Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Для любой области ьс Ц ~ (х )) (х,11 О (4) и нли для любого контура дй ф, (и Их+ хй~й) =О. (5) д13 Именно в этой форме и проверяется, является ли и обобщенным решением. Если контур не пересекает фронта, проблемы нет; там, где функция и(1, х) гладкая, соотношения (2), (4), (5) эквивалентны. Рассмотрим элементарный контур дй, пересекающий фронт х Юг (рис. 34). Проведем линии 12 и 34, параллельные фронту и находящиеся от него на расстоянии е.
Тогда ~ =Иш~ )+~ вп с в!сю зв~1 Заменим эти части контура штриховыми линия- Рнс. 34 мн, показанными на рис. 34. Обозначим замкнутые контуры через 1А21 и ЗВ45. Каждый из этих контуров лежит в области, в которой составное решение (5) является классическим. Поэтому, например, справедливо соотношение ~ = ~ + ~ = О, т.е.
ыж ыз л ыэ и Итак, зи нгнелиженные методы вычислительной «нзнкн 1ч. и Очевидно, ~ = О. Осталось оценить 43 г ~ (и Их+ и — йг), 1 На линии 12 имеем ] х — Юг 1 = е, и(х — Ж) = 0(еп"); следовательно, интеграл от и стремится к нулю. На этой же линии ив = 0(е), и, ИиН$ = О(епь '). Таким образом, и"и, = О(епв) на линии 12, и интеграл от этой величины также стремится к нулю. Итак, составное решение (3) является обобщенным решением нелинейного уравнения теплопроводности. Обсудим несколько вопросов, возникающих при построении разностных схем для уравнения теплопроводности. Аппроксимация на контактном разрыве. Рассмотрим уравнение (1) в случае, если 9= 0 и коэффициент теплопроводности х(х) разрывен, Пусгь среда имеет контактную границу, т.е. при х < О одно вещество с коэффициентом теплопроводности х„при х > 0 другое вещество с коэффициентом теплопроводности и .
Рассмотрим разностную схему, в которой по каким-то причинам удобно поместить контактный разрыв в «целую» счетную точку, а температуру и определить в полуцелых. Это бывает в задачах, в которых, кроме теплопроводности, учитываются и другие процессы, т.е, уравнение для и входит в более сложную систему, например в систему гидродинамики с теплопроводностью (см. 3 22).
Если счетная точка, в которой определена температура и (и другие термодинамические параметры), совпадает с контактным разрывом, возникают сложности с уравнением состояния. Следуя й 11, построим в пространстве (х, г) сетку с узлами (иг, л), приписывая им координаты х, Г„(х +, — — хм + Ь„,+ Пг), Введем сеточную функцию и" +,~, считая ее определенной в точке х + и = 0.5(х + х +,), Разностная аппроксимации строится так: — и +! ю П -П ~»т +иг ~~+~ « " +ш где П вЂ” аппроксимация теплового потока хи„через границу х . Если в точке х свойства среды непрерывны, для П имеем очевидную аппроксимацию: П =(х„/Ь )(и" «пг — и"„, ) (явная схема), П =(и /й )(и"+.,',~ — и" 'пв) (неявная схема). нвляняйноз л»знениз твплопговодностн йгц Разберем вопрос о том, как следует поступать в точке т = О, в которой рвутся к и и„, т.е.
и„„Ь(х) (Ь(х) — дельта-функция), и, стало быть, не выполняются предположения, на которых базируется стандартная техника построения разностных аппроксимаций. В подобных ситуациях необходимо привлечь более точную информацию о дифференциальных свойствах искомого решения. В данном случае следует ислользовать физические предположения о процессе распространения теплоты.
В точке х = 0: а) функция и(г, х) непрерывна, т.е. и(г, — 0) = и(г, + 0); б) непрерывен тепловой поток, т.е. к,их(г, — 0) = кзих(г, + 0). Введем (временно) в точке х = 0 температуру и и запишем разностную аппроксимацию условия непрерывности теплового потока (справа и слева от разрыва функция и гладкая, только точка х = 0 является точкой нарушения гладкости) в виде »» х-ш "пг хо к~ — Кд — = хг — д7з- (Временной индекс не пишем, он может быть и л, и и+1.) Отсюда Опуская простые выкладки, вычисляем П»: И», ьз~ П =2(и — и )! — + — . о пз -Пз/~х х~' 1 2 (б) Такую аппроксимацию теплового потока в точке контактного разрыва иногда называют «наилучшей».
(Ниже будет показано, как опасно придавать этому термину слишком универсальное значение.) Эта же формула применяется не только в случае разрыва коэффициента х, но и при переменном коэффициенте теплопроводности. В частности, в рассмотренной выше задаче «газодинамика + теплопроводность», коэффициент х зависит от термодинамическнх величин и, р (р — плотность вещества), а эти величины определены в полуцелых точках. Таким образом, в каждой «целой» точке т теп- ловой поток аппроксимнруется формулой П =2(и +, — и», )г ~ +и'+ х,„+пз х (7) Аппроксимация при расчете тепловой волны. Выведенная выше «нанлучшая» формула (7), однако, не пригодна для расчета тепловой волны.
