Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 57
Текст из файла (страница 57)
х (' 'о Оо) =Лх(' 'о ~о))+ с Й~Ф 'я Чо) 1) х(1о го Оо) = Оо я ~ 1о '7о. 279 осгехненнв выстгых вгАщвннй 5 191 ной системы вообще не реагирует на такой сдвиг по времени, а сила г к-периоднчна. В результате рекуррентное соотношение можно переписать в виде д„, = се+ е 9'(ге + пТ вЂ” тк, ае) + О(ез). Вводя рассогласование фаз В(д), имеем Че»~ = не + е э»(/е + Ч(че), Че) + О(е ). Теперь осталось учесть еще одну «медленную переменную» — фазу ае„., — — а» + 7)(де), в теРминах котоРой цепочка Разностных УРавнений запишется в форме а«+~ = не + Ч(че) /е+, — — ее + и Т(це), ае», = ае + е ~" (ае ае) + О(еа) Так как мы предполагаем рассогласование 71(9) малым (сравнимым с е или 7/е), то поставленная цель достигнута: в цепочке разностных уравнений все аргументы за один шаг.
изменяются медленно (а на О(е), а на 7)). Можно перейти к уравнениям в медленном времени т: йг пд> Ж' е Случай несоизмеримости периодов. Пусть периоды Т(д) и к «несоизмеримы», т.е. пТ««тк при любых целых числах т н и. Практически нет особой разницы между несоизмеримостью и «резонансом»: пТ ж тк прн очень больших значениях т и и. Разумеется, понятие «большие т и и» должно быть согласовано с величиной е. Но в чисюй теории все обьекты фиксируются, а величина е считается настолько малой, насколько этого требует доказательство оценки. В этом смысле„конечно, термин «несоизмеримость» нужно понимать буквально, как он трактуется в теории чисел. Для задачи о возмущении Т-периодического решения малой кпериодической силой из (19) имеем следующее «разностное» соотношение с шагом Ь (малым для медленного времени, но большим с точки зрения «физического» времени): а(е+ Ь) = а+ ~ е '(9, т'/е) Г(е(д, т'/е), т/е) йе'+ О(еэ).
(2З) Напомним, что здесь 9= д(т) (эта величина остается постоянной при интегрировании). !ч. и пгявляжявные методы вычислятвльноя онзяки Нас будет интересовать оценка интеграла, который можно записать и в терминах физического времени г = тй: 1+Фб е ~ з 1(э, Т) 'Р[з(гТ, г'), г'[ 1й'. (24) Обратим внимание на то, по в подынтегральную функцию г' входит тремя разными способами. Первые два вхождения г' связаны с решением невозмущенной системы, по этим г' подынтегральная функция Т-периодична, Третье вхождение 2' связано с зависимостью г" от 2, по этому аргументу подынтегральная функция л-периодична.
Подынтетральную функцию можно записать в виде функции Еа, р), игнорируя аргумент д, который при интегрировании остается постоянным. Итак, речь идет о приближенном вычислении интеграла от двояко-периодической функции (3 на линии а = р г' е [г', г + Ьй).
Интервал интегрирования большой в том смысле, что на нем укладывается большое число периодов (как и, так и Т, которые мы считаем величинами одного порядка). На рис. 28а изображена плоскость (а, р), разделенная на прямоугольники Т Х к, и линия интегрирования. В силу свойств Д(а, р) можно ограничится только одним прямоугольником, отождествив точки его противоположных сторон. Такой прямоугольник называют тором. Изображая линию интегрирования на торе, при ее выходе на границу прямоугольника скачком следует перейти на противоположную сторону. р Образ линии на торе образует Зв так называемую обмотку тора. Если периоды соизмеримы, то через зя время лТ=лбп линия на торе замкнется.
Если периоды несоиз- К з б 4113 Т 2Т а а 2Т ЗТ 47 Г б Рис 2З мернмы, линия равномерно заполняет тор. При достаточной длине линии (т.е. если е достаточно малая величина) среднее значение Д вдоль линии почти совпадает со средним значением по тору: 1+Фб б г а 1 Ц(г', г') Иг т ~ 1 Ц(а, р) да1ср (25) с о о (в пределе при е 0 эти величины совпадают). 2з! ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ 9 !9! Интеграл в правой части (25) вычислить легче, чем интеграл на линии.
Поясним это. Пусть Я(а, р) — простая функция, для наглядности обращающаяся в нуль на границах прямоугольника. Функция на линии Ц(!', Р) показана на рнс. 28б. Это сложная функция: вычисление интеграла по линии с помощью какой-либо квадратурной формулы требует большого числа узлов (порядка О(е ')). Обозначим среднее значение Я(а, р) по тору Р(д). (Напомним, что Д зависит от д). Тогда уравнение в медленном времени принимает вид ддРБ(т = Р(д). В случае резонанса среднее значение Д вдоль линии а = аз + 0 р = ! превращается в среднее по периоду тТ = ля, но зависит еще н от начальной фазы а . В случае несоизмеримых периодов эта линия «равномерно» (при достаточно большом й!'Б) покрывает тор независимо от того, в какой точке (а, рВ) она начинается.
