Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Уравнения газовой динамики в форме Лагранжа. Выше были описаны уравнения газовой динамики в так называемой форме Эйлера. Она характеризуется тем, что в качестве независимых переменных выбираются время ~ н декартова координата х, связанная с геометрическим пространством, Очень удобна во многих задачах другая система независимых переменных — так называемая лагранжева система, в которой одной из независимых переменных остается время г, вторая же (назовем ее $) определяется так, что она остается постоянной вдоль траектории часпщ. Траектория — это кривая в пространстве (1, х), описываемая выделенной частицей газа.
Каждой частице соответствует своя траектория — решение уравнения Х= и(», Х(1)). Отметим все частицы газа параметром $. Это и будет «лагранжева» координата частицы. Теперь все траектории будут описываться Функцией Х(Г, г.), удовлетворяющей уравнению 1о* Х,(г, ц = и(г, Х(г, й)). ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и 292 Здесь и(1, х) берется из решения уравнений газовой динамики. В качестве параметра Р, можно взять, например, координату х частицы в начальный момент времени 1 = О.
Тогда уравнение дополняется данными Коши х(0, ч) = ч. Для того чтобы для данной точки (р, х) узнать ее координаты (1', Б), нужно проинтегрировать «назад» (от 1' к нулю) уравнение У = и(Г, У), У(Г') = х. Тогда К = У(0). Взаимная однозначность отображения (ц х) в (ц $) следует из того, что траектории не пересекаются. Следующей нашей задачей будет вывод уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах. Пусть имеется некоторая функция зйлеровых переменных /(г, х). Превратим ее в функцию лагранжевых переменных /(е, Р) Ве /(1, х(1, Р)). Вычислим производные 7: /,=/.х,, /,=/,+/,х,=/,+ /„. Пусть и(ц х), р(1, х), е(ц х) — решение уравнений газовцй динамики (1), каждое из которых содержит так называемый оператор субстанциальной производной — производной по 1 вдоль траектории частицы (д/дг+ ид/дх). Определим функции йД, Г), рЯ, 1), е(Б, 1) заменой переменных.
Они, очевидно, и будут решением уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах, Перепишем уравнения: эйлерова форма и+»и + — р=0, 1 Л» РВ+ ир + Ри. =0 лагранжева форма и,+=Х 'р =О, Л р,+ рХ,й,=0, с »з1 »'1 1 / йз~ е+» ~ + и[е+ — ) + 1 (ри)„=0, ~е+» ~ +=Х~'(рй)1=0, ХРй, 1) = йй, 1).
[р(1, $) Х (1, $)], = О, р(1, Ч) Х1(ц Ч) = р(0, $) Х (О, $) = р(0, х). Массовые лагранжевы координаты. Особенно простую и удобную для аналитических исследований и организации расчетов форму имеют уравнения газовой динамики при специальном выборе лагранжевой координаты. Чтобы пояснить его смысл, рассмотрим выражение рХ (пока мы имеем дело с определенной выше лагранжевой координатой ХЯ, О) = $). Величина рХ ПР= р ах равна массе вещества, заключенной между траекториями, соответствующими частицам ч и ч+ йЦ. Она, естественно, остается постоянной; следовательно, 293 ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ д 2о) Теперь уравнения в форме Лагранжа можно записать так: и+ ! Вр 0 ВГ РГ3, о> 33 Введем массовую лагранжеву координату тД), связанную с с дифференциальным уравнением т~ = р(9, 0).
В массовых лагранжевых координатах уравнения газовой динамики принимают совсем простую форму (вместо плотности р используем удельный объем О = р '). Опуская тильду в обозначениях, имеем Обозначение НЯГ вместо д/дг принято в лагранжевой системе координат. Система лагранжевых уравнений обязательно дополняется уравнением связи лагранжевой (т) и эйлеровой (х) координат: х,(Г, т) = и(Г, т), дх(0, т)/дт = и(0, т), Разрывные решения уравнений газовой динамики. Рассмотрим возможные, в принципе, разрывы в решениях уравнений газовой динамики. Предположим, что функции и(/, х), р(Г, х), е(Г, х) рвутся на некоторой линии в пространстве (Г, х). Пусть эта линия гладкая и по обе стороны от линии разрыва функции и, р, е— классическое решение уравнений газовой динамики.
Хотя в этой ситуации уравнения выполнены «почти всюду» (всюду, за исключением линии разрыва, яв- х(Г) ляюшейся множеством меры нуль), такая произвольная «склейка» двух решений не может считаться решением. Оказывается, между величинами и, р, е в точках на левом 2 н правом краях разрыва должны выполняться некоторые соотношения. Выведем их, используя определение обобщенного решения х (уравнения в интегральной форме). Рнс. 30 Возьмем на линии разрыва некоторую точку и построим около нее малую область й — параллелограмм со сгоронамн, параллельными линии разрыва (рис. 30).
Длины горизонтальных сторон считаем существенно меньшими длин боковых сторон. Чтобы разрывные функции и(д х), р(1, х), е(~, х) могли считаться обобщенными решениями, нужно, чтобы для каждой области типа В2 выполнялось соотношение (мы исходим из эйлеровой дивергентной формы) $ !ри ах — (риз + р) Г/1 ( = О. гй (Аналогично для двух остальных уравнений.) пеивлвжвнныв матовы вычислительной эизики .1ч.
и 294 Введем обозначения: Р— скорость распространения разрыва, т.е. Х, = Р (Х(!) есть уравнение линии разрыва); и,, р„е, — значения функций справа от разрыва (область й столь мала, что изменениями функций вдоль контура справа от разрыва можно пренебречь). В дальнейшем мы перейдем к пределу при стягивании ьа в точку.
