Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Будем рассматривать модель, в которой состояние среды (газа) описывается следующими функциями, зависящими от двух независимых переменных 1 (время) и х (пространственная координата): и(г', х) — скорость газа, р(г, х)— плотность, р(Г, х) — давление, е(г, х) — внутренняя энергия (удельная). Величины е, р, р не являются независимыми: онн связаны соотношением, называемым уравнением состояния. Это уравнение мы будем употреблять либо в форме р= Р(е, р), либо в форме е = Е(р, р).
Иногда используются н другие величины, однозначно вычисляемые через любую пару термодинамических переменных (е, р), (р, р), ... (энтропия, энтальпия и т.д.). Используя этн термодинамические оютношения, газовая динамика, таким образом, ограничивается списанием явлений, протекающих в условиях локального термодинамического равновесия. Время свободного пробега молекул и его длина считаются бесконечно малымиь по сравнению с временами и длинами, на которых происходят заметные (с точки зрения газовой динамики) изменения основных величин, описывающих состояние газа.
ПРИБЛИКЕИИЫЕ МЕТОДЫ ЕЫЧИСЛИТЕЛЪИОЙ ФИЗИКИ 1ч. и Уравнения газовой динамики имеют вид законов сохранения импульса, массы и полной энергии соответственно: а) — + и — + — — =О, ди ди 1 др а! ах р ах б) де!+Пах +Ра„=О, в) — !1е+ — ) + и — !е+ — ) +- — =О, иг! а ( и'! ! д(ри! а! ~ г) ах ~ г) р ах Эти дифференциальные уравнения для четырех функций и, р, е, р замыкаются уравнением состояния р = Р(е, р).
Уравнения газовой динамики допускают разные формы записи; они эквивалентны, если предположить непрерывную дифференцируемость функций. Из них мы отметим важную для дальнейшего дивергентную форму уравнений: а) д! (Ри) + ах (Ри + Р) =О, а а а! + ах (Ри) = О' (2) в),З, Р е+ г +;!х Ри е+ г+ Уравнение (2а) есть сумма (1а) и (1б), умноженных на Р и и соответственно. Уравнение (2б) прямо получено из (1б), Уравнение (2в) есть сумма (1а) и (1в), умноженных на (е + иг(2) и р.
Каждое из этих уравнений имеет форму Л,+О.=О, где Я, Д вЂ” функции от и, р, е, р. Именно это обстоятельство служит основанием для термина «дивергентная форма уравнения». Она очень важна, так как из нее непосредственно следует запись уравнений в так называемой интегральной форме.
ПоСлЕДияя приводит К ОПРеделению обобщенных решений уравнений газовой динамики В газовой динамике нельзя обойтись классическими решениями. Напомним, что зто функции, имеющие непрерывные производные и удовлетворяющие уравнениям в прямом смысле этого слова. При этом несущественно, в какой форме записаны уравнЕния. Многие задачи газовой динамики классических решений не имеют. Необходимо рассматривать функции, имеющие на некоторых линиях в пространстве (й х) разрывы не тодько производных, но н самих функций. В этом случае понятие «решение» должно быть соответствующим образом обобщено. гзз ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Обобщенные решения уравнений газовой динамики.
Пусть функции и(й х), р(е, х), е(О х), р(у, х) являются классическими решениями уравнений, записанных в днвергентиой форме. Тогда они удовлетворяют и уравнениям в интегральной форме. Выведем их. Рассмотрим в плоскости (й х) произвольный замкнутый контур Г, ограничивающий односвязную, для простоты, область й. Вычислим О=)$ (Я +(')„) ~йс(х= ф (Яс(х — Ягй), ЧГ.
(3) и Г Равенство нулю интеграла по любому замкнутому контуру Г есть интегральная форма уравнений. Таким образом, классические решения являются и решениями уравнений в интегральной форме. Однако зта интегральная форма может быть принята за основную, определяющую. Итак, абобщеннымн решениями уравнений газовой динамики назовем функции и(г, х), р(С, х), е(Ф, х), р(й х)удовлетворяющие интегральным соотношениям (3).
При этом иг 1 ри, Я(р,и,е)= Р'~ ~ Д(р,и,е)= Ри' ри е+ — "+ — "~. 2 р (4) Другие формы уравнений газовой динамики. Разные формы записи уравнений подчеркивают тот или иной аспект описываемого ими явления. Эти формы используются для построения разностных аппроксимаций и приводят к отличающимся разностным схемам, казкдая из которых может оказаться предпочтительной при расчете какого-то специального класса течений. В дальнейшем мы специально коснемся этого вопроса еще раз. Нам потребуется другая форма уравнения энергии.
