Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Это почти определение, но мешает маленькая деталь. А что, собственно говоря, означают слова «уравнение содержит аппроксимационные источники или не содержит»? И почему, если содержит, это нехорошо? Вычислим эти «источники» для описываемой схемы. Умножнм (2) на (и"+! + и")/4 и вычтем из (5).
То же самое сделаем, используя (2) при значении т+ 1. После несложных преобразований получаем в качестве следствия формул (2), (5) разностную аппроксимацию уравнения (б) для е: л .!" ! л л+! л+! ~л+!/2 л«!П ~; ~ 'л+! л+! л (9) + (Р+ ч)~+!22 А = т г»+!22* л«Ш где Г" = (1/422) ((ил+' — ил»')2+ (ил+' — Ил )~]. Это и есть пресловутый «аппроксимационный источник», превращающий «правильную» аппроксимацию (8) уравнения для е в якобы неправильную (9). Конечно, если бы кому-либо предложили на данной сетке аппроксимировать уравнение для е, едва ли кто-нибудь так сразу написал бы формулу (9), а формулу (8) написал бы всякий.
С этой точки зрения аппроксимация (9) неестественна, Но все это имеет смысл лишь при простейшей технике составления разностных схем (производные заменяются самыми простыми, наглядными разностнымн аппроксимациями). Однако в настоящее время по мере усложнения задач, вида уравнений, сеток и т.п. все чаще в практику входят гораздо более сложные методы составления уравнений, в том числе и чисто формальные, когда выбирается шаблон, пишется общая комбинация величин в узлах шаблона с неопределеннымн коэффициентами. Значения таких коэффициентов затем определяются требованиями аппроксимации, устойчивости и какими-то дополнительными требованиями, совокупность которых делает выбор схемы однозначным (это так называемый метод неопределенных коэффициентов в построении разностных схем). При такой технике (а к ней приходится прибегать все чаше) в полученных выражениях не так-то просто выделить члены, относящиеся к тому или иному члену дифференциального уравнения.
Поэтому понятие «аппроксимационный источник», казалось бы, очевидное в данном случае, в действительности особого смысла не имеет. Тем не менее некоторый смысл есть, и мы попробуем его сейчас выявить. Начнем с того, что предъявим более определенные ззг пгнвлнжвнныв мвтоды вычислительной «нзнкн 1ч. и претензии к дивергентиой форме аппроксимации (4). Все нижеследующее основано иа опыте автора и его коллег, входивших в группу И. М.
Гельфацца. Серийные расчеты задач такого типа„однако, продолжались в сущности только до 19бО г., поэтому наша точка зрения отражает оиыт тех лет. Явные дефекты аппроксимации уравнения для полной энергии проявляются обычно в зонах сильного разрежения,'когда происходит интенсивная «перекачка» внутренней энергии в кинетическую и иг/2 существенно превосходит е. В этой ситуации неизбежные погрешности приближенного метода решения могут привести к отрипдтельиым значениям е.
Это может произойти в одной-двух счетных точках, н этого можно было бы даже и ие заметить, если бм ие следующее крайне неприятное явление. В области е с О уравнения газовой динамики теряют физический смысл. С математической точки зрения они меняют тип, превращаясь из гиперболических в эллиптические: е с О означает «отрицательный квадрат скорости звука».
Уравнения распространения звука превращаются в систему уравнений Коши — Римана, для которой, как известно, зацача Коши некорректна. Но программа и в этом случае продолжает решать задачу Коши (счет по слоям)! И вот эта некорректность, существующая сначала иа очень небольшом участке (в двух-трех точках), начинает «разрушать» течение в соседних точках. Процесс приобретает катастрофический характер, и численное решение быстро теряет физический смысл. С этим иногда удается справляться, искусственно полагая е«+„'пг — — О, если расчет привел к отрицательному значению.
Но это— скверный выход: ои маскирует явные признаки неблагополучия, и расчет может продолжаться внешне благопристойно, потеряв, в сущности, точность. К таким мерам следует прибегать очень осторожно. Чем же лучше в этом отношении недивергентная форма аппроксимации (8)? Дело в том, что р можно считать пропорциональным е. Следовательно, уравнение (8) можно записать в виде е, = Ае (где А = — (р/е)и«). Решение этого уравнения не может перейти через ось е = О. Это в дифференциальной форме очевидно, В разиостиой форме аналогичное свойство не гарантируется, но его можно обеспечить достаточно малым шагом т. В самом деле, для явной и неявной схем имеем (р"+' — р")/т = Ар", р"" = (1+ тА)р", (р«+~ — р")/т = Ар"+', р""' = р"/(1 — тА).
Внимательный читатель заметит, что и о может изменить знак, что тоже приведет в иефизическую область. Здесь ситуация контролируется выбором шага: нпг~пг юп+пг+ (™)(нов«1 «г» )' ззз ! к«л!!!м!ия гюностной схемы 8 221 Конечно, шаг начинается лишь при известных величинах на и-и слое. Анализ этих данных позволяет выбрать шаг с, учитывая, например, условие типа т < 0.5А!!" «!!з/! и««! — и«), Ч !и. В большинстве случаев такой шаг т обеспечивает положительность п" ++'и .
