Кратный интеграл - Лукашов (1187975), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïðè c1 = c2 = 1 çàìå÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿP : E = tKk=1 Ek ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîL(P, f1 ) + L(P, f2 ) ≤ L(P, f1 + f2 ) ≤ U (P, f1 + f2 ) ≤ U (P, f1 ) + U (P, f2 ).5Ïåðåõîäÿ çäåñü ê òî÷íûì âåðõíèì è íèæíèì ãðàíÿì ïî âñåâîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì,ïîëó÷èì òðåáóåìîå.Àíàëîãè÷íî ïðè c > 0 èìååì äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ P : E = tKk=1 Ek è ëþáîéîãðàíè÷åííîé èçìåðèìîé íà E ôóíêöèè f cL(P, f ) = L(P, cf ), cU (P, f ) = U (P, cf ),RRîòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî E (cf (x))dµ(x) = c E f (x)dµ(x). Äëÿ ôóíêöèè - f èìåRåì L(P, −f ) = −U (P, f ), U (P, −f ) = −L(P, f ), îòêóäà ïîëó÷àåì E (cf (x))dµ(x) =Rc E f (x)dµ(x) äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ c, çàâåðøàÿ äîêàçàòåëüñòâî ëèíåéíîñòèäëÿ ñëó÷àÿ îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé f1 , f2 .Ïî ñóòè òî æå äîêàçàòåëüñòâî ïðîõîäèò è äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõôóíêöèé f1 , f2 è íåîòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë c1 , c2 , ñ òåì äîïîëíåíè(i)åì, ÷òî ñóììèðóåìîñòü ôóíêöèé f1 , f2 ãàðàíòèðóåò, ÷òî ìíîæåñòâà E0 = {x ∈ E :fi (x) = +∞}, i = 1, 2, èìåþò íóëåâóþ ìåðó Ëåáåãà, ïîýòîìó èçìåëü÷åíèÿ ðàçáèåíèé(1)(2)E = t∞k=0 Ek ñ E0 = E0 ∪ E0 èñêëþ÷àþò ïîÿâëåíèå áåñêîíå÷íûõ ñëàãàåìûõ â íèæíèõ è âåðõíèõ ñóììàõ Äàðáó-Ëåáåãà, à âñå ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà èç âûøåïðèâåäåííîé ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà ñîõðàíÿþòñÿ ñ äîïóùåíèåì áåñêîíå÷íûõ çíà÷åíèéíåêîòîðûõ âåðõíèõ ñóìì Äàðáó-Ëåáåãà.Äëÿ ôóíêöèé ëþáîãî çíàêà çàìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâà f1 +f2 = (f1 +f2 )+ −(f1 +f2 )− ,f1 = f1+ − f1− , f2 = f2+ − f2− äàþò ðàâåíñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ ñóììèðóåìûõ ôóíêöèé (f1 + f2 )+ + f1− + f2− è (f1 + f2 )− + f1+ + f2+ , îòêóäà, ïðèìåíÿÿ óæå äîêàçàííóþ÷àñòü è îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà îò ôóíêöèé ëþáîãî çíàêà, ïîëó÷èì ðàâåíRRRñòâî E (f1 (x) + f2 (x))dµ(x) = E f1 (x)dµ(x) + E f2 (x)dµ(x).
Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿëèíåéíîñòü äëÿ c1 = −c2 = 1. Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ïðè c > 0 ñïðàâåäëèâû òîæäåñòâà (cf )+ = cf + ,(cf )− = cf − äëÿ ëþáîé ñóììèðóåìîé íà E ôóíêöèè f .Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñ ó÷åòîì óæå äîêàçàííîé ëèíåéíîñòè äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé f2 (x) = 0 ïðè âñåõ x ∈ E , êîòîðûé î÷åâèäíûìîáðàçîì ñëåäóåò èç íåîòðèöàòåëüíîñòè âñåõ íèæíèõ è âåðõíèõ ñóìì Äàðáó-Ëåáåãàíåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé. äàëüíåéøåì áóäåò óäîáíî èñïîëüçîâàòü âîçìîæíîñòü äðóãîãî îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà îò íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé, èñïîëüçóþùåãî ïîíÿòèåñðåçêè íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f[N ] (x) = min(f (x), N ).(Èíòåãðàë Ëåáåãà êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåãðàëîâ îòñðåçîê).
