Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Характеристики. Следующая форма уравнений также оказывается очень полезной как при аналитических исследованиях, так и при конструировании приближенных методов. Сложим уравнение (1а) с умноженным на 1/(рс) уравнением (7). После очевидной группировки членов имеем [и, + (и + с) и„] + — [р, + (и + с) р„[ = О. (9) ИРНБлижвнныв мвтоды Вычислнтзльной Физики (ч. и траекториях уравнений Х- = иж с в том же смысле, в каком энтропия сохраняется на «траекторин частицы». Нетрудно видеть, что через значения новых переменных о, Я , Я+ можно вычислить все остальные величины (и, р, е, ...), описываюшие течение газа. Теперь уравнения «интегрируются» почти очевидным образом (5(0 х), Я (ц х), Я+(ц х) постоянны вдоль траекторий систем): Х =и — с, Х»=и+с.
(13) К сожалению, и и с сами суть функции 3, Я,.Я+, поэтому «явного» решения мы здесь не получили. Однако интересен частный случай — газ с показателем аднабаты у = 3. В этом случае уравнения интегрируются «до конца» (так как Я- = и» с) и семейства траекторий х (1, хз), х»(г, х») суть просто семейства прямых (вдоль линий этих семейств сохраняются значения их наклонов'.), Случай у = 3, как ни странно, реализуется физически. Ему соответствует газ, известный под названием «продукты взрыва». Но нам интереснее другое: этот случай позволяет пояснить механизм образования разрывных решений из гладких начальных данных.
Здесь он особенно прозрачен. В самом деле, проинтегрируем уравнения газовой динамики. Имея начальные данные б(0, х) = 5 = сопз1, Я (О, х) = Я,, (х), Я+(О, х) = Я+ (х), находим траектории Х, Х+. Дополняя уравнения (! 3) начальными данными Коши Х-(О) = ХВ, получаем Хя(г, Х;-) = Х;; + Я,*,(Х;-) и Для того чтобы иметь «явное» решение уравнений газовой динамики, нужно уметь вычислять в каждой данной точке (~, х) значения Я (г, х), Я+(й х). Решим (относительно Х,, Х») систему нелинейных уравнений: х=Х +Я (х )0 х=Х +Я+(х+)к Тогда Я-(0 х) = ЯВ(ХВ), Я»(1, х) =Я+(Х,') (3(Г, х) = ББ, так как течение изоэнтропическое).
Все было бы хорошо, если бы отображение (К х)=ХВ,Х» было взаимно однозначным, т.е. через каждую точку (К х) проходило бы только по одной прямой из семейств линий Х,*, + Я,*,(ХБ )П К сожалению, этого нельзя гарантировать никакой гладкостью начальных данных. Если, например, ЯБ+(х') > Я,+,(х") при х' < х", линия одномзгиыз гглвнзння глэозой диплмнкн х'+ Я+(х')1 догоняег линию х" + Яо(х")1, н в момент времени 1=(х' — х)I(Я<+,(х) — Я,,(х )) они пересекутся.
В этом случае описанный выше аппарат интегрирования уравнений газовой динамики отказывает. А что можно сказать о решении уравнений газовой динамики, о течении газа, которое этн уравнении описывают? Что случается с течением в этот момент? Ответ прост: в течении образуется разрыв — так называемая ударная волна. Мы еще вернемся к этому в дальнейшем. Семейства линий ХО(1, ХЯ), Х (1, ХО ), Х+(1, ХО ) играют большую роль в газовой динамике, хотя в общем случае они не определяются явно начальными данными (как в случае продуктов взрыва), а могут быть найдены либо после того„как проннтегрированы уравнения газовой динамики, либо процессом совместного интегрирования уравнений газовой динамики и уравнений этих линий.
Они называются характеристиками: Хо — это энтропийная характеристика, Х вЂ” левая звуковая характеристика, Х» — правая звуковая характеристика. Эти термины связаны с тем, что по этим характеристикам распространяется «звуковой» сигнал: ~ с — скорость звука относительно газа, и ь с — скорость звука относительно геометрического пространства, в котором газ движется со скоростью и. Краевые задачи для уравнений газовой динамики. Характеристики позволяют разобраться в правильной постановке краевых условий в конкретных задачах. Для того чтобы решение было полностью определено, уравнения следует дополнить заданием начальных данных и краевых условий. И дополнить так, чтобы не возникло противоречие (т.е. чтобы решение существовало) н чтобы постановка задачи была полной (т.е. решение должно быть единственным).