Переменность функций можно было бы без труда учесть, но она дала бы вклад в малые более высокого порядка по сравнению с основными членами. То же самое предполагается и слева от разрыва. Соответствующие предельные значения обозначим и, р, ез. Интегралами по отрезкам 12 и 34, как уже указывалось, можно пренебречь. Итак, в главных членах соотношение дает 3 ! $ [ри !1х — (риз+ р) гй[ = ~ [ри е!х — (риз+ р) Щ + ~ ... ага а 4 Учтем, что отрезок 23 есть вектор (!ах, !й) = (Р, 1) !й, а отрезок 43 есть вектор — (Р, 1) !й. Сокращая на !й, имеем (РР,и, — Р,и, — Р,) — (Ррзиз — Рвиа — Р,) = О. Такие соотношения на разрыве принято обозначать в виде [Рри — риз — р[2! = О.
Точно таким же образом получаем [(Р— и)р[2!=О, (Р— и)р е+ — ~ — ир~ =О. ! Удобно привести эти соотношения к другой форме (сохранение массы, импульса н энергии соответственно): а) [р(и — Р)[2! = О, б) [р(и — Р)2+ р[2= О, (15) в) р(и — Р) е+-'+ =О. Они носят название соотношений Гюгонио.
Два типа разрывов в газовой динамике. Рассмотрим одно из простейших решений соотношений Гюгонио. Пусть и, = Р. Тогда из (15а) имеем рз(и — Р) = О. Так как рз ~ О, то и = Р. Из (156) следует Рз = р,. Соотношение (15в) автоматически выполняется. На этом разрыве, называемом коитактнььи, имеют место следующие факты: ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОЕОЙ ДИНАМИЕИ 295 контактный разрыв совпадаст с какой-то траекторией, так как его скорость .0 совпадает со скоростью газа и; скорость и и давление р на контактном разрыве не рвутся; плотность на контактном разрыве рвется произвольным образом. Если два сорта газа граничат друг с другом, находятся при одном н том же давлении и движутся с одной и той же скоростью и, никаких событий в среде не происходит. Просто граница раздела движутся с той же скоростью, что и весь газ.
Пусп и, че 0. В этом случае рвутся все функции: из-ь ин р ~ Р„Р2 ~ р,, Такой разрыв называют ударной волной. Итак, мы имеем три примера точных решений уравнений газовой динамики. Константное решение: и(г, х), р(д х), е(1, х) = сонэк Чистый контактный разрыв: (ип рн еп х> и,г, и(г, х), р(с, х), е(Ф, х) = ~ '(из, Рм ез, х < и11 Прн этом Р,(е„р,) = Р (е, рз), так как контактный Разрыв часто разделяет вещества с разными уравнениями состояния.
Чистая ударная волна: (и,, р„е,, х> 0г, и(г, х), р(Р, х), е(1, х) = ~ '(из, рм ез, х <.0п Значения и„р„е, произвольны (разумеется, р, > О, е, > О). Произвольно и значение 0. Значения из, р, ез находятся из трех соотношений Гюгонио. Очевидно, в ударной волне можно поменять местами значения с индексами 1 и 2, условия Гюгонно будут выполнены. Если р, < рз, ударную волну называют волной сжатия, в противоположном случае — волной разрежения. Это относится к волне, идущей вправо (О> О), когда р, есть плотность до прохождения волны.
Волна разрежения в природе не реализуется. Ее существование отрицается на основании как физических, так и чисто математических соображений. Физическая аргументация состоит в том, что, как показывает анализ, при прохождении газа через ударную волну сжатия энтропия скачком растет, а прн прохождении через. ударную волну разрежения — падает. Поэтому физика признает лишь ударные волны сжатия. С математической точки зрения различие в этих формальных решениях уравнений газовой динамики вносится анализом устойчивости. Волна сжатия устойчива относительно малых возмуще- 296 ПРИБЛЮКЕИИЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬИОЙ ФИЗИКИ [ч.
и ний. Волна разрежения неустойчива, она не может долго существовать и быстро «разваливается». Что же произойдет, если мы зададим в начальных данных кусочно-постоянные значения, соответствующие ударной волне разрежения? Оказывается, существует еще одно обобщенное (и уже устойчивое) решение уравнений. Чтобы дать о нем представление, рассмотрим еще более общую ситуацию. Пусть в начальных данных заданы кусочно-постоянные значения и,, р„е при х > 0 и и, р, ез при х < О. Можно ли найти точное решение уравнений газовой динамик в этом простом случае? Оказывается, да. Решение этой задачи (так называемой задачи о распаде произвольного разрыва в начальных данных) было найдено в сороковых годах Н. Е.
Кочиным. Чтобы качественно описать его, нам понадобится еще одно «чистое» решение уравнений газовой динамики. Цеитрированная волна разре:кения. В уравнения газовой динамики входят только производные по Г и х первого порядка. Поэтому они инвариантны относительно преобразования подобия независимых переменных г аг', х= ах'. Точнее, если и, р, е(г, х)— решения уравнений, то и функции и', р', е'(г', х') ш и, р, е(аг', ах') удовлетворяют уравнениям. В самом деле, ди/дх' а ди/дх, ди'/дг'= а ди/дГ', Видно, что функции и', р', е' уравнениям удовлетворяют. Мы рас- сматриваем безграничную задачу Коши с данными (иы ры е,, х»0, (из, рз, ез, Поэтому функции и', р', е'(О, х') имеют точно такие же значения. Таким образом мы имеем бесконечное множество (при любом а» 0) решений одной и той же задачи Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
