Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 71
Текст из файла (страница 71)
346 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОЛЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1Ч. Н К ним следует присоединить начальные данные. Обычно берут в качестве лагранжевых координат частицы ее декартовы координаты в момент времени 1= О, т.е. х(о, ~, ч) = ~, У(о, Ц, и) = ч но возможны и другие способы. Разумеется, и(1, х, у), О(1, х, у) в (6) считаются известными решениями уравнений газовой динамики, Перейдем к выводу уравнений газовой динамики в форме Лагранжа, используя уравнения в форме Эйлера. Пусть известна функция зйлеровых координат /(1, х, у), а х, у известны как функции лагранжевых координат ц к, и.
Тем самым мы имеем / как функцию лагранжевых координат. Именно эта операция превращает функции и, щ р, е(Г, х, у) (решенне уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах) в функции й, б, р, е(1, Р, Ч), которые естественно считать решениями уравнений в лагранжевых координатах. Итак, 7(1, 6, ч) =/(1, х(1, 6, н), У(ц 8, н)). Вычислим производную этой функции по П /Р /1 + / Х1 + /уУ( /1 + и/ + 1 /у Такие выражения (субстанцнальные производные) входят во все уравнения газовой динамики, которые можно переписать в форме й,+р-'р.=о, й,+ р-'р =о, (7) е, + р ' р(й„ + й ) = О, р, + р(и„ + йу) = О, Уравнения (7) содержат производные по х, у, а не по Р„тн как хо- телось бы, чтобы иметь замкнутую систему уравнений в перемен- ных 1, $, з).
Система уравнений (7) дополняется уравнениями (6) для Хи У. Теперь осталось выписать выражения для р„, р, й„, й через производные р, й, й по к, и, Продифференцируем 7 по ч, гр / =/„Х +/ У, /ч=/„Хч+/ У„. Эту систему мы рассматриваем как систему линейных алгебраиче- ских уравнений относительно неизвестных /„, / . Решая ее, полу- чаем /„=(7,у — 7 у)/(х у — х у), ч чч 1ч ч (8) /', = (/чх, — /',Хч)/(Х„У — Хч У,), Формулы (8) определяют правила вычисления входящих в (7) про- изводных по х, у через производные по й, и, Таким образом, урав- нения в форме Лагранжа — это совокупность уравнений (6), (7) и формул (8). й гз! аешение шнмеаных зкдлч гАзовой диикмики 347 Задачи, в которых удобны координаты Эйлера.
Рассмотрим характерную прикладную задачу, в которой удобна и естественна эйлерова форма уравнений. Это — важная в разных областях прикладной аэродинамики задача обтекания. Пусть имеется некоторое тело, обтекаемое потоком газа. Нас интересует картина течения газа около тела и значения основнмх газодинамических переменных, так как ими определяются такие характеристики, как сопротивление, подъемная сила, температура, давление на поверхности тела и т.п. Систему координат обычно выбирают связанную с телом. В этой задаче интересуюшие нас события разворачиваются в некоторой фиксированной в геометрическом пространстве области (рис.
38). Лагранжево представление здесь явно неудобно. Если мы выделим некоторую область в лагранжевых координатах, то она вместе с потоком газа прой- У дет мимо тела, удалится от него, и что в исй будет происходить, уже не очень ин- В тересно. к Кроме задач, связанных с расчетом, например, аэродинамических характери- 2 стнк крыльев, к этому классу относятся задачи расчета течений в соплах, задачи Рис. зз внешней баллистики, в том числе задачи о спуске космических кораблей, и т.п. Отметим, что в этих задачах есть проблема постановки краевых условий. Граница расчетной области состоит из двух частей.
Первая часть границы есть граница тела Гг Это — естественная граница, и на ней ставится физически очевидное условие непротекзния: нормальная компонента скорости потока равна нулю, т.е. ин, + и~ = О, где и,, и — вектор нормали к границе Гг Вторая часть границы Г вводится искусственно. По существу задача ставится в неограниченной плоскости, но реализация расчетных схем неизбежно требует ограничить область. Никаких «естественных», точных граничных условий на Г нет.
Вычислители стараются отнести границу Г подальше от тела, чтобы искусственные граничные условия мало влияли на картину течения вблизи тела. Этот факт контролируется численными методами. Решив задачу один раз, повторяют расчет, отодвинув границу. Если основные интересующие нас характеристики изменились не очень сильно, считают их достаточно достоверными, несмотря на искуССтвенность математической задачи, Задачи, в которых удобны координаты Лаеранжа.
Типичный пример такой задачи — задача, связанная с проблемой лазерного термояда. Напомним в обших чертах суть дела. Сферическая мишень, состоящая из нескольких сферических слоев, выполненных пгнелижеиные методы вычислительной »венки (ч. и из разных веществ, подвергается мощному кратковременному облучению со всех сторон (рнс.
