Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 55
Текст из файла (страница 55)
а = Ч~ — '(1) д(г). Это уравнение интегрируется в квадратурах: с а(1) = $ Ч' '(т) Я(т) Ыц у(!) = Ф(Г) $ Ч' '(т) А(т) агт. о о Подводя итог, получаем «явное» выражение для решения зада- чи (16): ! «(Г) = х (1 ~2о) 1 х (т Чо) н(т) пт. (18) о Итак, мы рассмотрели проблемы, связанные с вычислением формального ряда Пуассона.
Обсудим содержательный вопрос: что дает ряд Пуассона для описания траектории возмущенной системы? В частности, нельзя ли его использовать для оценки х(0 ч ) на большом интервале времени? 269 ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ 5 191 Оценка ряда Пуассона. Рассмотрим частичные суммы ряда Пуассона, опУскаЯ аРгУмент Р/р: хр(г) = Хр(г) = е(Е), х,(/) = Х,(С) + ВХ,(/), хз(/) = Хр(/) + БХ,(/) + Б Хз(/), Оценим их уклонение от траектории х(/).
Начнем с оценки хр(Г) — х(Т). Теорема 2 . Решения систем уравнений хр=/(х,), хр(0) = др, х=/(х) + БР'(х), х(0) = др, УдовлетвоРЯют неРавенствУ Р(/) кв Цх(Р) — хр(/)Ц «(В/с)ес', где С вЂ” константа Липшнца функции /,  — оценка функции Р: ЦР(х) Ц «В, Будем предполагать, что условие Липшипд и ограниченность Р выполнены «всюду», хотя на самом деле достаточно потребовать этого лишь в некоторой окрестности множества точек х, пробегаемых траекторией х(г). Доказательство.
Вычитая уравнения для х и х, получаем уравнение для их разности: р~ (Х Хр) /(Х) /(Хр) + ЕВ(Х) (Х Хр) [ Р р — 0 Выпишем УРавнение длЯ Рз(/) ш (х — хр, х — хр): 2гг = 2(х — хр, х — хр) «2Цх — хрЦ Цх — хрЦ « «2Р(Ц/(х) — /(хр) Ц + БЦ г(х) Ц) «2Р(СЦ х — хрЦ + БВ). Итак, имеем оценку (дифференциальное неравенство) Р «Сг+ БВ. Отсюда утверждение теоремы получается с помощью леммы, полезной и в других вопросах. Л е м м а 1 (Гронуола). Если гладкая функция Р(/) ж 0 удовлетворяет неравенству Р ж Сг + А (Р(0) = О), то г(Р) «(А/С) ес'.
Доказательство. Введем функцию Я(/) как решение дифференциального уравнения Я = СЯ + А (Я(0) = О). Очевидно, Я(Г) = (А/С)(ес' — 1) «(А/С)ес' Покажем, что Р(Г) «В(Г). Это есть простое следствие (при Р(г) = я(г)) соотношений — [Р(г) — Я(г) [ «О, [Р(0) — Я(0) [ = О. поэтому функция Р(/) не может обогнать в росте А(г).
270 игивлижвииыв мгтоды вычислитвльиой физики ~ч, и Из доказанной теоремы следует, что траектории возмущенной н невозмущеиной систем в-близкн друг к другу. Но крайне неприятный множитель ес' ограничивает действие этого утверждения такими временами, для которых ес'~<1/в. Это соотношение выполняется для любого ~ при достаточно малом в, однако ~ н в в оценку входят «неравноправно» (г линейно, ~ экспоненциально). Поэтому полученная оценка теряет смысл при! = О(!п г). Правда, она получена при очень грубой информации о функции /: используется только условие Липшица или, что более или менее то же самое, ограниченность Ц/„Ц.
В $ 7 мы видели, что привлечение некоторых дополнительных свойств матрицы /„ может существенно улучшить оценки подобного рода (см. ниже утверждение 8). Перейдем к оценке первого приближения по ряду Пуассона, т.е. к оценке Цх, — хЦ. Выпишем уравнение для х,(~): х, = Хв+ вХ, =/(Хв) + в/„(г(Г))Х, + в Р!г(1)1. Поскольку вХ, = х, — хв = х, — г, запишем уравнение в форме х =/(г) + /,(г)(х, — г) + в г'(г).
