Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Надежно выделить на этом фоне влияние малого возмущения не так-то просто. Нужно учитывать и то, что з расчетных формулах численного интегрирования типа х„,„= х„+ т Дх„) + зт Г(х„) (б) при достаточно малом й величина зтР может выйти за пределы точности машинного представления х. В таком расчете возмущение просто игнорируется. Не следует забывать и «экономическую» сторону: при интегрировании шаг т должен быть таким, чтобы погрешность аппроксимации была существенно меньше возмущения «г". Пусть, для опреде- в<н<нн<нанон<н лн<о<лм манн нн«ланой лнтнкн 1ч.
и 264 ленности, это достигается прн т ш 1т0 тТ (Т вЂ” период невозмущенной системы), Если а очень мало и время 0(1/е) содержит, допустим, 104 периодов (а это не такой уж нереалънмй случай), прямое интегрирование может оказаться на пределе возможностей ЭВМ. .'„Отробоскопический метод. Качественные соображения, Приступим к' предварительному качественному анализу движения возмущенной системы, который приведет нас к разработке аппарата асимптотического интегрирования на большом внтервале времени. Существуют разные подходы к построению такого аппарата.
Мы предпочтем так называемый стробоскопический метод нз-за его простоты и наглядности. Рассмотрим траектории а(ут <у„) и «(<, чн) систем (1) и (3), стартующие из одной и той же точки д . Через время Т(д ) траектория а(у, чо) возвратится в ту же самую точку <у, траектория х(у, да) попадает в точку д„лежащую в О(а)-окрестности д, Однако нам нужно более точное соотношение: дт ш «(у (до) Чо) Чо+ а Р(до) + 0(е ).
(7) В дальнейшем мы докажем его и опишем методы вычисления функции Р(ч). Пока же примем зто соотношение и достаточно естественное предположение о гладкости функции Р(<у). Обоснование (7) будет резулътатом не очень сложной теории малых возмущений на конечном интервале времени, равном только одному периоду Т(до). Применим тот же аппарат,'рассматривая траектории, стартующие в момент вРемени Ут = т(ч„) из точки д, (котоРав известна с точно-' стью до О(аз)). ТРаектоРив а(т — У„дт) чеРез вРемв Т(У,) веРнетсв в точку д„а траектория х(т — т„дт), являющаяся продолжением траексоРии х(0 до), попадает в точкУ да= — х(Т( Ут), дт) = х(тт, до), где 1з = Т(чв) + т(д, ), и для нее имеем чт = <у, + а Р(дт) + 0(а~).
Продолжая далее, получаем последовательность моментов времени уа и положений возмущенной траектории д ш х(та, дн), связанных соотношениями д, = <уз+ а Р(до) + 0(е ), тт = то+ Т(до)< д =дт+ аР(у,) + 0(е ), т = тт+Т(у,), (8) Ча+т — — Ча+ а Р(де) + 0(е ), та+т — — уа+Т(Че). 6 цй ос»зли«низ зыстгых вг»щения 1) «01 Наличие «лишнего» слагаемого О(»з) не принципиально. Точнее, если известно решение (9), введем на оси т сетку с шагом» н обозначим Д» = Д(т»), т» = йе. Тогда величины Д будут удовлетворять разностным уравнениям а„, = а» +» Ра,) + О(» ) (10) — тем же самым, что и уравнения (8) для д» (конечно, О(е») у ник разные, но это не существенно). Таким образом, кривую д(т) можно приближенно вычислить, интегрируя уравнение (9), именуемое уравненым в мед««ином времени.
Однако нужно еще установить связь между «медленным временем» т и физическим временем 1. Она следует из соотношений т»,,=т +», 1„,=1 +т(ч»), й 0,1,2,..., которые можно рассматривать как приближенное интегрирование дифференциального уравнения й= -, 'та(т)), (!1) т.е.
грубо говоря, время т меняется в » ' раз медленнее времени 1. Изменению медленного времени т на «шаг» » соответствует изменение физического времени на Т(9) = О(1). Следовательно, если будет установлена близость величин Д» и д» для й м з ', то тем самым, зная (Кт), мы получим информацию о траектории х(1, дв) Рисунок 27 дает качественную иллюстрацию этой конструкции. Попробуем соединить точки се, ц„..., 9», ... некоторой плавной линней д(т), где т — пока просто параметр. Она «устроена» гораздо проще тРаектоРии х(1, йо) — ик можно сРавнить с прямой н спиралью соответственно.
х( Итак, следя не за всеми положению»и точки х(1, цо), а «высвечивав» ее только в 3 специальные дискретные моменты времени т (это и есть стробоскопия), мы получаем существенно более простую кривую д(т), которая несет достаточную информацию о траектории х(1, до). Вопрос в том: как найти кривую д(т)? Внимательного взгляда на разностные соотношения (8) достаточно, чтобы возникла следующая догадка. Точки д» можно получить в процессе численного интегрирования (методом Эйлера с шагом») дифференциального уравнения Я=Р(Ц), 0(0) =9« (9) 266 нгиалиженные метОды Вычислительной Фнгики 1ч.
и за а ' периодов, т.е. за физическое время О(а '). По существу выше были изложены все основные идеи метода осреднеиия. Перендем к их оформлению с технической стороны. Элементарная теория малых возмущений. Начнем с теории, позволяющей рассчитывать движение возмущенной системы на ограниченном интервале времени. В этой теории используется малость возмущения и известное решение невозмущенной системы. Речь идет о стандартной в таких вопросах технике. Решение ищется в виде ряда Пуассона по степеням е: «(Г~ йо) Хо(Г> Чо) + а Х~(Г чо) + ег Хг(Г До) + "' (12) где коэффициенты Х, Х„Х, ... подлежат определению.
