Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Решить систему: сов х+ сов у = /3 л х+у =— 3 Решение. > во1хе (( сов (х) +сов (у) =впво(3),х+у4 Р1/3),(х, у)) 1 1 (х = — л — 2л Л4-, у = — я+2л 24-) 6 ' 6 Ответ: ( — — 2лп, — + 2лп), и е 2, 6 '6 9 6. Неравенства Рассмотрим решения типовых неравенств и систем неравенств.
Пример ([11), 9.022). Решить алгебраическое неравенство: 1 5 — + — < 1. 2-х 2+х Решение. > во1че (1/ (2-х) +5/ (2+х) <1, х); йеаЖапяе(-оо, Орел(-2)), йеа1йапде(Ореп(2), оо) Ответ; (-оо, — 2) н (2, оо), Пример ([11), 9.011). Найти целые решения системы неравенств: х — 1 2х+3 к х+5 + — <2 — —, 2 3 6 2 х+5 4-х х+1 1 — — + — < Зх — —. 8 2 4 Решение. Находим все множество решений системы и выбираем из него цвлыг значения: > во1че (( (х-1) /2-(2*х+3) /3>х/5<2-(х>5) /2, 1- [х+5) /В+ (4- х)/2<3*х-(х+1)/4),х)) ( — <хх<2) 7 9 Ответ: 1.
30 Глава !. Элементарная математика Ответ правильный, но решение не рациональное. В Мар)е имеется встроенная функция (зо!че, возврашаюшая целочисленные решения уравнений и неравенств. Решение последнего примера с ее помошью: > ' во1ое (( (х-1) /2- (2*к+3) /3+х/5<2- (х45) /2, 1 — (х+5) /8+ (4- х) /2<3 "х- (хе1) /4 ), х); (х =1) Пример ((11), 9.130). Решить алгебраическое неравенство, содержашее модул(я Зх 4-1! ~ с 3. х — 3~ Решение.
> во1ее (аЬв ( (3" х+1) / (х-3) ) <3, х) (4) ) йеа1йапде — о, Ореп~ — Л !,3Д / 4) Ответ; ~ -оа,— ), 3) Прекрасно решаются иррациональные неравенства. Пример ([71, 6.3,23). Решить неравенство: 'сс — 10*+*' * — 4. Решение. > во1ее (вчхс (24-10*х+х" 2) >х-4, х) Веа1йапде(-со, Ореп(4)) Ответ; (-со, 4). Особенно впечатляет безошибочное решение логарифмических неравенств, в которых логарифмы имеют переменные основания.
Примср ((11], 9.182). Решить неравенство: )оды(х' — 5х е 6) с 1. Решение. > во1ее (1осз [2*х) (х "2-5*х+б) <1, х) йеа!йапд Орел(0), Орел~ -Д Веа(Ванде(Орел(1), Орел(2)), Г1)') 1,2Д йеа! Ванде(Ореп(1), Ореп(2)) Ответ: О,-! с/(1,2) с/(3,6). ' 2/' Неравенства 31 Понятно, что рассмотренные возможности Мар!е оказываются очень полезными при решении задач с параметрами. Задача ([7[, 6.17.1). Найти все целые значения параметра Ь, при которых значение х = 2 удовлетворяет неравенству х — х з х — 3 2 < Ь'х' + х+2 Ь'х+ Ь вЂ” 1 Решение. > (х"3-х" 2) /(Ь 2*х"24х+2) <= [х"2-3) / (Ь" 2 "х+Ь-1) х — х з х — 3 2 < Ь'х'+х+2 Ь'х+Ь вЂ” 1 > аоЬа(х=2,$) < 1 1 4Ь' е 4 2Ь' + Ь -1 > заотче (Ъ, Ь) (Ь=-2), (Ь= 1) Ответ; ( — 2, 1). Задача ([7[, 6.17.7). Найти наименьшее целое значение а, при котором неравенство ах' + 4х — 1+ 2а > 0 выполняется при всех значениях х.