Замечание. Смысл соотношения (25) можно пояснить так. Построим около линии а= р параллелограмм малой ширины И. Подберем Л таким образом, чтобы площадь параллелограмма равнялась пТ, т.е. Ь(Ь/е) = яТ. Интеграл по этой узкой «ленте» при очень малой ширине Л = еяТ/!з почти совпадает с интегралом по линии, умноженным на Ь.
При «обмотке» «лента» заполнит ячейку яТ (площади перекрытий и пустот стремятся к нулю при е-»0). Отсюда и следует (25). Ряд Пуассона в специальном случае. При построении метода осреднения для многочастотных задач мы заинтересованы в использовании ряда Пуассона на возможно большем интервале времени. Это требует улучшения стандартных оценок за счет привлечения дополнительных предположений о функции у. Рассмотрим одно из таких уточнений, в котором используется предположение А = 0.5(У,(е) + Т';(е)) ж О. В известном смысле можно говорить о том, что траектории невозмущенной системы «нейтральны», или «не неустойчивы», н что матрица у, не имеет собственных чисел в правой части плоскости комплексного переменного, но может иметь их на мнимой оси. Оценим расхождение траекторий возмущенной и невозмущенной систем за время ! = О(е ').
Утверждение 7. В рассматриваемом случае для траекторий систем х = Т(х) + е Р(х), е = У(е), х(0) = г(0) = д,, справедлива оценка Цх(!) — Б(!) !! П О(е!). Доказательство. Имеем уравнение — (х — з) = У(х) — У(е) + е Р(х), (х — е) ~, В = О. И гзг ививлижвнныв методы вычислительной «изики 1Ч, И Введя гг(~) вв (х — г, х — г), вычислим и оценим производную: 2гг = 2(х — г, х — г) = 2(/(х) — /(г), х — г) + 2 а(Р(х), х — г). В Ц 7 в аналогичном случае (прн А и 0) было показано, что (/(х) — /(г), х — г) 4 О. Предположим, что ЦР(х) Ц и В при всех х. Оценивая обычным образом (Р(х), х — г) < Вг, получаем г ~ «В, откуда и следует утверждение.
Теперь перейдем к оценке первого приближении по ряду Пуассона х,(Ф) = г(Ф) + а Х,(Ф). 11ля х, имеем уравнение х, =/(г) +/,(г)(х~ — г) + а Р(г), х,(0) = рв. Преобразуем уравнение для х так, как это делалось раньше, но с более подробным представлением членов О(аг): х = /(х) + а Р(х) = /(г + (х — г)) + а Р(г + (х — г)) = = /(г) + /,(г) (х, — г) + О (Ц/„Ц Цх — гЦ') + + а Р(г) + а 0(ЦР,Ц Цх — гЦ). Таким образом, уравнение для разности имеет вцд — (х, — х) =/,(г)(х, — г) + О(Ц/„„Ц Цх — гЦг) + а 0(ЦР,Ц Цх — гЦ). используя А и 0 и оценку Цх(а) — г(1) Ц и Ваг, получаем Цх (г) — х(1)Ц и агат 0(Ц/„Ц) + аггг О(ЦР Ц).
(2б) Из оценки (26) непосредственно вытекают два следующих утверждения. Утверждение 8. На временах г = 0(1/ага) первое приближение по ряду Пуассона сохраняет точность 0(ч а). Это утверждение следует из оценки первого члена правой части (2б). 'Отметим любопытное обстоятельство. При а = 0(1/а) оценка погрешности первого приближения 0(1/а) хуже оценки «нулевого» приближения 0(1).
Это — действие пресловутых «секулярных» гленов: уточняя решение при малых О они ухудшают его при больших. Утверждение 9. Пусть невозмущенная система линейна, т.е. /„„= О. Тогда первое приближение имеет погрешность 0(а) на временах ~ ~ О(1/~Ге) и погрешность О(~Ге) на временах О(1/ Зм) Это утверхщенне следует из оценки величины аг Р. Оно представляет интерес, например, для задачи, в которой невозмущенная система распадается на несколько гармонических осцилляторов (задача об эволюции слабо связагшых осцилляторов).
звз одномзгныь ггАвнзння гАзовой днньмнкн а зо1 5 20. Одномерные уравнения газовой динамики и их численное интегрирование Уравнения газовой динамики сами по себе представляют большой интерес, так как ими описывается очень важные явления. Вместе с уравнениями теплопроводности, распространения электромагнитных волн н т.п. эти уравнения входят в описания большого числа сложных явлений, интересующих современную физику.
Развитие вычислительной физики в значительной мере определялось задачами газовой динамики, Необходимость их эффективного решения стимулировала разработку многих новых вычислительных конструкций, которые затем успешно использовались н в других областях. Поэтому спецналксту в современной вычислительной математике нужно знать основные математические факты газовой динамики, чтобы понимать возникающие вычислительные трудности и способы их преодоления. Ниже мы опишем необходимый минимум знаний в этой области. Мы начнем с одномерной газовой динамики.
Уже этот простой случай содержит характерные трудности, связанные с необходимостью расчета разрывных решений — ударных волн, контактных разрывов. Для расчета одномерных течений газа были разработаны эффективные методы, специальные приемы, которые в дальнейшем обобщались на случай более сложных (двумерных и в настоящее время даже трехмерных) течений газа. Перейдем к формулировке задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
