Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 70
Текст из файла (страница 70)
37 показаны фрагменты !ислениых решений, полученных по всем трем схемам. Онн соответствуют моменту ! = 30 (при Ь = 1), т.е. ударная волна прошла! 17 счетных точек, контактный разрыв— 88 точек. ПоложениЯ точных гРаниЦ хп хт, хм х4 изобРажены иа рис. 37. Обсудим результаты. Схема Е.
Дефекты численного решения очевидны: сильно размазанный контактный разрыв, скорость ударной волны занижена примерно на 15 % (3.3 вместо 3.9), заметно размыты и слабые разрывы (границы волны разрежения). Схема П. Повышение формального порядка аппроксимации привело к существенному ухудшению результатов: графики функций искажены сильными осцилляцнями явно нефизического характера. Схема 777 (гибридная)': Существенное улучшение качества решения очевидно, хотя и ие все дефекты численного решения ликвидированы. В частности, контактный разрыв размыт больше, чем хо- ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ НЫЧИГЛИТЕЛЬИОЙ ФИЗИКИ 1ч, и зФЕ телось бы.
ПРи хзс х с х давление Р,„,нз= 11.35й0.05 (точное значение 11.40), и = 2.93Ф0.01 (точное значение 2.92). В последние годы в вычислительной газовой динамике ведется активная работа по конструированию схем с улучшенными свойствами решений. Целью этой работы является получение таких схем, в которых контактные разрывы размываются как можно меньше и не проявляются нефизические осцилляции. Отличительной чертой таких конструкций является использование различных анализаторов локальной гладкости решения в каждой точке (л, Рп). В зависимости от показателя гладкости решения используется либо схема первого порядка аппроксимации, либо второго, либо некоторая промежуточная («гибрид» схем разного порядка аппроксимации).
О качестве схемы судят по качеству решения задачи о распаде разрыва в начальных данных и других задач-тестов, й 23. Приближенное решение двумерных задач газовой динамики Прикладные задачи газовой динамики, кзк правило, не допускают явных решений, поэтому важное значение имеют методы приближенного решения. В настоящее время ведется интенсивная разработка таких методов. Их создано уже достаточно много, тем не менее работа продолжается. Это объясняется тем, что одни и те же уравнения газовой динамики описывают (в зависимости от тех или иных краевых условий, значений входящих в уравнения физических постоянных) качественно разные явления, Они часто очень сложны, и эффективный метод решения должен учитывать характерные особенности подлежащего расчету явления. Именно стремлением учесть специфику явления при конструировании расчетной схемы определяется содержание научной работы в области численных методов газовой динамики.
Если полагаться на простейшие разностные схемы, мощность существующих ЭВМ окажется явно недостаточной для решения задач, которые выдвигаются современной техникой и достаточно успешно решаются специализированными методами. При изучении различных схем решения уравнений газовой динамики нужно прежде всего четко представлять себе, каков класс задач, в которых эффективен именно тот, а не другой из многих известных методов. Эту сторону вопроса мы постараемся разъяснить в процессе изложения. Формулировка задачи газовой динамики. В дальнейшем мы будем иметь дело с так называемыми двумерными задачами, т,е. с задачами, в которых искомые функции зависят от времени Г и двух пространственных координат х, у.
Конечно, реальные задачи газовой гашении лиумигных злдич гизовой динимики заз й гз1 динамики трехмерны; мы ограничимся двумерными ради простоты изложения. Основные идеи построения методов можно объяснить уже в двумерном случае. Переход к трехмерному случаю вносит осложнения, в основном, технического характера (в то же время переход от одномерного случая к двумерному вносит ряд принципиальных осложнений). Другая причина состоит в том, что большая часть современных расчетов в газовой динамике — пока чтО двумерные; освоение массовых трехмерных расчетов по существу только начинается. Итак, мы имеем дело с некоторой областью пространства .Р, разные части которой заполнены разными газами.
Заметим, что термин «газ» не следует понимать слишком узко. В определенных условиях (при высоких температурах) металлы ведут себя, как газы, и описываются теми же уравнениями газовой динамики. Короче, мы имеем дело со сплошной средой, состояние которой описывается следующими функциями: компоненты скорости и(/, х, у) и и(/, х, у), плотность р(ц х, у), давление у(/, х, у), удельная внутренняя энергия е(д, х, у), Они удовлетворяют уравнениям газовой динамики. Существуют разные формы этих уравнений, удобные в тех или иных ситуациях. Начнем с уравнений в форме Эйлера: ди ди ди ! др — +и — +и — + — — =О, да ах ду р дх аи аи ди 1 ар — + и —. + и — + — — О, д! дх ду р ду дЕ ае да р /аи аиз — +и — +и — + — ~ — + — ~ =О. аа ах ау р(ах ду) Система (1) замыкается конечным соотношением — уравнением состояния, связывающим термодинамические характеристики среды р, р, е в каждой точке (/, х, у).
