj=1µY (QYj )dµX=PjMXµX (Pj )µY (QYj ),j=1è ðàâåíñòâî (4) äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ óñòàíîâëåíî.Èç òåîðåìû î ñòðóêòóðå èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ (Òåîðåìà 12 ïðåäûäóùåé ãëàâû)ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî A êîíå÷íîé ìåðû ïðåäñòàâèìîâ âèäå!∞ [∞\A=Ai,j \ A0 ,i=1 j=1ãäå Ai,j , i = 1, 2, .
. . ; j = 1, 2, . . . , - ýëåìåíòàðíûå îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ïðè÷åì Ai,1 ⊂SAi,2 ⊂ . . . , i = 1, 2, . . . ; à Bi = ∞j=1 Ai,j , i = 1, 2, . . . , òàêîâû, ÷òî B1 ⊃ B2 ⊃ . . . ,µ(B1 ) < ∞, µ(A0 ) = 0.Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà (5) äëÿ ìíîæåñòâ A êîíå÷íîé ìåðû, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå∞[A=Aj ,j=1ãäå Aj , j = 1, 2, . . .
, - ýëåìåíòàðíûå îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ïðè÷åì A1 ⊂ A2 ⊂ . . ..Äëÿ êàæäîãî èç ìíîæåñòâ Aj , j = 1, 2, . . . , ðàâåíñòâî (4) óæå äîêàçàíî, ò.å.Zµ(Aj ) =µY ((Aj )Y (x))dµX , j = 1, 2, . . . .XÏî ñâîéñòâó íåïðåðûâíîñòè ìåðû Ëåáåãàµ(A) = lim µ(Aj ).j→∞(6)Èç âêëþ÷åíèé A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ñëåäóþò (ïðè ëþáîì x ∈ X ) âêëþ÷åíèÿ (A1 )Y (x) ⊂(A2 )Y (x) ⊂ . . . , îòêóäà ïî ñâîéñòâàì ìåðû Ëåáåãà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé{µY ((Aj )Y (x))}∞j=1 ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåîòðèöàòåëüíûõñóììèðóåìûõ ôóíêöèé.
Ïî òåîðåìå Ëåâè èç ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôàZZlim µ(Aj ) = limµY ((Aj )Y (x))dµX =lim µY ((Aj )Y (x))dµX ,j→∞j→∞X j→∞X18íî ïî ñâîéñòâó íåïðåðûâíîñòè ìåðû Ëåáåãà limj→∞ µY ((Aj )Y (x)) = µY (AY (x)) ïðèêàæäîì x ∈ X, ÷òî è äîêàçûâàåò (5) äëÿ îáúåäèíåíèé âîçðàñòàþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ.Äîêàæåì òåïåðü òðåáóåìîå ðàâåíñòâî (ò.å.Zµ(B) =µY (BY (x))dµX(7)Xäëÿ ìíîæåñòâ B êîíå÷íîé ìåðû, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå!∞ [∞\B=Ai,j ,i=1 j=1ãäå Ai,j , i = 1, 2, . . . ; j = 1, 2, .
. . , - ýëåìåíòàðíûå îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ïðè÷åìSAi,1 ⊂ Ai,2 ⊂ . . . , i = 1, 2, . . . ; à Bi = ∞j=1 Ai,j , i = 1, 2, . . . , òàêîâû, ÷òî B1 ⊃B2 ⊃ . . . , µ(B1 ) < ∞. Äëÿ ìíîæåñòâ Bi ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâà µ(Bi ) =Rµ ((Bi )Y (x))dµX , i = 1, 2, . . . , áûëè óñòàíîâëåíû òîëüêî ÷òî, îòêóäàX YZµY ((B1 \ Bi )Y (x))dµX , i = 1, 2, .
. . .µ(B1 \ Bi ) =XÏîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ ïðåäûäóùåãî àáçàöà, ïðèäåì ê ðàâåíñòâóZZµY ((B1 \ B)Y (x))dµX ,µ(B1 \ B) = lim µ(B1 \ Bi ) = limµY ((B1 \ Bi )Y (x))dµX =i→∞i→∞XX÷òî è äîêàçûâàåò (7).Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó (4) äëÿ ìíîæåñòâ A êîíå÷íîé ìåðû. Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, òàêèå ìíîæåñòâà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå A = B \ A0 , ãäå äëÿìíîæåñòâà B ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (7), à µ(A0 ) = 0.
