Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Прн Ь вЂ” ит < О, т.е. ит/л > 1, схема непригодна по тем же причинам. 4. При и > 0 и ит ч 6 решения отличаются множителем, затухающим при росте ~, причем темп затухания тем выше, чем больше волновое число к (т.е. чем меньше длина волны частного решения зог ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и типа еы"). Таким образом в отличие от решения дифференциальною уравнения, в котором все гармоники с течением времени сохранюот свою амплитуду, в решении разностною уравнения происходит затухание коротковолновых гармоник. Эю приводит к тому, что разрыв в начальных данных с течением времени сглаживается.
Приведем еше две популярные схемы аппроксимации «уравнения переноса» р, + ир„= О, имеющие второй порядок аппроксимации по т и й, и их дисперснонные соотношения. Схема «квадрат» имеет вид ? +1+„ию + и 1 / +~+„и и+1+ и 1 "+' — "+'~ +" ~ +' +' " О, (19) 2 2 ~ Л ~ 2 г Ее дисперснонное соотношение таково: '"Лгй г)/~1+'иТгй г~~ Асимптотика при ЛА~ 1: 2(Л й т) 2«и+ 1и«з(игтг А2) Другая схема (называемая характеристической схемой второго порядка): и+! и и и и 2 и + + и " ' + и — 1 — и -1 +' ' = О (20) Л имеет дисперсионную функцию ~(,,й,)=~1п(1.1-„~(е-мл 1)+~и« ~1 „«1„П2.«1 Ее асимптотика при ~ ЛА~ ~1 такова: Х(lс, «, т) — 2«и+ — 2«зи(А2 — и222).
1 б В обоих случаях Л(Л, 6, т) совпадает с Х(к) с точностью до О(кз), а не О(кг), как в первом случае (зти схемы имеют второй порядок аппроксимации, а аппроксимация «против поток໠— только первый). Какие же выводы можно сделать из полученных формул? Решения дифц>ереициального уравнения имеют вид волн с «частотой» к, движущихся равномерно вправо со скоростью и > О. Волны (для всех /с) движутся с одной и той же скоростью. Поэтому график р(г, х), заданный в начальный момент времени, просто движется со скоростью и, не меняя своей формы.
Решения разностного уравнения имеют внд ехр 1« х — ','' 1, х=хин зоз одномзгныя гьензния гязовой динямики 1 го! причем -т 1(й, Ь, т) = и 1+ — (Аг- игтг) (для характеристической схемы). Таким образом, каждая элементарная волна движется со своей собственной скоростъю и„= — гУ/с, которая мало отличается от и прп малых частотах х. Высокочастотные же волны движутся с существенно отличнОй от и скоростью.
Заметим, что з схемах второго порядка точности гармоники не затухают с течением времени. Различие в скоростях и приводит к тому, что первоначальный «волновой пакег», определяющий форму начального профиля р», деформируется за счет «рассогласования фаз». В расчетах это сказывается в том, что график р«теряет монотонность. Наличие таких немоиотонностей очень не нравится вычислителям, так же как и сильное размазывание контактной ~ранним. Существует специальный термин моношолная схема.
Ясли в начальных данных задана произвольная монотонная сеточная функция р" и разностное решение р", полученное по какой-то схеме, остается монотонным, то схему называют монотонной. Схема «против потока» монотонна, но сильно «мажет» контактную границу. Схемы второго порядка размазывают границу существенно меньше, но они не монотонны. С. К. Годунов доказал, что среди явных схем второго (и выше) порядка аппроксимации не существует монотонных.
Разработчики раз постных схем прикладывают определенные усилия для создания схем, в которых оба дефекта — размазывание и немонотоиность — были бы возможно меныпими, В частности, автором в 1962 г, была предложена схема, в которой использовалась схема «против потока» (18) (первого порядка) или схема (19) — в зависимости от «локальных диффереициальнмх свойств решения», т,е. з зависимости от величины г)ю р" +, — гр" ~-р", р: р Если эта величина не очень велика (Ч < 3), в данном узле (яг, и) используется схема второго гюрядка, в противном случае — первого. Этот прием позволил устранить осцнлляции в профиле р" и сохранить размазывание разрыва, характерное для схемы второго порядка.
