Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 3
Текст из файла (страница 3)
> ззмр11ку ( (а" 3-Ь" 3) / (а-Ь) ); а +Ьа+Ь~ > ехраоо((а-Ь]*(а"2+а*Ь+Ь"2)) Ьз > Гаскок(а"3-Ь"3) (а — ЬКа' ч- Ьа + Ь ) > покта1(у/х+1/(х"2)) ух +1 х > со11есо (х "2+3*х*2+4*х+4*х+у, х] ] 4х'+Зх+у > ззар11ку (2*а/аякс (а" 2), аззоое (а<0) ); > сомькое ( (х" (1/2] ) *х" (3/2) ) х' В Мар!е предусмотрена возможность — згпаг1-способ, используя контекстное меню, не заниматься набором наиболее часто используемых ключевых слов. Делается зто так.
Вводится выражение и выводится его стандартный математический вид, который с помощью мыши выделяется. После чего, когда СКМ находится на нем, делается щелчок ПКМ вЂ” появляется контекстное меню. Именно его вы видите на рисунке окна Мар!е !рис. 1.1). Устанавливаете СКМ на нужном ключевом слове и щелкаете ЛКМ вЂ” происходит выполнение выбранной команды. Главе й Эпементарная математика Пример.
Упростить выражение: с (5х)' — (7у)' 1 ~,, х' — 14х + 24 (5х) — (7у)' (5х) '+(7у) ') х — 2 Решение. Набирается заданное выражение, выводится его стандартный математический вид, выделяется и открывается контекстное меню. По команде з(тр1()у происходит упрощение и в следующей секции появляется результат: > ( ( (5*х) "3- (7*у] 3) / ( (5*х) 2- (1*у) "2) э1/ ( (5*х) " (- 1) ь (7*у) " (-1) ) ) * (5*хат*у)" (-1) э (х" 2-14*х-25+49) / (х-тэ5): 125х' — 343у' 1 + 25х' — 49у' 1 7 + 5 х у х' — 14х+24 5х+ 7у > яО : з1ир111у(((125*к"3-343*у"3)/(25*к"2- Л 9*у" 2) э1/ (1/5/х+1/1/у) ) / (5*хэ7*у) э (х 2-14* х+24) / (х-2) ) /70:= х — 11 Ответ: х — 11.
Перечисленные встроенные функции прекрасно упрощают алгебраические выражения с целыми степенями, но в случае рациональных степеней они, как правило, возвращают заданное выражение. Например, ни одна из них не упрощает выражение В частности, > з1вр11ху((х-у)/(эс(ге(х)эзясе(у))); х — у Поэтому, прежде чем упрощать алгебраическое выражение, содержащее степени с дробными показателями, надо встроенной функцией зц))з — подстановка перейти к алгебраическому выражению, содержащему степени с целыми показателями.
Пример ((111, 2,001). Упростить сГх+1 1 хГх+х+ Б" х'-.Гх' Апгебреические преобразования Решение. Вводится заданное выражение (как функ(4ия // и, чтобы проверить правильность ввода, оно выводится на листовое поле — рабочий лист в стандартной математической форме: > с с=( (впсс (х) 41) / (х*яясс (х) ахазс(гс (х) ) ) * (х" 2-вясс (х) ); ( Гх + 1)(х' — Гх) х"/" + х+ /х Все правильно. Переход к степеням с натуральными показателями и переобозначение: > дс=вцЬв (яс(сс (х) =а, х" 2 а" 4,х (3/2) =а" 3, х=а"2, с) ( (а +1)(а' — а) Ы:= а'+а'+а Упрощение: > ззвр111у(я)' а — 1 г Ответ: х — 1. Решение, для наглядности, расположено в трех вычислительных секциях, но рациональнее решать в одной: > с:= ( (ЯЧХС (Х) 41) / (Х*ВЧХЬ (Х) ВХ4ВС(СС (Х) ) ) * (Х" 2-ВЧСС (Х) ): яцьв (вясс (х) =а, х" 2=а" 4, х" (3/2) =а" 3, х=а*2, с): в1вр11су(%): а — 1 г Пример ((11), 2.002).
Упростить: ((()р 4~<~ )-г ( (4~р 4~(~)-г), ~ р ч Решение. > йс=(((Р"(1/4) Ч"(1/4))"(-2)г((Р"(1/4)ач"(1/4))"(- 2) ) ) * (р-с() / (вязе (р) вяс(сс (Ч) ) ); 1 1 ( о/4) о/4))г ( о/4) + (1/4))г) ,/,/ >сз:=вцЬв (Р" (1/4) х, Ч" (1/4) У, вясс (Р) х" 2, вясс (Ч) У" 2 Р=х"4, я=У" 4, с) х'+у' Алввбрвичвскив преобразования Решение.