Уравнение состояния используется в виде е= Е(р, р) или р= Р(е, р), где Е, Р— известные функции. Например, идеальный газ определяется соотношением Е(р, р) = (1/(у — 1))р/р, где у — постоянная, характеризующая данную среду (разные газы имеют разные значения у). Уравнение состояния может иметь и более сложную форму. Разумеется„уравнения (1) дополняются начальными данными, заданными функциями и, и, р, р(0, х, у), и краевыми условиями на границе Р.
Эти вопросы мы пока не рассматриваем. Обратим внимание на то, что во всех уравнениях присутствует характерный оператор д/д/+ ид/дх + ид/ду. Он называется субстанциальной производной и обозначается а//Нд всвязи со следующей важной физической интерпретацией. Пусть фиксированная («окрашенная») частица газа в момент времени / = 0 находится в точке (Хи, уи). В по- 344 пгивлижвнные мвтоды вычислительноя визики [ч. и следующие моменты времени она будет находится в точках (Х(с), У(с)). Уравнения движения выделенной частицы суть Х= и(С, Х(С), У(С)), У= и(С, Х(г), У(С)). (2) Рассмотрим функцию /(с, х, у). На данной траектории (х(г), у(с)) она является функцией только от и /(с, х(г), у(с)).
Вычислим ее производную по времени: — „, =/, +/„Х+/ У=/', + и/„+ и/. в/ Таким образом, субстанцнальная производная — это производная по г вдоль траектории частицы. Уравнепня газовой динамики в дивергентной форме. Простыми преобразованиями уравнения (1) можно привести к важной в приложениях днвергентной форме: а, (Ра) + — ах (Ра'+Р) + — (Р ) =О, ас (Ри) + ах (Раи) +а (Ри + Р) =О, ас Р+ ах (Ра) + а (Р") = О ас Р е+ т +ах «Р+Ре+» з + + а и р+р е+ — =О.. Эти уравнения могут быть записаны в компактной форме: (4) которая часто служит исходной при построении рззностных методов, так как из нее непосредственно вытекают важные, имеющие фундаментальное физическое значение, соотношения (законы сохранения).
Интегрируя (4) по параллелепипеду (г„ ас) х [а, А] х (Ь, В), получаем с,лв ~ ~ ~ (Исс + я„+ я ) ей ах ау = Ссва с, в ',л лв = ~ ~ $У асх йу ~ , '+ ~ ~ В йу сй ~ ' + ~ ~ Д сй асх ~ ьв = О, (5) а Ь с,а сч а 345 »звание лзгык1 нык злдлч глзовой динлмнки й зз1 лв Соотношение (5) имеет следующий смысл: ~ ~ Иг ах ь(у — общее а Ь количество величины И' (компоненты импульса, массы или полной энергии) в объеме [а, А) х ~Ь, В), ~ ~ Я а'Г а'у, ~ ~ (2 йГ ау, — потоки за время г, — гв через границу этого объема. Таким образом, изменение в данном объеме количества И' связано с перетеканием его через границу этого обьема. решения уравнений газовой динамики нужно искать среди «обобщенных решений», т.е. среди функций, удовлетворяющих тождеству (5) для всех параллелепипедов.
Обратим внимание на то, что проверка тождества (5) не требует дифференцирования функций и, ш р, р и может быть осуществлена даже при наличии разрывов в этих функциях. Действительно, решения газодинамических задач могут содержать поверхности, на которых рвутся функции и, о, р, р. В двумерных задачах имеются те же два основных типа разрывов: ударные волны и контактные разрывы. Соотношения на разрывах имеют ту же форму, что и в одномерных задачах, если использовать систему координат, в которой поверхность разрыва ортогональна (в рассматривавмой точке) оси х, а и и ив проекции скорости на оси локальной системы координат, На контактном разрыве непрерывны р и и (нормальная к разрыву компонента скорости); р и в (касательная к разрыву компонента скорости) могут иметь произвольный разрыв.
Если о рвется, разрыв называют тангенциальным (кстати, такое течение неустойчиво). На ударной волне и, р, р по разные стороны от разрыва связаны одномерными соотношениями Гюгонио. Касательная к разрыву компонента скорости о на ударной волне непрерывна. Однако в двумерных задачах линии разрывов в плоскости Г = сопзг могут иметь угловые точки. Уравнения газовой динамики в форме Лагранжи Другая форма уравнений шзовой динамики связана с точкой зрения Лагранжа.
Она отличается от рассмотренной выше тем, что искомые функции и, щ р, е считаются не функциями декартовых координат Г, х, у, а функциями лагранжевых переменных Г, Ч, и, где à — то же время, что и в эйлеровой форме, а координаты Ч, ~) выбираются так, что они остаются постоянными вдоль каждой траектории системы (2). Введем функции Х(г, ч, ~)), у(И $, В), являющиеся эйлеровыми координатами частицы (г„п), Они удовлетворяют уравнениям Х,(И ~, ~)) = и(г, Х(г, ~, И), У(И й, ь))), (6) у,(г, ~, и) = (д х(г, ~, и), у(И Ъ, и)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