Äëÿ ëþáîé íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâåÒåîðåìà4.6E ⊂ Rn êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèè f ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîRlimN →∞ E f[N ] (x)dµ(x).REf (x)dµ(x) =Äîêàçàòåëüñòâî. Èç î÷åâèäíîãî íåðàâåíñòâà f[N ] (x) ≤ f[N +1] (x) ïðè âñåõ x ∈ E èñâîéñòâà ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò ìîíîòîííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåRãðàëîâ îò ñðåçîê { E f[N ] (x)dµ(x)}. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâîâàíèå (êîíå÷íîãî èëèRáåñêîíå÷íîãî) ïðåäåëà i = limN →∞ E f[N ] (x)dµ(x) óñòàíîâëåíî, è îñòàëîñü ïðîâåðèòüRðàâåíñòâî ýòîãî ïðåäåëà èíòåãðàëó E f (x)dµ(x).Èç íåðàâåíñòâà f[N ] (x) ≤ f (x) ïðè âñåõ x ∈ E è ñâîéñòâà ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëàRñëåäóåò íåðàâåíñòâî i ≤ E f (x)dµ(x).Äîêàçàòåëüñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé íà E ôóíêöèè f ñïðàâåäRëèâî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî i < E f (x)dµ(x).  ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäåëRi = limN →∞ E f[N ] (x)dµ(x) êîíå÷åí. Èç îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà îò íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ðàçáèåíèÿ P : E = t∞k=0 Ekòàêîãî, ÷òî L(P, f ) > i. Ïðè ýòîì E0 = {x ∈ E : f (x) = +∞}, è åñëè µ(E0 ) > 0, òîRäëÿ ðàçáèåíèÿ P1 : E = E0 ∪ (E \ E0 ) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî E f[N ] (x)dµ(x) ≥L(P1 , f[N ] ) ≥ N µ(E0 ), îòêóäà i = +∞, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñäåëàííîìó ïðåäïîëîæåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, µ(E0 ) = 0, çíà÷èò, mk < +∞, k = 1, 2, .
. . . Òîãäà ñóììóÄàðáó-Ëåáåãà L(P, f ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê (êîíå÷íóþ èëè áåñêîíå÷íóþ) ñóìPìó ðÿäà L(P, f ) = ∞k=1 mk µ(Ek ) ñ êîíå÷íûìè ñëàãàåìûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåòPñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî K òàêîå, ÷òî Kk=1 mk µ(Ek ) > i. Âûáåðåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî[N ]N > max(m1 , . . .
, mK ). Èç îïðåäåëåíèÿ ñðåçêè ïîëó÷èì mk = mk , k = 1, 2, . . . , K,[N ]Kãäå mk = inf x∈Ek f[N ] (x), îòêóäà äëÿ ðàçáèåíèÿ P2 : E = tKk=0 Ek ∪(E \tk=0 Ek ) èìååìZf[N ] (x)dµ(x) ≥ L(P2 , f[N ] ) ≥EKXk=1[N ]mk µ(Ek )=KXmk µ(Ek ) > i.k=1Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ïðîòèâîðå÷èò ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåãðàRëîâ îò ñðåçîê { E f[N ] (x)dµ(x)}.(Ïðèçíàê ñóììèðóåìîñòè).Åñëè f ñóììèðóåìà íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû, à èçìåðèìàÿíà E ôóíêöèÿ F óäîâëåòâîðÿåò ïðè âñåõ x ∈ E íåðàâåíñòâó |F (x)| ≤ f (x), òî Fñóììèðóåìà íà E.Ëåììà 1.7Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà äëÿôóíêöèé ëþáîãî çíàêà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ñóììèðóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ñóììèðóåì |f |, (äîñòàòî÷íî ó÷åñòü, ÷òî |f | = f + + f − ).Òåïåðü óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñóììèðóåìîñòü ôóíêöèè f âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ðàçáèåíèÿ P : E = t∞k=0 Ek , ÷òî U (P, f ) < +∞, è èç íåðàâåíñòâR|F (x)|dµ(x) ≤ U (P, |F |) ≤ U (P, f ).E(Îñíîâíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà).1.(Èíòåãðèðîâàíèå ïîñòîÿííîé).
Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ f (x) ≡ c ñóììèðóåìà íàRëþáîì èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû, ïðè÷åì E cdµ(x) = cµ(E).2.(Ïîëíàÿ èëè σ -àääèòèâíîñòü). Åñëè f ñóììèðóåìà íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâåE êîíå÷íîé ìåðû, ïðåäñòàâëåííîì â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ E = t∞k=1 Ek ,òî f ñóììèðóåìà íà êàæäîì èç Ek , k = 1, 2, . . . ,èZ∞ ZXf (x)dµ(x) =f (x)dµ(x).(1)Òåîðåìà 5.Ek=1EkÎáðàòíî, åñëè èçìåðèìîå ìíîæåñòâî E êîíå÷íîé ìåðû ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ E = t∞k=1 Ek , ôóíêöèÿP∞ Rf ñóììèðóåìà íà êàæäîì èç Ek , k = 1, 2, .