Ïðèìåíèì òåîðåìó î ñòðóêòóðå èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà ê ìíîæåñòâó A0 . Òîãäà ìû íàéäåì ìíîæåñòâî B0 ⊃ A0òàêîé ñòðóêòóðû, äëÿ êîòîðîé ðàâåíñòâîZµ(B0 ) =µY ((B0 )Y (x))dµXXóæå óñòàíîâëåíî è ïðè ýòîì µ(B0 ) = µ(A0 ) = 0. Íî òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 1 èç ïàðàãðàôà 2 ýòîé ãëàâû µY ((B0 )Y (x)) = 0 ïðè µX -ïî÷òè âñåõ x ∈ X. Ïîýòîìó èç âêëþ÷åíèÿ(B0 )Y (x) ⊃ (A0 )Y (x) âûòåêàåò µY ((A0 )Y (x)) = 0 ïðè µX -ïî÷òè âñåõ x ∈ X. ÒîãäàR0 = µ(A0 ) = X µY ((A0 )Y (x))dµX èZZµ(A) = µ(B) =µY (BY (x))dµX =µY (AY (x))dµX ,XX19è (4) äëÿ ìíîæåñòâ A êîíå÷íîé ìåðû óñòàíîâëåíî.Äëÿ ìíîæåñòâ A áåñêîíå÷íîé ìåðû îñòàëîñü ïðèìåíèòü òåîðåìó Ëåâè.Ïîäãðàôèêîì íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f, çàäàííîé íà ìíîæåñòâå E ⊂ R , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Df,E = {(x, y) ∈ Rn+1 : x ∈ E, y ∈ [0, f (x)]}.Îïðåäåëåíèå 5.nÅñëè íà èçìåðèìîì ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâå E ⊂ X = Rn çàäàíà íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ f : E → Y = [0, +∞), òî ìåðà åå ïîäãðàôèêàâû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåZZf (x)dµ =µX ({x ∈ E : f (x) ≥ y})dµY .µ(Df,E ) =Ëåììà 4.E[0,+∞)Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåæäå âñåãî óñòàíîâèì, ÷òî ïîäãðàôèê èçìåðèì ïî Ëåáåãó âRn+1 . Ñíà÷àëà ïðîâåðèì, ÷òî E × [0, a] èçìåðèì ïî Ëåáåãó â Rn+1 äëÿ ëþáîãî a > 0.Ñîãëàñíî êðèòåðèþ èçìåðèìîñòè ïî Ëåáåãó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ýëåìåíòàðíîåâ Rn ìíîæåñòâî M òàêîå, ÷òî µX (M 4 E) < ε/a. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî áðóñà Pñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî µ(P × [0, a]) = aµX (P ), òî ïî îïðåäåëåíèþ âíåøíåé ìåðûµ∗ ((M 4 E) × [0, a]) = aµX (M 4 E) < ε,îòêóäà è ñëåäóåò èçìåðèìîñòü ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà E × [0, a].
Òàê êàê èçìåðèìûåïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà îáðàçóþò σ -àëãåáðó, îòñþäà âûòåêàåò èçìåðèìîñòü ïîäãðàôèêà íåîòðèöàòåëüíîé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè. Ïî òåîðåìå î ïðåäñòàâëåíèè èçìåðèìûõ ôóíêöèé ïðåäåëàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñòóïåí÷àòûõ (Òåîðåìà 19 ïðåäûäóùåé ãëàâû) ïîëó÷àåì, ÷òî ïîäãðàôèê ôóíêöèè f ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì íåóáûâàþùåé âñìûñëå âêëþ÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ïîäãðàôèêîâ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé, à çíà÷èò è ñàì ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ìíîæåñòâîì. Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ ìåðû íåìåäëåííî ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû.
Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü,÷òî ñå÷åíèÿìè ïîäãðàôèêà áóäóò (Df,E )Y (x) = [0, f (x)], (Df,E )X (y) = {x ∈ E : f (x) ≥y}.(Òåîðåìà Ôóáèíè)Åñëè íà èçìåðèìîì ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâå E ⊂ Rn çàäàíà ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿf (x, y), x ∈ Rm = X, y ∈ Rk = Y, m + k = n, òî (ñ÷èòàÿ íèãäå íå îïðåäåëåííóþôóíêöèþ ñóììèðóåìîé ñ èíòåãðàëîì, ðàâíûì íóëþ)Òåîðåìà 11.201. ïðè µX -ïî÷òè âñåõ x ∈ X ôóíêöèÿ f (x, y) ñóììèðóåìà ïî ìåðå µY íà ñâîåéîáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, è ïðè µY -ïî÷òè âñåõ y ∈ Y ôóíêöèÿ f (x, y) ñóììèðóåìàïî ìåðå µX íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ;RR2.