39), На поверхности мишени быстро создается высокая температура и, следовательно, высокое давление, сжимающее мишень. Процесс носит сложный характер. Высокое давление на границе порождает тепловую н, возможно, ударную волны, сходящиеся к центру. В то же время поверхностные слои вещества начинают разлетаться от центра — идет так называемая волна разрежения. Будет ли в результате достигнут желаемый результат (создание в центре «термоядерных параметров», т.е, некоторой области с очень высокой температурой и достаточной плотностью), — на этот вопрос должен дать ответ расчет.
Для нас сейчас важны следующие обстоятельства. Рассматриваемая среда состоит из нескольких областей, в которых физические свойства газа существенно различаются. Рассчитываемый процесс сопровождается сильной деформацией первоначального расположения границ. Большая часть вещества сжимается в очень узкую зону. Если бы мы пытались решать задачу методом конечных разностей в эйлеровых координатах, мы покрыли бы область, первоначально занимаемую газом, какой-то сеткой.
В начале про- 63 цесса в разных зонах имеется достаточно большое число счетных ячеек, что обеспечивает нужную точность разностной аппроксимации. ,г По мере развития явления ситуация меняется. Почти все вещество сосредотачивается в очень узкой области, в которую попадает небольшое Рис. 39 число ячеек сетки, и точность расчета, естест- венно, становится недопустимо низкой. Если же расчет ведется з лагранжевых координатах, узлы счетной сетки движутся вместе с веществом и число ячеек сетки в каждой зоне остается неизменным, как бы ни сжимались сами области.
Задачи в которых неудобны как эйлеровы, так и логр нжевы координаты. Эйлеровы координаты оказываются неудобными в таких задачах, где рассматривается среда, состоящая из областей, заполненных вещесгвамн с разными физическими свойствами. Если в процессе течения границы таких областей передвигаются на заметные расстояния, т.е. контактная граница проходит последовательно через много счетных ячеек, происходит чисто вычислительное «размазывание» границы. Если не вводить в расчет эту границу явно (в виде отдельного математического абьекта), трудно указать, где имеется вещество одного типа, а где — другого.
Приведем примеры содержательных задач, в которых нас как раз интересует достаточно точная картина эволюции контактных границ и в которых эти границы заметно перемещаются в пространстве. й 23) РЕЩЕНИЕ ДеГМЕ»НЫХ Злллч глзаевй ДИИДМнКн 349 Задача о дифракции сильной ударной волны. Рассмотрим течение, особенности которого поясняет рис 40. По Г-образному каналу, заполненному газом, движется очень сильная ударная волна. В некоторый момент она выходит на границу твердого тела (заштрихованного иа рис. 40а), возникает сложное течение, основными объектами которого являются прошедшая и отраженная ударные волны в газе, ударная волна в твердом теле.
При этом возникает существенное искажение перво- начальной контактной границы, связанное с течением типа мощной струи (рис. 40б). Расчет пгщобных течений в координатах Эйлера затруднен тем, что определяющую роль в разви- Ударная Ря волна Ря»Р, тии явления играет имен- ' « б но форма поверхности, разделяющей разные гаРис.
40 зы. В эйлеровой системе эта поверхность «теряется», Трудности расчета в лагранжевых переменных связаны с существенными искажениями первоначальной геометрии лагранжевой сетки' при расчете течений с сильными деформациями. Дело е том, что в таких течениях происходит, так сказать, перемешивание вещества. Частицы газа, бывшие в начале процесса близкими друг к другу, стечением времени расходятся на большие расстояния: Наоборот, далекие вначале частицы газа могут сблизиться. Физически на движение частицы оказывают влияние лишь те частицы газа, которые в данный момент непосредственно примыкают к ней, (Этот факт связан с тем, что уравнения газовой динамики — это дифференциальные уравнения в частных производных.) В лагранжевых координатах близкими всегда считаются те частицы, которые были близки в начале процесса.
Это приводит к тому, что разностные формулы в лагранжевых координатах с течени- Задача о волнах на новерхностпи. Рассмотрим течение, возникающее вследствие неустойчивости тангенциального разрыва. Пусть при г = 0 линия у= 0 является линией разрыва в начальных данных; при у < 0 заданы постоянные значения н = и = О, р и р„при у> 0 — значения в = О, и > О, р и рз«рг (при у< 0 — покоящаяся вода, при у > 0 — воздух с горизонтальным «ветром»). Такое течение является стационарным решением уравнений газовой динамики («чистый» тангенциальный разрыв). Но если поверхность раздела сред немного возмутить, разовьется сложное течение с сильной деформацией поверхности раздела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