Решение. Данное неравенство выполняется при всех значениях х, если а > О и дискриминант с) < О. Находим целочисленные решения этой системы неравенств: > тао1че ( (4+а-2 "а" 2<О, а>О), а); (а = 2+ Л)И7-) Ответ: 2. Задача ([7[, 2.6.11). При каких значениях а корни уравнения удовлетворяют условию [х[< 1:Зах' е (За' — 12а' — !)х — а(а — 4) = 07 Решение. При а = О уравнение линейное и его корень х = О удовлетворяет заданному условию. Решаем уравнение при а х 0: > ао1че(3"а*х"2+(3*а"3-12*а"2-1)*х-а*(а-4) О,х); 11 -- а'+4а 3 а Требуем выполнения заданного условия и находим а: > ао1че((-3<2/а,1/а<3,-1<-а"2+4*а,-а 2+4*а<1),а); (а < йоо(О!(-1+ Л' — 4 л, 4.2360), йоо101( Е' — 4 л + 1,3.7320) < а) > а11ча1оеа(%) ) (2+ ГЗ < а, а < 2+Л) Ответ: О с/(2+ )'3,2+ Г5).
Глава (, Элементарная математока 9 7. Комплексные числа Комплексные числа х + (у вводятся в командную строку в виде х + у *!. Например, > 2+3*1; 2+ЗУ Действительная и мнимая части комплексного числа (функции комплексного переменного) находятся встроенными функциями Ве(1) и !гп(1), соответственно: > Не(2+3*1);1в(2+3*1); Как задается комплексно-сопряженное число, понятно из примера: > соазодасе(2+3*1); 2 — 31 Модуль и главное значение аргумента комплексного числа вычисляются встроенными функциями а!)3 и агдшпепг, соответственно. Например, > г: =1+загс (3) *1; а: = ! + У"~ 3 > а)>а (г); агяавепс (г) Они одновременно выводятся на листовое поле встроенной функцией ро!аг(г): > ро1аг (1+аягс (3) *1): ро!а 2, — к Как производятся алгебраические действия с комплексными числами, показывается на следуюцгих примерах: > (2+3*1) * (1+2*1) ) -4+ 71 > (2-1) /(1+1) г 1 3 — — — 1 2 2 > (1+1) "1сг Комппвксныв чиопв Значения функций комплексного переменного находятся встроенной функцией еча!с.
Например, > еча1с(соа(1+1)); соз(1) соз))(1) — ! з!и(1) з(п)((1) > еча1с (ехр (хеу" 1) ) е" соз(у) + !е" з!п(у) > еча1с(1"1) (чпм > яе (ехр (хеу*1) ): еча1с (%);1в(ехр(х+у*1) ): еча1с (%) е* соз(у) е" з!п(у) Встроенная функция еча!с возвращает только главное значение Й. Например, > еча1с ( (-1)" (1/4) '); — аГ2 и — ! Г2 2 2 Все значения "Гг находятся встроенной функцией !зо!че, как корни уравнения (о" = з. В частности, > и . "= (1 а о1че (и" 4 =-1, и, сопр1ех ) ); (Р: = [-.7071067812-,70710678!27, †.70710678124-.70710678127, .7071067812 †.70710678127,.7071067812+.7071067812!) Построение полученных значений на плоскости комплексного переменного: > изСЬ(р1оса):сопр1ехр1оо(и, х=-1..1, аеу1е=ро1сс, еуеЬо1=с1хс1е)1 Рис, 1,3. Глава 11 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ 9 1.
Основые построения на плоскости Возможности геометрических построений в Мар!е огромны, причем некоторые скорее относятся к художественному творчеству, чем к математике. Поэтому ограничимся только основными приемами построения и форматирования графиков. Допустим, вы забыли вид графика функции у = сов х, а надо срочно вспомнить. Тогда выполняете следующие действия. 1. Открываете командную строку.
2. Вводите аналитическое выражение, определяющее функцию. 3. Выводите его в стандартной математической символике. 4. Выделяете и открываете (щелчок ЛКМ по выделенному выражению) контекстное меню. 5. Находите в нем строку Р!о(, переходите по ней на 2-П Р!о( и щелкаете ЛКМ вЂ” в следующей вычислительной секции появляется график: > соз(х); соз(х) > звасор1ос (соз (х) ): Рис, 2.1 Такой способ построения графиков, через контекстное меню, называют зп)аг1-способом, а сам график — зп)аг(-графиком. Преимущества и'недостатки данного способа построения графиков очевидны. Надпись !.Ье в области построения графика указывает на то, что область действующая, то есть можно продолжить работу в ней. Нацример, можно построить график еще одной функции или удалить уже построенный гРафик.