ôóíêöèÿ EY (x) f (x, y)dµY ñóììèðóåìà íà X, ôóíêöèÿ EX (y) f (x, y)dµX ñóììèðóåìà íà Y ;3. ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà ñâåäåíèÿ êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíûì:ZZ ZZ Zf (x, y)dµ =f (x, y)dµY dµX =f (x, y)dµX dµY .EXEY (x)YEX (y)Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü òåîðåìó îòìåòèì, ÷òî ñ ó÷åòîì ïðèíÿòîãî â íåé ñîãëàøåíèÿ ôàêòè÷åñêè èíòåãðàëû áåðóòñÿ íå ïî âñåì ïðîñòðàíñòâàì X, Y, à ïî ïðîåêöèÿì{x ∈ X : EY (x) 6= ∅}, {y ∈ Y : EX (y) 6= ∅} ñîîòâåòñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì ñíà÷àëà ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) íåîòðèöàòåëüíà íàE. Òîãäà åå ïîäãðàôèê Df,E èçìåðèì. Åãî ñå÷åíèÿ (Df,E )Y ×[0,+∞) (x) ïðè µX -ïî÷òèâñåõ x ∈ X èçìåðèìû ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå. Ýòè ñå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïîäãðàôèêàìèôóíêöèé f (x, y) ñ ôèêñèðîâàííûì x ∈ X . Èõ ìåðû ïî ëåììå ìîæíî âû÷èñëèòü ïîôîðìóëåZf (x, y)dµY .µY ×[0,+∞) (Df,E )Y ×[0,+∞) (x) =EY (x)Òîãäà ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìåZZ ZµY ×[0,+∞) (Df,E )Y ×[0,+∞) (x) dµX =µ(Df,E ) =XXf (x, y)dµYdµX .EY (x)RÍî ïî ëåììå µ(Df,E ) =f (x, y)dµ, ÷òî ïî óñëîâèþ ÿâëÿåòñÿ êîíå÷ERíûì ÷èñëîì.
Îòñþäà ôóíêöèÿ EY (x) f (x, y)dµY ñóììèðóåìà íà X, à ôóíêöèÿµY ×[0,+∞) (Df,E )Y ×[0,+∞) (x) êîíå÷íà ïðè µX -ïî÷òè âñåõ x ∈ X . Ýòî îçíà÷àåò ñóììèðóåìîñòü ôóíêöèè f (x, y) ïðè µX -ïî÷òè âñåõ x ∈ X . Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿñïðàâåäëèâû è äëÿ ïîâòîðíîãî èíòåãðàëà â ïðîòèâîïîëîæíîì ïîðÿäêå. Äëÿ ôóíêöèè ëþáîãî çíàêà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü óæå äîêàçàííóþ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ ê ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòÿì ôóíêöèè f è âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèíåéíîñòüþèíòåãðàëà Ëåáåãà.21Ïåðåéäåì ê ôîðìóëå çàìåíû ïåðåìåííûõ â êðàòíûõ èíòåãðàëàõ.Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì ôîðìóëó çàìåíû ïåðåìåííûõ â îäíîìåðíîì èíòåãðàëåËåáåãà.  îäíîìåðíîì ñëó÷àå ïîíÿòèå äèôôåîìîðôèçìà ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íàîòðåçêè, ïîíèìàÿ íàëè÷èå ïðîèçâîäíîé â êîíöå îòðåçêà â ñìûñëå íàëè÷èÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé.(Çàìåíà ïåðåìåííûõ â îäíîìåðíîì èíòåãðàëå Ëåáåãà).Ïóñòü ϕ äèôôåîìîðôèçì îòðåçêà V íà îòðåçîê U , à ôóíêöèÿ f ñóììèðóåìàíà U . ÒîãäàZZf (u)dµ(u) =f (ϕ(v))|ϕ0 (v)|dµ(v).(8)Òåîðåìà 12.UV ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ïîäìíîæåñòâà A ⊂ UZ|ϕ0 (v)|dµ(v).µ(A) =ϕ−1 (A)(9)Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü òåîðåìó, çàìåòèì, ÷òî ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû (8) àâòîìàòè÷åñêè îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ, ñòîÿùàÿ ïîä èíòåãðàëîì â åå ïðàâîé ÷àñòè,ñóììèðóåìà.
