Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Возможность распространения оценок на большие времена существенно связана с характером получившегося уравнения в медленном времени. Играет роль и его конкретная траектория, В общем случае зто уравнение нелинейно и свойства матрицы дР,(дО могут быть разными в окрестности разных траекторий. Что дает решение уравнения в медленном времени? Предположим, что уравнения (9) и (11) проинтегрированы и известны функции Д(т), е(т), т(е). Пусть задав момент физического времеви д Что можно сказать о точке х(г, до)? Не претендуя на строгость, можно сформулировать такой ответ.
Вычислим е(г) и период т тЯ(т(г))1. тогда в момент физического времени г', лежащий где-то на интеРвале 1г — г(е)1 сто, точка х(г', де) попадает в 0(е)-окрестиость точки Д(т(г)). Этой информации часто бывает достаточно для физических приложений. Иначе можно сказать и так.
Если не обращать внимания на величины О(е), то точка Ц(т(г)) определяет положение х(г, до) «с точностью до положения на орбите;невозЫущенного движения, проходящей через точку Ц(т(г))». С вычислительной точки зрения основное преимущество перехода от описания траектории исходным уравнением х = У+ еР к описанию уравнением в медленном времени Д, = Р,(г2) состоит в том, что траектория Д(т) является гладкой относительно интервалов физического времени тем больших периода невозмущенного движения, чем меньше е. Численное интегрирование уравнения для Д может осуществляться шагом, не зависящим от е и включаиипим в себя сразу много периодов физического времени.
осгеднгнне еыстгых вг»щения 5!91 275 Что касается термина «осреднение быстрых вращений», то он связан с характером вычисления функции Р,(Д) по формуле Пуанкаре: г1«> Р~(Ч) = ) е (У(~у), ~7) е (1, 47) Е(2(1, й)) И1, о т.е. Р, получается специфическим осреднением возмущения Р вдоль траектории невозмущенного движения за его период. В сложных задачах Р,(д) может определяться приближенным интегрированием на интервале времени т(г1). Выбор медленных переменных. Роль периодичности невозмущенного движения. Изложенная выше теория, приводящая к уравнениям в медленном времени, основана на следующих важных свойствах рассматриваемой задачи. !.
Рассматривается влияние малых возмущений на систему, не- возмущенное движение которой считается известным. 2. В случае, когда е(1 — 1, д) — периодическое при всех д движение, удается найти «медленные» переменные, т.е. величины, которые на траектории х(1) за период т(11) изменяются на величины О(е).
Однако роль периодичности невозмущенного движения этим не исчерпывается. Покажем, что медленные переменные всегда есть и их выбор более или менее очевиден (для этого периодичность е не нужна). Существенно то, что периодичность е позволяет построить уравнения для медленных переменных, сформулированные в терминах тех же самых медленных переменных, т.е. уравнения в медленном времени оказываются «замкнутыми». Посмотрим, как далеко можно продвинуться по этому пути„не используя периодичности. Ради простоты мы фиксируем 1 = О. Общее решение системы (2) будем писать е виде з(1, д).
итак, первый вопрос: существуют ли медленные переменные в системе (3) и каковы они? Точный смысл этого вопроса: можно ли найти замену переменных у ° У(х), в результате которой систему (! ) удастся записать е виде у = е Я(у)? Ответ почти очевиден. В качестве «медленных переменных» нужно взять величины, которые на траектории невозмущенной системы остаются постоянными, т.е. любую полную систему первых интегралов системы (!), Таковыми, в частности, являются величины ло. Итак, нужно перейти ог переменных (1, х) к переменным (1, д).
Что это значит? Очевидно, осью 1 в новой системе координат (т.е. линий д = сопя!) будет траектория г(1, д). Для того чтобы точке (1, х) сопоставить точку (1, д), нужно проинтегрировать систему й = / с начальными данными е(1) = х в обратном направлении (от ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. 11 Е до нуля), тогда требующееся значение д = е(0). Этим алгоритмом и определяется отображение (Е, х) — (Е, д). В исходной системе координат траектория х(е) возмущенной системы меняется сильно (так же как и е(Е)), а в системе координат (Е, д) — медленно, Хотя такая замена переменных кажется не очень эффективной, на самом деле все не так уж сложно, если (это очень существенно!) нам известно общее решение е(Е, д).
Нетрудно понять, что если мы станем искать решение возмущенной системы в виде х(Е) = е(Е, н(Е)), то д(Е) будут меняться медленно. Получим уравнение для эволюции д(Е). Подставляя х в уравнение (3), имеем е (Е, д(Е)) + е (Е, д(Е)) и =,/(г(Е, д(Е))] + е Р[е(Е, д(Е))). Но е, = /; следовательно, д= е е '(Е, ЕЕ(Е)) Р(г(Е, е[(Е)). (19) Итак, мы получили (не используя предположения о периодичности е) уравнение для медленно меняющихся переменных. Эта процедура носит название «метод вариации произвольных постоянных». Осталось ввести медленное время е = БЕ и записать систему (19) в виде д, =.ЙВ(д, т/е). наличие в ЙВ зависимости от «быстрого» переменного т/е существенно осложняет дело. Рассмотрим процедуру численного интегрирования уравнения (19) с малым шагом ЕЕ (при этом е[Е = о/Б может быть очень большим! ): З(т + е!е) = н(т) + ~ Я(д(т'), т'/е[ Лет'. Упростим эту формулу, заменив ее приближенной.