Такие схемы теперь называют «гибридными». На рис. 31, 32 показаны резулътаты расчета задачи о движении контактного разрыва. Представленные на момент времени г = 35 (т.е. разрыв прошел 35 счетных точек) результаты получены по следующим схемам; нгнвлижвнныв мвтоды вычислительной еизики (ч. п гнс. 32 Характеристические схемы. Схема «против потока» и ее уточнение (20) являются примерами так называемых характеристических схем, Поясним простой принцип их конструирования, широко применяющийся и в более сложных задачах. Оператор д/д/+ и д/дх есть производная по 1 вдоль направления ~/г: Ых = 1: и, а уравнение р, + ир = 0 означает, что значение р переносится без изменений вдоль этого направления. Для того чтобы, зная величины рн (еи = О, 1, 2, ...), вычислить значение р„",+1, нужно найти значение р в момент Г„в точке хш — ит.
Так как эта точка не совпадает с узлом сетки, следует проннтерполнровать в эту точку значения и нз ближайших узлов л-го слоя. Используя линейную интерполяцию значений р", и р", получаем схему (14): р"~' = ар" + (1 — а) р",, а = ит/й. а) по схеме первого порядка (разрыв сглаживается, с ростом времени ширина размазывания растет, как т'г; см.
рис. 31); б) по схеме второго порядка (появляются паразитические осцилляции, но ширина зоны размазывания разрыва уменьшается); в) по «гибридной» схеме первого и второго порядков (см. рис. 32а); г) по схеме третьего порядка (разрыв выражен резче, но видны, хотя и не очень значительные, осцилляции); д) по «гибридной» схеме первою, второго и третьего порядков (см. рис 32б; кружки — «гибридная» схема третьего порядка). Видно, что «гибридность» позволяет устранить осцнлляции, сохраняя ширину размазывания, характерную для схемы наибольшего используемого порядка. Р Р Однако в наиболее ооо Точное о шенне сложных ситуациях при решение расчетах двумерных те! чений (в ~, х, у) на сет! ках с относительно уме- 1 ренным числом точек н 1 при сложной деформации 2о 2з зо зз «о ш зо зю «о т первоначальной формы контактных границ такие а) б) методы проблемы ие решают. В этих случаях используются так называемые методы типа Р1С (см.
з 23). Отметим только, что создание и развитие таких методов существенно связано именно с проблемой расчета контактных разрывов. одномегныз гг!!зияния гАзовой динлмики зоз Только при условии устойчивости (когда и > О, а ит < Ь) точка к — ит ~ (х „х ) и р"+! вычисляется интерполяцией. Если эта формула реализует экстраполяцию, она становится неустойчивой. Схема второго порядка (20) получается точно так же, но используется квадратичная интерполяция значений р" „р", р" +!, Если интерполируемые значения не имеют нужного запаса гладкости, формальное повышение точности интерполяции может привести к худшему результату. Схему (20) можно получить и другим способом, который часто используется при конструировании схем повышенной точности.
Строится простейшая схема (14) и аккуратно вычисляется главный член погрешности аппроксимации. Для схемы (14) получаем л+! и И Ю 2 гт гт4 Р !!т-! дР4 дР 1 и ( й) дР ~( з4 йз) ! 6 д! дх 2 зх! Заметим, что при прямом вычислении появляется член 0.5тр!!, но в силу уравнения рн — — и~р„„и такая замена произведена. Теперь главный член погрешности переносится в левую часгь, производная р„„заменяется конечной разностью и получается схема (20), имеющая второй порядок аппроксимации на решениях уравнения переноса. Таким же способом можно получить характеристическую схему третьего порядка. Расчеты по этой схеме представлены на рис.
32б. Характеристические схемы для уравнений газовой динамики основаны на их записи в форме (11). Для вычисления величин в узле (л + 1, л!) из него проводятся три характеристики, в точках их пересечения с линией 1 = Г„интерполируются величины из узлов (л, лг'). В лагранжевых переменных скорость контактного разрыва равна нулю, и нет проблемы его размывания. Именно это обстоятельство делает лагранжевы переменные весьма удобными и популярными при построении расчетных методов решения задач гидродинамики.
К сожалению, это свойственно только одномерным задачам газовой динамики (задачи в г, х). При переходе к двумерным задачам использование лагранжевых переменных оказывается весьма трудным и во многих случаях просто невозможным. Подробнее об этом см. в з 23. Расчет ударных волн. Искусственная вязкость. Перейдем к проблеме численного решения задач с ударными волнами. Будем использовать уравнения в массовых лагранжевых координатах в дивергентной форме (14). Разностиая аппроксимация дифференциальных уравнений основана на предположении об определенной гладкости искомых решений. Когда этой гладкосги нет, нужно вводить соответствующие усложнения вычислительной схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