ПУСТЬ НаДО ДОПОЛНИТЬ ЕЕ ГРафИКОМ фУИКЦНН У вЂ” З)П Х.. Т>ОГ((Д.;аяеоааДУ>И((УЮ КО- Осноеые построения не плоскости мандную строку вводится гйпх н выводится стандартный математический вид. Полученное выражение выделяется, берется мышкой (щелчок ЛКМ по нему, но кнопка не отпускается) н перемещается в область построения трафнка (ЛКМ отпускается) — область построения дополняется требуемым графиком. Ниже приведен соответствующий фрагмент листового поля: > звагср1ОС(соз(х))' Рис. 2.2 > зьс(х! з|п(х) Перемещение лучше проводить с нажатой клавишей <С!г!>, как копирование.
В противном случае перемещаемое выражение из последней секции будет удалено. Если требуется удалить график функции, то область выделяется (щелчок ЛКМ по ней), стрелкой курсора мыши указывается какая-либо точка графика и делается щелчок ЛКМ, но кнопка не отпускается, а проводится перемещение за пределы области, где, после того как ЛКМ будет отпущена, появится выражение, определяющее функцию, а график исчезнет. После удаления графика функции соз х таким способом получаем: Ряс.
2.3 Если в 5-м нз действий, перечисленных в начале параграфа, щелкнуть ЛКМ не строке 2-0 Р(о!. а по стрсхе Р!о! Вц!!бег, то поязляется всзможность с помощью спецназькой панели заранее установить значений основных параметров графика. 36 Глава И. Геометрические построения Стандартное построение графика проводится встроенной функцией р!о( (выражение, диапазон по горизонтальной оси, диапазон по вертикальной осн— необязательный параметр, цвет, толщина линий и т. д. — необязательные параметры форматирования).
Диапазон по горизонтальной оси (Ох) задается в виде х=хш[п..хшах. Если надо указать его и по вертикальной оси (Оу), что часто тоже необходимо, то х=хпнп..хтах,упнп..у(пах нли х=хпнп..хгпах, у=угп!п..ушах. Чтобы задать цвет, например зеленый, набирается со!ог=Кгееп. В Мар)е имеется 25 оттенков цветов (ге([, Ыие, ятеу, ...). Например, > р1ос (1/х, х=-3 .. 3, -3 .. 3, со1ог=огееп)» Рис.
2.4 Толщина линий графика определяется параметром 1[)[с[«паза, принимающим целые значения от О до 15, по умолчанию — О. Если вас значение О не устраивает, а нужно хотя бы 2, то во введенной функции р)о[ после со!ог=дгееп ставите запятую и набираете [Ыс[(пеев=2. Нажимаете <Еп(ег>, н график перестраивается заново, принимая установленное значение параметра Й!с[(пезз. Щелчок ЛКМ по графику заключает его в прямоугольную рамку с маркерами для изменения размеров графика. Подводите СКМ к маркеру — появляется двусторонняя стрелка, «хватаете» маркер мышкой и тащите в нужном направлении. Если после выделения графика — щелчка ЛКМ по нему, щелкнуть ПКМ, то появится контекстное меню для его форматирования.
С его помощью график можно заключить в рамку, убрать или сдвинуть оси координат, сделать график точечным и т. д. Немного тренировки, и графики будут строиться без проблем. Задача. Построить график функции у = х' + )5(х ~ — 6(. Решение, > р1ог (х" 2+аЬз (5*аЬз (х) -б), х -3 .. 3, -1 .. 10); График представлен на рис. 2.5.. Пусть требуется построить графики двух функций в одной декартовой системе координат. В атом случае во встроенной функции р[о1 определяющие их аналитические выражения или их идентификаторы объединяются квадратными скобками через запятую, так же задаются управляющие параметры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