. . , è ðÿä k=1 Ek |f (x)|dµ(x) ñõîäèòñÿ,òî f ñóììèðóåìà íà E è ñïðàâåäëèâî (1).3.(Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà Ëåáåãà). Åñëè f ñóììèðóåìà íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå,÷òî äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà e ⊂ E ñ µ(e) < δ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîZ f (x)dµ(x) < ε.eÄîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå íåìåäëåííî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî L(P, c) =U (P, c) = cµ(E) äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ P : E = tKk=1 Ek .Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ïðîâåäåì â íåñêîëüêî øàãîâ. Ñíà÷àëà äîêàæåì êîíå÷íóþ àääèòèâíîñòü äëÿ îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé.
Äîñòàòî÷íîïðîäåëàòü ýòî äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ. Ïóñòü E = E1 t E2 ïðåäñòàâëåíèå ìíîæåñòâà Eâ âèäå îáúåäèíåíèÿ äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèÿ Ëåáåãà P1 , P2 ìíîæåñòâ E1 , E2 , îòâå÷àþùèå ðàçáèåíèþ Q = {inf x∈E f (x) =8y0 < y1 < . . . < yK = supx∈E f (x). Ïî îñíîâíîé òåîðåìå îá èíòåãðàëå Ëåáåãà îò îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ äèàìåòðà ðàçáèåíèÿ Q ñîîòR(j)âåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå ñóììû S(Pj , f, {tk }) ñòðåìÿòñÿ ê Ej f (x)dµ(x), j = 1, 2.(j)Ïåðåõîäÿ â îïðåäåëåíèè ýòèõ ïðåäåëîâ ê òî÷íûì âåðõíèì è íèæíèì ãðàíÿì ïî {tk },ïîëó÷èì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå íèæíèå è âåðõíèå ñóììû Äàðáó-Ëåáåãà èìåþò òå æåïðåäåëû, ò.å.Zlim L(Pj , f ) = lim U (Pj , f ) =f (x)dµ(x), j = 1, 2.∆(Q)→0∆(Q)→0EjÀíàëîãè÷íûå ðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû è äëÿ ðàçáèåíèé Ëåáåãà ìíîæåñòâà E , îòâå÷àþùèì òåì æå ðàçáèåíèÿì Q , ò.å. lim∆(Q)→0 L(P, f ) = lim∆(Q)→0 U (P, f ) =Rf (x)dµ(x).
Òåïåðü òàêîé æå ïåðåõîä ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâàõ L(P, f ) ≤ L(P1 , f )+EL(P2 , f ) ≤ U (P1 , f ) + U (P2 , f ) ≤ U (P, f ) çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè.Òåïåðü, ïðèìåíÿÿ äîêàçàííóþ ÷àñòü êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè ê ñðåçêàì ïðîèçâîëüíîé íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ E = E (1) ∪ (E \ E (1) ), ïîëóRR÷èì íåðàâåíñòâî E (1) f[N ] (x)dµ(x) ≤ E f[N ] (x)dµ(x).
Ïåðåõîä â ýòîì íåðàâåíñòâå êïðåäåëó ïðè N → ∞ è ïðèçíàê ñóììèðóåìîñòè äîêàçûâàþò ñëåäóþùóþ ëåììó äëÿíåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f , à, çíà÷èò, è äëÿ ôóíêöèé f ëþáîãî çíàêà.(Ñóììèðóåìîñòü íà ïîäìíîæåñòâàõ).Åñëè f ñóììèðóåìà íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû, òî îíà ñóììèðóåìà è íà ëþáîì èçìåðèìîì ïîäìíîæåñòâå E (1) ⊂ E.Ëåììà 2.Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ïîëíîé àääèòèâíîñòè äëÿ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé.Ïóñòü f îãðàíè÷åíà è èçìåðèìà íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû, ïðåäñòàâëåííîì â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâP∞E = t∞E.Èçσ-àääèòèâíîñòèìåðûËåáåãàñëåäóåòðàâåíñòâîµ(E)=kk=1k=1 µ(Ek ). ÷àñòíîñòè, ïîñëåäíèé ðÿä ñõîäèòñÿ, çíà÷èò äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íàòóðàëüP∞íîå K òàêîå, ÷òîk=K+1 µ(Ek ) < ε.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç RK èçìåðèìîå ìíîæåñòâîFKRK = t∞E,òîãäàE=R∪E è µ(RK ) < ε. Èç óæå äîêàçàííîé êîíå÷íîékKk=K+1RR kRPK k=1àääèòèâíîñòè E f (x)dµ(x) = k=1 Ek f (x)dµ(x) + RK f (x)dµ(x). Åñëè |f (x)| ≤ Mïðè âñåõ x ∈ E , òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ËåáåãàZ Z≤f(x)dµ(x)|f (x)|dµ(x) ≤ M ε,RKRK9è ïðîèçâîëüíîñòü ε > 0 çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîé àääèòèâíîñòè äëÿ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé.Ïóñòü òåïåðü f íåîòðèöàòåëüíàÿ ñóììèðóåìàÿ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèÿ. Êîíå÷íàÿ àääèòèâíîñòü â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò èç ñïðàâåäëèâîñòè ñâîéñòâà êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè äëÿ ëþáîé ñðåçêè f[N ] è ïåðåõîäà ê ïðåäåëó ïðè N → ∞. Àíàëîãè÷íî, êàê è â ñëó÷àå σ -àääèòèâíîñòè äëÿ îãðàíè÷åííûõRRP Rôóíêöèé, E f[N ] (x)dµ(x) = Kf(x)dµ(x)+f (x)dµ(x).