Подставляя конструкцию (12) в уравнение х =/+ ЕР, имеем Хо+ЕХ,+аХг+...= =/(Хо+ аХ, +егХг+ ".) + БР(Хо+ БХР+ егХг+ "). (!3) Разлагая правую часть (13) в ряд Тейлора, получаем хг Хо + аХ, + а Хг+ ... хх /(Хо) + /х(Хо) Х2 + /хх(хо)Х~Х~ + + а /х(ХВ)Хг+ ... + а Р(ХЕ) + е Р„(Х )Х, + .. Обычная техника приравннвания членов при одинаковых степенях а дает последовательные уравнения (для ео, е', ег соответственно) Х, = /(Х,), Х,(а) = йш Х, =/.(Х,)Х, + Р(Х,), Х,(0) = О, (14) Хг =/х(ХВ)Х2+ г/' (Хо)ХХ, + Р (Хо)Х„ХБ(0) — 0 Начальные данные Коши к уравнениям (14) получены точно таким же образом из начальных данных х(О) = Хо(0) + а Х,(0) + аг Хг(0) + ...
= Оо. Мы не будем здесь расшифровывать формального выражения /„ЕХ,Х, (/„„— вектор, днфференцируемый дважды по вектору х). Не будем выписывать и членов более высокого по е порядка. Это достаточно сложные выражения, в которых появляются /„х и т.п. Обратим внимание на специфику уравнений и опишем процедуру их решения.
Уравнение дле функции Хо — это просто уравнение (1), Оно нелинейно, но мы предполагаем; что его решение нам известно. ОЕРеднение ВыстРых ВРАЩЕний $ г91 267 Итак, ХВ(г, 49) = Е(г, дь). Следующее уравнение — это уравнение для определения Х,. Оно является линейным неоднородным уравнением с переменными коэффициентами. Матрица /„(Х ) может рассматриваться как известная функция от к Ее точное значение есть А(Г) = /,1е(1, дь)).
Правая часть этого уравнения — тоже известная функция времени Р1е(г, дз)). таким образом, задача коши однозначно определяет функцию Х,(~, оь). Уравнение для Хз(», аз) имеет ту же структуру, что и уравнение для Х„отличаясь лишь правой частью. Но после определения ХВ, Х,(Г) правая часть этого уравнения вычисляется и может считаться известной. Все последующие уравнения для коэффициентов формального ряда имеют одну н ту же структуру: Хе =А(Г)ХВ+ Аь(~), ХА(0) =О, (15) где Я» — сложное выражение из производных /, Р' по х и функций х,(~), х,(е), ..., Х„,(г).
Таким образом, функции Х, Х„Х, ... могут быть вычислены последовательно. Конечно, фактическое вычисление этих функций является сложным делом. Прежде всего мы сталкиваемся с резким возрастанием сложности аналитических выражений ири последовательных дифференцированиях по х, причем сложность зависит от выбора переменных.
Удачный их выбор может существенно упростить процедуру, и этому уделяли большое внимание классики небесной механики. В настоящее время проведение таких громоздких, но алгоритмическн четко определенных выкладок все чаще поручается ЭВМ. Что касается решения уравнения (15), то эта проблема имеет достаточно эффективное решение. Решение уравнения в вариациях. Теорема Пуанкаре. Последовательное решение цепочки уравнений (14), определяющей коэффициенты ряда Пуассона, в принципе является чисто технической задачей. Это следует из теоремы Пуанкаре. Теорема 1. Пусть известно полное решение е(~, ЕВ) невозмущенною уравнения (1). Тогда решение уравнения в вариациях /,!.(бе,)) у+я(1), «(0) — 0, (16) сводится к дифференцированию и взятию квадратур.
Доказательство. То, что е(Г, ОВ) является полным решением задачи (1), означает выполнение тождеств (2а) и (2б). Что касается решения линейной системы (16), то, как известно, нужно прежде всего иметь фундаментальную систему решений однородного уравнения — матрицу Ч'(г), каждый столбец которой удовлетворя- пгивлижвнныв матовы вычислитвльной оизикн 1ч. и 288 породному уравнению в вариациях, т.е. Ч' должна быть решением уравнения — = /,[х(С, до) [ Ф, Ф(0) = Е.
(17) Утверждение 1. Ф(1) = з (С, до). В самом деле, дифференцируя по до тождество (2а), получаем (меняем порядки дифференцирования по Г и д ) — з (1, По) = /,[г(Г По)[ г (Г ао). Дифференцируя по д тождество (2б), имеем ,(О, а) = †," = Е. Утверждение доказано: х (г, до) удовлетворяет уравнениям (17). Используя обозначение А(Г) = /,[х(0 до)[, сформулируем следующее. утверждение. Утверждение 2, Вектор-функция Ф(г) =Ч'(г)а (где а— произвольный вектор) является решением задачи Коши ~р = А(г) ~р, 1р(0) = а. В самом деле, 1р= Фа. Но Ф= АЧ', следовательно, мы имеем ~~ = АЧ'а = АФ.
Кроме того, Ф(0) = Ч'(0)а = а. Утверждение доказано. Решение неоднородного уравнения (16) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Ищем решение в виде у(1) = ч~(г) а(г), где а(г) — подлежащая определению вектор-Функция. Подставим зту конструкцию в (16): Фа + Ч~а = А%а+ 22. В силу Ф = АФ имеем Ч'а = Я, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