Из (1в) вычтем (1а), умноженное на и: — + и — + — — =О. ае ае р ан аг ах раз (5) Эта недивергентная запись уравнения для внутренней энергии часто оказывается полезной по соображениям, которые мы подробно обсу- дим в $ 22. И наоборот, если для любого Г имеет место ф (Я Фх — Д сй) = О и Г Я, Ц имеют производные, то почти всюду Я, + Д„О. Проверка того, что функции и, р, е являются решениями уравнений газовой динамики в обобщенном смысле, носит не очень обозримый характер (нужно проверить соотношения (3) для всех Г), но зато не требует дифференцируемости этих функций. пгввлнжвнные методы вычислительной»изики Другие формы уравнений мы получим, ограничившись простым, но очень важным в приложениях случаем идеального газа.
Этот термин связан с конкретной формой уравнения состояния е= — ~-, или р= (у — 1)ер, г/ где у — постоянная. С учетом этого соотношения преобразуем уравнение (5) для е в уравнение для р: ~ + и ~ + "/р — =О. д/ дх дк (б) Используя еще одну термодинамическую величину — адиабалдическую скорость звука с =т/ур/р (она может быть выражена через любую пару термодинамических величин, принятых за «основные»), получаем уравнение в форме р, + ир„+ сзри = О. (7) Выведем уравнение «для энтропии». Вычтем уравнения (5) и (1б), умножив нх на р и рlр = (/ — 1)е соответственно. Умножая результат на 1/(ре), группируя отдельные члены (члены с и„, очевидно, взаимно уничтожаются) и вводя в качестве термодинамической величины энтропию идеального газа 5 = 1п (ер' д) = 1и — Е-, д/ 7 т — 1' получаем уравнение «для энтропииы 5,+и5„=0, илн д/+и — д 5=0.
(8) Из него следует вывод: энтропия сохраняется вдоль «траектории частицы», т.е, на траектории уравнения Х = и(/, Х), Х(0) = Хв. Сформулируем это важное обстоятельство более аккуратно. Прежде всего подчеркнем, что вышеизложенные выкладки были проведены формально, в предположении, что используеыые производные существуют. Другими словами, все эти уравнения равносильны (из одних следуют другие) только в случае классических решений.
Пусть мы имеем классическое решение уравнений газовой динамики. Обозначим траектории частиц более аккуратно Х(/, Х„), Имея решение и(б х), р(/, х), е(/, х), р(/, х), мы имеем и энтропию 5(/, х). Тогда Я(/, Х(/, Хд)) =5(0, Хд). В частности, если в начальных данных энтропия была постоянной, она остается постоянной всюду (изоэнтропическое течение) и одно уравнение оказывается уже пройнтегрированным. Еще раз подчеркнем, что все это справедливо лишь для гладких решений. Ударные волны (разрывы), которые могут возникнуть при сколь угодно гладких начальных данных, приводят к изменению энтропии, одномзи!ые !т»знания гА»евой дан»маки 6 го1 Обозначая через (Ы/!(!)+ оператор дифференцирования по направ- лению Нх: а!! = (и + с): 1, можно записать это уравнение в виде [г) +,— ', (',)р-о.
(10) Такие же выкладки с заменой с на — с дают аналогичные уравнения. В результате система уравнений газовой динамики принимает так называемую характеристическую форму: — 8=0, ~ и+ — — р=О, — п+ — ! р=О, (11) где (г(/Ж) д = Йг/! + и и/пх.
Систему (11) можно сделать более прозрачной, если предположить течение изоэнтропнческим. В этом случае вся термодинамика определяется одним переменным параметром, в качестве которого удобно взять скорость звука с. Выражение 0р/(рс) становится, очевидно, дифференциалом некоторой «новой» термодинамической переменной, которую мы сейчас вычислим, а уравнения газовой динамики становятся (внешне) совсем простыми. Изоэнтропичность означает, что р(!, х) = А рт(1, х), А = сопз!. Тогда сз = Ау рт '.
После несложных преобразований получаем — г(р = — Нс, ! 2 рс т — 1 После внесения множителя 1/рс под знак дифференцирования уравнения (11) принимают следующую форму: Ф)'-' О, или — Я~ =О, О, илн —, Я =О. а) — + и — =О, нлн дз дЯ д! дх дл+ дд' б) — + (и+с) — = д! дх (12) в) + (и — с) — „ дд дд Здесь использованы новые переменные: Я+ = и + 2с/(7 — 1) и й = и — 2с/(7 — 1). Онн называются римановмма инвариантами, так как в изоэнтропическом течении их значения сохраняются на Римановы инварианты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