Уравнение х =/(х) + г Р(х) для х после простых тождественных преобразований примет вид х = /(х) + в Г(х) = /(г + х — г) + в Г(г + х — г) = /(г) + + /'„(г)(х — г) + О(Цх — гЦг) + г Р(г) + г Р,(г)(х — г) + О(вз). Здесь мы использовали уже доказанное (для конечного интервала времени) соотношение Цх — гЦ = О(в).
Итак, мы имеем х, =/(г) +/,(г)(х, — г) + в Е(г), х,(0) = дв, х =/(г) + /,(г)(х — г) + г Р(г) + О(гг). Эти два уравнения отличаются друг от друга наличием члена О(вг) во втором, Применяя те же оценки, что и при доказательстве предыдущей теоремы, получаем аналогичную оценку: Цх (Ф) — х(г)Ц ж ест О(гг). Здесь постоянная Липшица (по переменным типа х, х1) правой части относится к линейной правой части, т.е. по существу совпадает с !(/,(г)(1.
разумеется, мы неявно использовали предположение о гладкости функций большей, чем этого требовала теорема 2. Тем же способом можно доказать теоремы об О(вз)-точности второго приближения х (г) и т.д. Так как мы предполагаем исполь- 27! ОГРРДИЕИИЕ БЫСТРЫХ ЕРАШЕИИЙ $191 зовать несколько членов ряда Пуассона только на интервале времени, равном одному периоду, множитель ес' нас не стеснит, и мы ограничимся этими сравнительно грубыми оценками. Подведем итог. Для приближенного решения возмущенной системы х =/(х) + е Р(х), х(РО) д' может быть построен формальный ряд Пуассона е(Г Ге 9) + е Х1~7 79 9) + е Х2(7 — 79 Ч) + "° частичные суммы которого приближают х(~) (при соответствующих требованиях к гладкости / и Р) с точностью О(е), 0(ез)..., Нас интересует смещение за период Т(Г7). Запишем формальный ряд: х(Т(Г7), д) = з(Т(я), 7) + е Х,(Т(7), о) + ез Х.
(Т(ГР), д) + ... Вводя обозначение Р,(д) = Х,.(Т(д), д), получаем используемую в дальнейшем формулу х(Т(Г7), 9) = р + е Р,(д) + ез Рз(9) + е~ Рз(9) + ... Обрывая ее на каком-то члене, имеем формулу соответствующей точности. «Остаток» ряда Пуассона заменим выражением О(ее), считая, что зта величина равномерно (во всем интересующем нас диапазоне изменения д) оценивается следующим образом: 'еО(е~)е ж С» Б~. Равномерность приведенной оценки является, конечно, следствием равномерности оценок тех или иных производных функций /, Р. Эту сторону проблемы мы не будем оформлять с должной строгостью, но о ней все-таки стоит помнить. Полученные для ряда Пуассона оценки не позволяют применить его для расчета влияния возмущения на больших временах.
Подобные оценки сверху, как неоднократно подчеркивалось, грубы, они получены без использования конкретных свойств /(з). Но, может быть, более аккуратные оценки привели бы к другим выводам, тем более что в рассматриваемой ситуации есть принципиальные доводы в пользу обязательного наличия у /, определенных положительных свойств? Имеется в виду следующее. Предположение о периодичности траекторий невозмущенной системы есть свойство, близкое по существу к нейтральности системы, т.е. к неотрнцательности матицы йе/,(г) =0.5(/, +/;), ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОЛЫ БЫИИГЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ (ч.
и гтг (Из этого в з 7 удалось получить в аналогичном вопросе ослабление влияния экспоненциального множителя в оценке.) Тем не менее ряд Пуассона для расчета на далекие времена не годится. Это следует, в частности, из простых примеров. Так, для системы у = — х + ехэ, х(0) = а, у(0) = О, х= у, ряд Пуассона в первом приближении дает х (!) = а соз ! — — Ба ! яп ! + — Баз соз 3!. 3 з . ! ' 1 в зг Слагаемое (3/8)еиз! з!и ! при ! = О(Б ') есть О(!), что противоре- чит известному интегралу энергии 0.5уг + 0.5хг + 0.25ех4 = сопл! = 0.5аг + 0.25еа4. Содержащие степени ! члены ряда Пауссона типичны. Они сильно снижали ценность этою аппарата в небесной механике, где получили специальное название «секулярные» члены (т.е.
