Кратный интеграл - Лукашов (1187975), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

< xnk =b}} òàêîé, ÷òî Pk+1 ⊂ Pk ñ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äèàìåòðîâ ((k)(k)max1≤j≤nk (xj − xj−1 ) → 0 ïðè k →∈ ∞) ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòèâåðõíèõ è íèæíèõ ñóìì Äàðáó {U (Pk , f )}, {L(Pk , f )} èìåþò îäèí è òîò æå ïðåäåë28Rb(ðàâíûé èíòåãðàëó Ðèìàíà a f (x)dx). Áîëåå òîãî, áåðÿ ïðè íåîáõîäèìîñòè îáùèåèçìåëü÷åíèÿ è ó÷èòûâàÿ î÷åâèäíîå íåðàâåíñòâîU (Q, f ) − L(Q, f ) ≤ U (P, f ) − L(P, f )äëÿ ëþáûõ ðàçáèåíèé P, Q òàêèõ, ÷òî Q ⊂ P, ìîæíî âìåñòî ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé ãîâîðèòü î íåêîòîðîé. Âûáðàâ êàêóþ-íèáóäü òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé, ïîñòðîèì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé {Uk (x)}, {Lk (x)}, ïîëî(k)(k)æèâ äëÿ x ∈ (xj−1 , xj ]Uk (x) =supf (t);(k)(k)t∈[xj−1 ,xj ]Lk (x) =inf(k)f (t)(k)t∈[xj−1 ,xj ](äëÿ x = a åñòåñòâåííî âûáðàòü j = 1). Î÷åâèäíû íåðàâåíñòâàL1 (x) ≤ L2 (x) ≤ . .

. ≤ f (x) ≤ . . . ≤ U2 (x) ≤ U1 (x)ïðè âñåõ x ∈ [a, b]. Îòñþäà äëÿ ëþáîãî x ∈ [a, b] ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëûL(x) = lim Lk (x),U (x) = lim Uk (x),k→∞k→∞óäîâëåòâîðÿþùèå ïðè âñåõ x ∈ [a, b] íåðàâåíñòâàì L(x) ≤ f (x) ≤ U (x). Òàê êàêZZLk (x)dµ(x) = Lk (P, f ),Uk (x)dµ(x) = Uk (P, f ), k = 1, 2, . . . ,[a,b][a,b]Ròî ïî òåîðåìå Ëåâè limk→∞ Lk (P, f ) =L(x)dµ(x), limk→∞ Uk (P, f ) =[a,b]RU (x)dµ(x).[a,b]Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðèðóåìîñòü ïî Ðèìàíó ôóíêöèè f ðàâíîñèëüíà ðàâåíñòâóRRèíòåãðàëîâ [a,b] L(x)dµ(x) = [a,b] U (x)dµ(x), èëè, ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà ïîëîæèòåëüíîéîïðåäåëåííîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà, ðàâåíñòâó L(x) = U (x) ïî÷òè âñþäó íà [a, b].

Åñëèx íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíîé èç òî÷åê ðàçáèåíèé Pk (÷èñëî òàêèõ òî÷åê ñ÷åòíî), òîðàâåíñòâî L(x) = U (x) ðàâíîñèëüíî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå x.  ñàìîìäåëå, èç L(x) = U (x) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå k , ÷òî Uk (x) −(k)(k)Lk (x) < ε. Òàê êàê x ∈ (xj−1 , xj ) ïðè íåêîòîðîì j , òî, ïîëîæèâ δ = min(x −(k)(k)xj−1 , xj − x) > 0, äëÿ ëþáîãî x̃ òàêîãî, ÷òî |x̃ − x| < δ ïîëó÷èì |f (x̃) − f (x)| ≤Uk (x) − Lk (x) < ε. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ è òî, ÷òî íåïðåðûâíîñòü â òî÷êå xâëå÷åò ðàâåíñòâî L(x) = U (x).29.

Характеристики

Список файлов книги