Êðîìå òîãî, âìåñòî ìíîæåñòâà U â ýòó ôîðìóëó ìîæíî ïîäñòàâèòüëþáîå èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ïîäìíîæåñòâî A ⊂ U , à âìåñòî V ϕ−1 (A) (äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðîäîëæèòü ôóíêöèþ f íóëåì íà U \ A).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì ôîðìóëó (9). Åñëè A ⊂ U îòðåçîê, òî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî ïîíèìàòü êàê èíòåãðàë Ðèìàíà, à òîãäà (9) ñëåäóåòèç ôîðìóëû çàìåíû ïåðåìåííîé â èíòåãðàëå Ðèìàíà. Òàê êàê èíòåãðàë Ëåáåãà íåìåíÿåòñÿ ïðè óäàëåíèè èç ìíîæåñòâà èíòåãðèðîâàíèÿ ìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû, òî(9) ñïðàâåäëèâà è äëÿ ëþáîãî ïðîìåæóòêà A ⊂ U . Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò âûïîëíåíèå (9) è äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ A ⊂ U .
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èçìåðèìîãîïî Ëåáåãó ïîäìíîæåñòâà A ⊂ U ñîãëàñíî êðèòåðèþ èçìåðèìîñòè ïî Ëåáåãó íàéäåìäëÿ ëþáîãî ε > 0 ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî Mε ⊂ U òàêîå, ÷òî µ(A 4 Mε ) < ε. Ïîòåîðåìå îá èçìåðèìîñòè äèôôåîìîðôíîãî îáðàçà èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà ϕ−1 (A) èçìåðèìî, ïðè÷åì â õîäå äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû ïîëó÷åíà îöåíêà ìåðû îáðàçà,èç êîòîðîé ñëåäóåò íåðàâåíñòâî2ε.µ(ϕ−1 (A) 4 ϕ−1 (Mε )) < 2 max |(ϕ−1 )0 (u)|µ(A 4 Mε ) <u∈Uminv∈V |ϕ0 (v)|ÎòñþäàZZ0 −1 |ϕ (v)|dµ(v) −ϕ(A)ϕ−1 (Mε ) Z|ϕ (v)|dµ(v) ≤0ϕ−1 (A)4ϕ−1 (Mε )22|ϕ0 (v)|dµ(v) ≤2ε maxv∈V |ϕ0 (v)|.minv∈V |ϕ0 (v)| ñèëó âûáîðà ìíîæåñòâà Mε ⊂ U ìîæíî òîãäà çàïèñàòü öåïî÷êó íåðàâåíñòâZZZ000|ϕ (v)|dµ(v)| ≤ |µ(A)−µ(Mε )|+|ϕ (v)|dµ(v) −|ϕ (v)|dµ(v) <|µ(A)−ϕ−1 (A)ϕ−1 (A)2 maxv∈V |ϕ0 (v)|1+minv∈V |ϕ0 (v)|ϕ−1 (Mε )ε.Ïðîèçâîëüíîñòü ε > 0 çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî (9).Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (8) ïðîâåäåì ñíà÷àëà äëÿ ñëó÷àÿ íåîòðèöàòåëüíîéôóíêöèè f .
Äëÿ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé (8) íåìåäëåííî ñëåäóåò èç (9), ëèíåéíîñòèè σ -àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà. Òåïåðü ïî òåîðåìå î ïðåäñòàâëåíèè èçìåðèìûõ ôóíêöèé ïðåäåëàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñòóïåí÷àòûõ (Òåîðåìà 19 ïðåäûäóùåé ãëàâû) è ïî òåîðåìå Ëåâè ïîëó÷àåì (8) äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f .Äëÿ ôóíêöèè ëþáîãî çíàêà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü óæå äîêàçàííóþ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ ê ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòÿì ôóíêöèè f è âîñïîëüçîâàòüñÿëèíåéíîñòüþ èíòåãðàëà Ëåáåãà.×òîáû äîêàçàòü ôîðìóëó çàìåíû ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå, íàäî íàó÷èòüñÿ ðàñêëàäûâàòü äèôôåîìîðôèçì íà êîìïîçèöèþ äèôôåîìîðôèçìîâ, îñòàâëÿþùèõ íåèçìåííûìè âñå êîîðäèíàòû, êðîìå îäíîé (õîòÿ áû ëîêàëüíî, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