«вековые», влияние которых растет с ростом времени). Борьба с такими членами в конце концов привела к разработке методов осреднения. Теперь мы имеем в своем распоряжении технический аппарат, с помощью которого можно обосновать стробоскопический метод. Обоснование стробоскопнческого метода. Для исследования возмущенного движения рассмотрим моменты !о, !З, !г, ... стробоскопии и положения системы в зти моменты времени !!о~ а! = х(!! чо) '?г= х(!г1 ао) Эти величины связаны соотношениями (ограничимся пока самым грубым приближением) ах+! = 4/„+ Б РЗ(г/„) + О(ег). Вводя уравнение в медленном времени: а(к/!Бт — Р,(0) (к(0) = чо приходим к разностным.соотношениям для Яе = Щ/4«): .ДЕ 4.
! = Д» + е Р! Яь) + О(Б ) (разумеется, при соответствующей гладкости Р,). Итак, для величин а и Ц мы имеем разностиые уравнения, отличающиеся друг от друга только членами О(ег). Из теорем об устойчивости разиостных уравнений (см. в 7) получаем следующие утверждения. ОСРЕЛНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ 5 191 273 Утверждение 3. Пусть ЙдР /дП и С и е С(1. Тогда имеем оценку ٠— ~уе!~ < О(е)ес"'. Эта оценка имеет ценность при к = О(е ').
Утверждение 4. Пустьматрица ке(дР/дЦ) а-аз< О. Тогда ~)Д вЂ” дД ц О(е) при всех Й> О. Иными словами, если траектория Ц(т) уравнения в медленном времени асимптотнчески устойчива, аппарат осреднения работает при всех г > О. Переидем к более точным (по е) вариантам теории. Используем два члена ряда Пуассона. При этом разностные соотношения для де примут форму де» ~ не+ е Р~(~7е) + е Рг(ц) + О(е ). Уравнение в медленном времени следует уточнить таким образом, чтобы аналогичное оютношенне для его решения (а это просто отрезок ряда Тейлора) давало тоже самое разностное соотношение с точностью до О(ез). Естественно взять это уравнение в виде — = Р~(Д) + Е Ю(Д), где ЯЩ) — подлежащая определению поправка.
Разложение Д(йе + е) в ряд Тейлора по е дает ЯЕ,,=0 +Е~ +Р~ +О(Е)= = Д» + Е [Р~(ДЕ) + Е Я(ЦЕ)) + — — Р~(ЦЕ) + О(Е ). Здесь мы использовали соотношения а =Р+" а-=й(Р(а~+ "(а) — ",-ЬР(а>+О() Совпадение разностных уравнений для ге и Яе с точностью до О(ег) будет обеспечено при ®)+г аа Ре(ц) =Рг(а Итак, получено уравнение в медленном времени, имеющее второй порядок точ1еостн: Ж=РЮ)+' ~Рг(0) г зо МФ . Относительно связи не с Це при использовании решения этого уравнения можно высказать утверждения, аналогичные утверждениям 1 274 пгиелижеииые методы вычислительной «изики 1ч. и и 2 с заменой в них О(е) иа О(е~).
Кроме того, справедливо следующее специальное утверждение. Утверждение 5. пусть матрица Ве(дР,/дД) иО. тогда имеет а место оценка ~~д — Я«11 м О(е) есе'. С потеРей одного поРЯдка в е оценка сохраняет смысл для й = 0(е е), т.е. на отрезках физического времени длиной 0(е з). Это утверждение следует из теоремы об устойчивости ревностных схем (см. з 7). Строго говоря, прямое их применение потребовало бы предположения неположительности матрицы Ве — (Р + еЯ), но почти очевидная модификация доказаа аО тельства позволяет формулировать предположение в терминах только Р,(0). ' Аналогичным образом можно строить уравнения в медленном времени и последующих порядков. Они повышают точность аппарата по е, но не снимают ограничений времени, на котором он работает (О(е ') в общем случае).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