Несколько слов о физическом смысле характеристик. Пусть имеется некоторое решение и(1, х), р(1, х), е(1, х) уравнений (1). Рассмотрим решение, которое прн 1 = 0 отличается от невозмущенного малым искажением функций и(0, х), р(0, х), е(0, х) на очень малом локальном участке. Тогда и в последующие моменты времени возмущенное течение будет мало отличаться от невозмущенного, но начальное финитное возмущение распадется на три финитных возмущения римановых инварнантов, распространяющиеся со скоростями и — с, и, и + с соответственно.
Теперь можно описать постановки тех краевых задач, для которых, как все убеждены (но это не доказано!), справедливы теоремы существования и единственности решений. Мы ограничимся рассмотрением простой области: 0 ~ 1 ц Т, 0 ц х н 1,. При 1 = 0 следует задать начальные данные, т.е. значения всех функций и(0, х), р(0, х), е(0, х). 1Π— 1833 игивлижзииыв методы вычислитвльиой»изики !ч. и Рассмотрим границу области (для определенности, левую). Из каждой ее точки (г,0) исходят три характеристики с наклонами Х, равными и — с, и, и+ с соответственно.
Те из них, наклоны которых положительны, назовем входящими в область. На левой границе (х =О) следует задать столько краевых условий (например, независимых соотношений между и, р, е), сколько характеристик входит в область. На правой границе (х = Ь) следует задать столько краевых условий, сколько характеристик входит в область, Вышеизложенное поясняет рис. 29, на котором схематически показаны характеристики и обозначено число краевых условий в каждой нз возможных ситуаций, причем каждая ситуация на левой границе может (в данный момент времени !) сочетаться с 3 условия любой ситуацией на правой границе.
С те- 2 условия чением времени ситуации могут меняться. Наклоны характеристик зависят от искомо!условие ! го решения и не всегда могут быть опреде- О условий 2 лены заранее (даже качественно: сколько 3 характеристик идут вправо, сколько х влево). Таким образом, постановки краевмх условий в газовой динамике — дело довольно тонкое. Обоснованием приведенного выше рецепта по постановке краевых условий является анализ уравнений в характеристичеасой форме. Из нее следует, что каждое из трех уравнений является, так сказать, обыкновенным дифференциальным уравнением вдоль соответствующей характеристики, и все дело только в том, что каждое такое уравнение должно быть замкнуто соответствующими данными Коши. Неявно здесь используется принцип причинности: состояние в момент !' определяет состояние при ! > !'.
Каждая характеристика начинается либо при ! = О, либо на одной из боковых границ и должна быть «замкнута» соответствующими данными Коши. При ! = 0 из каждой точки в область входят три характеристики, заданы три величины, все три характеристики имеют свои, данные Коши. Если характеристика «рождается» на боковой границе, то приведенный выше рецепт также приводит к замкнутой и не переопределенной системе уравнений. Поясним это несколько иначе: если в данную точку грачицы, например в точку (!', О), приходит к < 3 характеристик из области, то 3 — к характеристик выходит нз этой точки внутрь области.
Интегрирование (в направлении роста ! ~ !') по каждой из приходящих характеристик (оио ведется изнутри области) определяет в точке (!', О) соответствующее'число й соотношений между описыва- одномягнык гглвнзния гАзовой хин»мики 29! ющимн состояние газа значениями и, р, е. Если в этой точке будет задано больше чем 3 — й условий, возникнет (в общем случае) противоречие и такого решения не существует. Если будет задано меньшее число краевых условий, можно добавить еще одно произвольное н нарушится единственность поставленной задачи.
Это рассуждение выглядит «почтн доказательством», но не следует упускать из вида, что сами характеристики — это объект, однозначно определенный лишь иа решении уравнений газовой динамики. И только для гиперболических линейных систем, когда характеристики определяются коЭффициентами уравнений и не зависят от решений, приведенные выше соображения можно оформить в виде точных теорем. Тем не менее в нелинейной газовой динамике этн соображения используются с успехом.
Более того, используется и более тонкий факт: выясняется запрет на некоторые формы краевых условий. Грубо говоря, в качестве задаваемого краевого условия (соотношения между значениями и, р, е) нельзя использовать то соотношение, которое «приносится» по приходящей нз области (снизу) характеристике. Например, если в точку (Г, 0) приходит левая звуковая характеристика (а правая и энтропийная входят в этой точке в область), то в качестве одного из двух требуемых в этом случае условий нельзя задавать значение риманова ннварнанта Я . Его значение определяется однозначно состоянием прн 1 < О, возникает противоречие, и решения уже не существует. Вообще, приносимые на границу по приходящим характеристикам соотношения, дополненные заданным краевым условием, должны составлять систему уравнений (относнтельно и, р, е), допускающую однозначную разрешимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