Îòñþäà ñ ó÷å[N]k=1 EkRK [N ]RPòîì íåîòðèöàòåëüíîñòè f ïîëó÷àåì ïðè âñåõ N íåðàâåíñòâî Kk=1 Ek f[N ] (x)dµ(x) ≤Rf (x)dµ(x). Ïåðåéäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè N → ∞, èìååìE [N ]RRPKf(x)dµ(x)≤f (x)dµ(x). Òàê êàê K ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüøèì,k=1 EkEîòñþäàZ∞ ZXf (x)dµ(x) ≤f (x)dµ(x).(2)k=1EkEÑ äðóãîé ñòîðîíû, çàïèøåì äîêàçàííîå ñâîéñòâî σ -àääèòèâíîñòè äëÿ ëþáîé ñðåçêè f[N ] :Z∞ ZXf[N ] (x)dµ(x).f[N ] (x)dµ(x) =Ek=1EkRÌîíîòîííîñòü èíòåãðàëà Ëåáåãà âëå÷åò íåðàâåíñòâîf (x)dµ(x)≤E [N ]P∞ Rk=1 Ek f (x)dµ(x) (ñõîäèìîñòü ðÿäà â åãî ïðàâîé ÷àñòè ïðè ýòîì ñëåäóåò èç(2)).
Ïåðåéäÿ â ïîëó÷åííîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè N → ∞, çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîé àääèòèâíîñòè äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé. Çàìåòèì ïîïóòíî,÷òî ýòî æå íåðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü îáðàòíîå ê ïîëíîé àääèòèâíîñòèóòâåðæäåíèå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé.Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîé àääèòèâíîñòè îñòàëîñü ïðèìåíèòü óæåäîêàçàííóþ ÷àñòü ê ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòÿì ôóíêöèè f è âçÿòüðàçíîñòü ïîëó÷èâøèõñÿ íåðàâåíñòâ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç óæå äîP RP∞ R±êàçàííîãî, åñëè çàìåòèòü, ÷òî ∞k=1 Ek f (x)dµ(x) ≤k=1 Ek |f (x)|dµ(x).Äîêàæåì àáñîëþòíóþ íåïðåðûâíîñòü äëÿ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé.
Åñëè |f (x)| ≤M , ïðè âñåõ x ∈ E , òîZ f (x)dµ(x) ≤ M µ(e),eè â êà÷åñòâå δ > 0 ìîæíî âçÿòü δ = ε/(M + 1). Äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèéRâûáåðåì òàêîå íàòóðàëüíîå N , ÷òî E (f (x) − f[N ] (x))dµ(x) ≤ ε/2. Òîãäà äëÿ ëþáîãîRRRìíîæåñòâà e ⊂ E e (f (x) − f[N ] (x))dµ(x) ≤ ε/2, ò.å. e f (x)dµ(x) ≤ e f[N ] (x))dµ(x) +10ε/2 è â êà÷åñòâå δ > 0 ìîæíî âçÿòü δ = ε/(2N ). Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâàîñòàëîñü ïðèìåíèòü òîëüêî ÷òî äîêàçàííóþ ÷àñòü ê ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé RRRR÷àñòÿì ôóíêöèè f : e f (x)dµ(x) ≤ e |f (x)|dµ(x) = e f + (x)dµ(x) + e f − (x)dµ(x).1. Åñëè f (x) = g(x) ïî÷òè âñþäó íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E êîíå÷íîé ìåðû, òî èç ñóììèðóåìîñòè îäíîé èç ôóíêöèé f, g âûòåêàåò ñóììèðóåìîñòüRRäðóãîé è ðàâåíñòâî èõ èíòåãðàëîâ E f (x)dµ(x) = E g(x)dµ(x).2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