Воспользуемся тем, что на интервале (т, е + А[ величина д изменяется на О(ЕБ); поэтому В»а 9(т + Ь) = д( е) + ~ Й»(д(т), т'/е] е[т'+ О(еье), Е[( + Е1) = Е[( ) + ЕДРИ( )) + О(Е1'), где Б+Ь Р(е/) = — ~,У(д, т'/е) е[т', т.е. функция Р(З) получена операцией усреднения по явно входя- щему времени функции Я(~у, Е)... осгеднеиве Быстгых ВРАшений й 191 277 Вышеприведенные выкладки приводят к уравнению в медленном времени в том случае, если существует не зависящий от т и Ь предел (20) В этом случае мы получаем уравнение в медленном времени, содержащее только медленно меняющиеся переменные: д, = Р(д). Существование предела (20) типично при периодической или почти периодической зависимости Я(д, г) от к Но согласно (19) функция У'(д, е) = е '(г, д) Г(е(1, 9)).
Отсюда ясно, какую роль играет периодичность невозмущенного движения в получении замкнутых уравнений в медленном времени. Простейшая двухчастотная задача. До снх пор мы изучали наиболее простой случай, когда в невозмущенной системе был только один, общий для всех компонент, период Т(ц). Как отмечалось, наличие в задаче разных периодов (хотя бы двух) сильно осложняет ситуацию. Некоторое представление об этом даст следующий анализ. Рассмотрим задачу о малом возмущении периодического движения периодической силой.
Имеется невозмущенная система (1) и ее общее рещение е(е — ~», д«), периодическое с периодом Т(д„). Предположим, что возмущенная система описывается уравнением х = У(х) + е Р(х, г). Возмущающую силу Р будем считать и- периодической по Г (период силы постоянен). Окрестность точки резонанса. Пусть в некоторой окрестности точки д имеет место «почти резонанс». Существуют некоторые, не очень болыпие целые числа»л и л, такие, что л Т(ц) — тл = 71(9).
При этом «рассогласование» 7)(д) мало в окрестности д, т.е. ~ 71(д) ( ~ п. Это может быть величина, сравнимая с е или ч'е, — в зависимости от этого теория движения «в медленном времени» будет иметь ту или иную точность. Можно построить ряд Пуассона, позволяющий рассчитывать возмущенное движение на конечном отрезке времени (период или несколько периодов). Если мы непосредственно используем стробоскопический метод (первого порядка точности, для простоты), то ничего хорошего не получится, Прежде всего заметим, что члены ряда Пуассона теперь надо обозначить Х,(г, ещ д„), так как в возмущенную систему явно входит время. Рассмотрим последовательность моментов г стробоскопии и положений х(е) в эти моменты: д»+, = д» + е Х~(Ф»+ Т», 1», д») + О(е~), е»»ц = г» + Т», 27З пгизлнжзнныв методы вычислитвльноя»изикв ~Ч.
П где Т„= Т(ц„), дя =х(1«). Эти разностные соотношения, однако, нельзя рассматривать как процедуру приближенного интегрирования некоторой системы дифференциальных уравнений «в медленном времени» (считая з шагом интегрирования). Дело в том, что аргументы гь+ Ты 1« за один шаг меняются на О(1); такого же порядка, следовательно, и изменение Х, за один шаг. Если бы система была точно резонансной (я) шО), то мы имели бы одночасготный случай: нужно только рассматривать «большой» период пТ = тп.
Это замечание подсказывает и путь анализа «почти резонансной» ситуации: надо использовать стробоскопический метод с таким большим периодом. Итак, рассмотрим последовательность моментов г и положений системы о„ш х(ям гр, я,>): ох+~ = дь+ з Х~(1« + пты гы дя) + 0(зз), я«+~ = гя+ птя. (21) (22) Введем функцию у(й, Ю„Чя) — х(8+ и, 1я+ и, д ). Тогда у(г, г„д ) = ш х(г, 8в, дв). Доказательство состоит в том, что для функции у проверяются условия (21), (22), определяющие функцию х однозначно. Опустим зти простые выкладки, в которых используется и-периодичность Р по и Так как мы используем ряды Пуассона в моменты = ~„+ п Т(д„), то.в рекуррентном соотношении остаются только два существенных аргумента: ~ и д . В этом случае рекуррентное соотношение можно записать в виде Чя .1 ЧФ + з У(1« + птя Чя) + 0(зз) положив л»(1, д) = Х,(г, 1 — п Т(е), д).
В силу доказанной выше инвариантности возмущенной системы относительно сдвига времени на и, У' является и-периодической по 1 функцией. Это, впрочем, почти очевидно н без доказательства. Строя ряды Пуассона в точках (г, дя) и (г + и, д ), мы будем иметь дело с одними и теми же объектами: траектория невозмущен- В дальнейшем нам будет полезно следующее почти очевидное утверждение. Утверждение б. Система х=у(х) + з г"(х, 1) инвариантна относительно сдвига времени на л. Уточним аналитический смысл этого утверждения. Пусть х(ц гв, чя) — общее решение системы, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