И вот почему. Пусть в начальных данных фронт тепловой волны находится в точке хп т.е. и»из = 0 при ш» 1. В этом случае П = 0 при гл > 1 (так как й +и lи«»из= 1/О). Таким обра- НРНБли!Еенные метОды ВычислительнОЙ Физики 1ч. и 3!4 зом, тепловой поток через точку х, равен нулю и температура при х и х, останется нулевой и в дальнейшем, т,е. фронт тепловой волны не продвигается, а застревает в начальном положении. Для правильного расчета тепловой волны используегсм аппроксимация, учитывающая структуру функции и(1, х) в окрестности фронта тепловой волны (3). Обратим внимание на то, что и«(1, х) — линейная функция х в окрестности фронта.
Учнтывам этот факт, в расчетах применяют аппроксимацию типа ь Л " -ш+ " ~!а ~ +!и " -!а и„— (8) Длм линейной функции и«линейная интерполяцим является точной. В свое время автору приходилось решать задачи гидродннамнки с теплопроводностью в ситуацни, когда коэффициент теплопроводности и имел внд х(и, р, х) = /(х, р)и», причем функция ~ была разрывной по х; искомая функцнм р(г, х) тоже была разрывной (контактные разрывы).
Прн этом были плохи обе формулы (7) и (8): первая препятствовала правильному расчету тепловой волны (а это явление играло важную роль в проводившихсм расчетах), вторая приводила к погрешностям на контактных разрывах. Решение было найдено в виде компромиссной формулы П "!а и" +и" « -и (р) 2 05ДЛ У)„, !и+(А У)„,«!Н1' в которой разрывная часть коэффициента теплопроводностн учитывалась так, как это рекомендуется теорией для разрывного коэффициента, а множитель и", ответственный за фронт тепловой волн»!, усреднмлся с учетом типичного )рафика и(г, х) в окрестности фронта. Уравнение теплопроводностн с нелинейным источником. Рассмотрим уравнение (1) в случае, если х = н(и), О= Д(и), Допустим, мы используем неявную схему. Возникает вопрос: что делать с нелинейносгями в н и Д? Есть два варианта.
Можно оставить их «на ин:кием слое» и получить простую схему «+! а ««! +1 ««! ~+!1 где и" +пз — — н(и«+ и" +!)/2. Уравнение «на верхнем слое» (для и"+') линейное; оно решается прогонкой. Второй вариант (нелинейность «на верхнем слое») отличается от схемы (10) только тем, что в нем используются значения Д(и" +'). В этом случае уравнения «на верхнем слое» нелинейные. Их прихо- 3гз нзлинкйног.лАвнвнив тзплопговодности 12П дится решать итерациями с линеаризацией по методу Нъютона и прогонкой для линеаризованных уравнений.
Это, конечно, намного сложнее, чем при аппроксимации (10), Из общих соображений трудно понять, зачем нужна такая трудно реализуемая схема. Однако в литературе часто встречаются указания на предпочтительность именно более сложной схемы. В чем дело? Попробуем немного прояснить этот вопрос.
Все дело в характере нелинейности и в шаге т по времени. Грубо говоря, дело обстоит так, Если в рассчитываемом процессе шаг т таков, что [тД„(и) [ ~1, то обе схемы.более или менее равносильны, н следует отдать предпочтение более простой схеме (10). Поясним это положение следующими оценками.
За один шаг т температура изменится на тД (предполагаем, что хи,„— величина того же порядка), т.е. и«»' ж и«+ тД. Вычислим Д(п«+1) ж Д(л«+ тД) Д(в«) ч тД Д (1 1 тД )Д(и«) Если [тЦ„[ ~1, то Д(и«) и Я(и«+') почти совпадают и схема, в которой Д вычисляется на верхнем слое, мало чем отличается от схемы с вычислением Я на нижнем слое. Но бывают задачи, например связанные с расчетом тепловых явлений в звездах и близких к ннм обьектах, когда вычисления с шагом т, таким, что т[Д„[«м1, немыслимы.
Это слишком малый шаг. С таким шагом т за приемлемое время работы ЭВМ не удается провести расчет на заданном интервале времени [О, Т[ (число шагов Т/т слишком'велико) и нужно считать с шагом т:Ф.1/[ Д„[. При определенных условиях выходом нз положения является аппроксимация источника на верхнем слое. Нужно сказать, что эта ситуация внешне и по существу очень близка к тому кругу вопросов, которые мы обсуждали при описании жестких систем и методов их интегрирования (там тоже решающую роль играли неявные схемы).
Естественным условием применимости схемы с болъшим шагом т является «усгойчизость»; Д„< О. Описанная выше ситуация часто встречается в задачах астрофизики, когда Я= (А — Д, где Ц, н Д определяют выделение (за счет ядерных реакций,.например) и поглощение энергии соответсгвенно. Оба этих процесса очень интенсивны и «почти сбалансированы», т.е. [Д, — Д [ к [ф[+ [Щ.
Другими словами, выделившаяся в какой-ю точке энергия поглощается почти в этом же месте. Разумеется, термин «почти в этом же месте» означает, что энергия поглощается на расстоянии от места выделения, менъшем шага счетной сетки. В задачах, связанных с расчетом процессов в звездах, когда по радиусу звезды вводится 1Оз «- 105 точек, шаг Ь достигает тысяч километров. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч, и 3!6 Если в описываемой ситуации Д„> О, нужно считать с шагом Ежа„! или придумывать что-то другое, более сложное, чем переход к неявной схеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