В противном случае переход с л-го слоя на (л + 1)-й повторяется после уменьшения шага т вдвое, и т.д. Заметим, что это не единственные критерии, по которым шаг т ограничивается сверху. Итак, в расчетах по формуле (8) у нас есть средства, обеспечивающие положительность е. Обратим внимание на то, что в описываемой схеме (а она, таким образом, не является полностью консервативной) положение с этой точки зрения еще более благоприятное, так как источники неотрицательны. Можно было бы предположить, что постоянный знак источников приведет к систематическому завышению значения внутренней энергии. Может быть это и так, но тут все-таки нужна более основательная аргументация, В самом деле, по сравнению с чем будет это систематическое завышение? Ведь даже утверждать, что завышение будет по сравнению с расчетом по схеме (8), не содержащей источников, нельзя. Если же сравнить с точным решением, то и тут ситуация далеко неоднозначная.
Подстановка в разностные уравнения точного решения дает хорошо известный нам результат. Точное решение уравнений газовой динамики (точнее, его ограничение на сетку) удовлетвпряет разностным уравнениям с «источниками» в правой части (эти источники — погрешность аппроксимации)! Если бы мы знали эти источники, то включив их явно в правую часть схемы, мы получили бы точное совпадение разностного и точного решений. Так что сам по себе факт наличия «источников аппроксимационного типа» не является безоговорочным дефектом разностной схемы.
Аккуратное определение «полностью консервативной» схемы, должно учитывать следующее. Аппроксимацию (8), не содержащую источников, можно записать в виде (обозначая и = р+ д) «»+ ! «» »+! «! '+щ '»+!!! + 0 5 ! ~«+! + и«! "'+! "' »!+п2 «!«!/2/ »+ ! «+1 +0.5(л«+!!з — пт+пз) ""„" =О. Последний член можно трактовать как типичный аппроксимационный источник, имеющий (формально) величину О(т). Другой пример. Имеется аппроксимация уравнения для е вида (е«+',!з — е" '!!2)/ ! + А =.
О, где А — некоторая аппроксимация члена ри„, содержащая источники. Пусть схема (е" ~!!з — е«+!!з)/т+ В = 0 таких источников не содержит. Запишем «плохую» схему в виде НРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЬР!НСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч, и 334 (е"'+.,'нз — е" +,д)/т+ ТВ = О, где у= А/В= 1+ 0(т, Ь). Почему нельзя считать зто уравнение хорошей аппроксимацией, не содержащей источников? Уравнения на верхнем слое.
Перейдем к аккуратному выписыванию уравнений, решая которые можно определить величины и, ю, Т, г. Напомним, что в разностные уравнения входят уже известные величины (с и-го слоя и с (1 — 1)-й итерации). Искомые величины на 1-й итерации мы условились обозначать без верхнего индекса. Для разработки метода решения уравнений на верхнем слое нам прежде всего важна структура уравнений. Поэтому займемся именно структурой, т.е. выяснением того, какие именно неизвестные входят в то или иное уравнение (напомним, что и тех, и других очень много).
Начнем с уравнения (4) для ю. Оно явно разрешается относительно н +„, и мы в дальнейшем будем использовать формулу ем,д —— У „д(и, и,„,), т =О, 1, ..., М вЂ” 1. (10) При этом мы будем описывать уравнения именно в такой форме, указывая явно только неизвестные величины; наличие известных величин мы будем отмечать индексом т+ 1/2. Конечно, конкретные формы зависимостей должны быть однозначно и безошибочно запрограммированы, но в данный момент мы этого технического вопроса не рассматриваем.
В (10) мы получили не все «уравнения длЯ е». Величина ни+из пока не имеет «своего» УРавнениЯ. Таковым является краевое условие. Мы приняли заданными значения Тм»нз, Рм»нз. УРавнение состоЯниЯ позволЯет вычислить и ни+из. Рассмотрим уравнения (2) для и«е Они записываются для т = 1, 2, ..., М вЂ” 1, т.е. в системе пока не хватает двух уравнений. Представим эти уравнения в общей форме: 1/ (и ы и, и,„«н Р,„»нз, Р,„1д) = 0 (величины и н и,„+, вошли в 1/ через формулы для а ам»пз).
Это пока предварительная формула. Уравнение состояния позволяет исключить р „через Т и н и, которое, в свою очередь, исключается через и,, и (по формуле (10)). Аналогичным образом р +, исключается через Т»„, и, и г Легко проверить (и зто нужно сделать обязательно), что при т = 1, м — 1 мы не выходим за пределы действия формулы (10). Заметим еще, что упомянутое «исключение» не следует трактовать буквально как подстановку в конкретные формулы вместо аргументов соответствующих, часто громоздких, формул. Современ- 335 Ре«2!иъщия РАзиостной схемы й 331 ная техника программирования позволяет оперировать с описаниями таких сложных функциональных зависимостей в виде суперпозиции относительно простых.
Итак, запипгем стандартные уравнения для и„в виде 1/ (и „и,и «„Т !22,Т,222)=О,' »2=1,2,...,М вЂ” 1. Уравнение для заданного и» представим в общей форме, позволяющей использовать схему вычислений и для иных краевых условий, например У»(и», и„Тпг) = О. Наконец, уравнение для им можно получить, полагая !гм+222 = О. Это по существу есть дополнительное краевое условие, Необходимость в нем возникает из-за введения искусственной вязкости.
Она не является физически обоснованным фактором, но проводит к повышению порядка дифференцирования по х (член 22„, грубо говоря, аналогичен члену и „). Псотому первичная (физическая) постановка задачи не содержит требуемою краевого условия и оно вводится искусственно. Конечно, эта «произвольная» операция требует осторожности: она не должна оказывать заметного влияния на численное решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