Вводим заданное выражение и проверяем правильность ввода: > певпахп г х*аЬв (х-3) / ( (х" 2-х-б] *аЬв (х) ); х)х — 3! (х' — х — 6))х) Смотрим, что дает встроенная функция я!тр!(!у( > вгвр11гу (х" аЬя (х-3) / ( (х" 2-х-б) *аЬв (х) ) ]; х — 3 х х х — х — 6 г Если 0 < х < 3, то под знаком модуля отрицательное число, а если х < 0 или х > 3, то положительное. С помощью аввите задается условие 0 < х < 3, а с помощью встроенной функции принадлежности а)гои( проводится контроль правильности задания условия; > аввпяге(х>о,х<3)г апопо(х): Опид1па11у х, сепамеа х-: тв авяпягеа По Ье; Неа1папое (Ореп (О), Ореп (3) ) Промежуток изменения х задан правильно, можно упрощать: > вгвр111у(х/ (х "2-х-б) *аЬв ( (х-3) /х) ) ( х-ч2 Знак тильда - при х указывает на то, что на переменную х наложены ограничения.
Далее решение аналогичное. > х:= 'х' . "аввогпе (х<0): аЬопп (х); Охщатпа11у х, хепавеа х-: ая аввпвег( По Ье: Неа1иапче(-1п11п1пу,ореп(0)) > я1ыр11гу (х/ (х" 2-х-б) *аЬв ( (х-3) /х) ); > х: ='х'; аввшпе (х>3):аЬопп (х); Ос101па11у х, пепавео х гв аввовег( Ьо Ье: Неа1иапое(ореп(3),1пт1п1пу) > в1гар11бу (х/ (х" 2-х-б) *аЬв ( (х-3) /х) ]; 1 х -+2 1 1 Ответ: — —, если О < х < 3; —, если х < О или х > 3.
х+2 'х+2' Достаточно эффективно упрощает алгебраические выражения, содержащие степени с рациональными показателями, встроенная функция разложения в ряд зепез (выражение, переменная), применяемая по каждой переменной. 4"лава /. Элементарная математика Пример (1111, 2.02б). Упростить: ( 4 3 (БД, з ) з (з~=зз41 БЬ)4 фа')з (4/а (ь)Б Решение.
> ( (а" (4/3) ] " (1/5) )" (3/2) * (яс(гс (а* (а" 2'Ь) " (1/3] ] "4/ ( ( [а" 4] (1/5) )" 3* ( (а*яс(гг (Ь) )" (1/4) ) "6) ) ) (4/з))(з/~Б) з ( БЬ)(з, з) ( 4)(з/Б)( (Ь)(з/з] > яегтея (Ъ, а):яег1ея (Ъ, Ь) Ь(!/4?) и/Б) 1 Ответ: з(а Ь Е 3. Тригонометрические преобразования Естественно, в Мар)е заложены основные тригонометрические формулы: > 51Б4р11йу(соя (х] 2Б51п(х) "2); 1 > ехрапо(соя (хБу) ) ) СО5(Х) СО5(У) — 5]П(Х) 5(П(У) > ехрапп(язп(хеу))4 ЯП(Х) СО5(У) + СО5(Х) 5)П(У) > ехрапо(сап(хеу]); (ап(х) + [ап(у) 1 — [ап(х) [ап(у) > ехрапг)(сос(хзу))) со((х) со((у) — 1 со1(х) + со((у) > ехрапс((соя(2*х)); 2 соя(х)' — 1 > ехрапо(я1п[2*х)); 2 5)п(х) соз(х) > ехрапс((сап(2*х))4 [ап(х) 1 — (ап(х) 19 Тригоноа(вп) рическив преобразования > ехрапо(сос(2*х)) 1 1 со((х)' — 1 2 со((х) > совьапе (соа (х) "2) 1 1 1 — соз(2х) +— 2 2 > со1БЬ1пе (Бап (х) 2) 1 1 1 — — — соз(2х) 2 2 > ехрапс((соа (3*х) ) 1 4 соз(х)' — 3 соз(х) > ехрапц (Бвп (З*х) ); 4 5(п(Х) С05(Х) — 51П(Х) > сотЪ1пе (Бап (х) *соа (у) ) 1 1 — 5|п(х е у) + — 5|п(х — у) 2 2 > сопььпе (соа (х) "соа (у) ) 1 1 — соз(х — у) + — С05(х ч у) 2 2 > спец все (Бьп (х) *91 и (у) ) 1 1 1 — Соз(Х вЂ” у) — — Соз(Х + У) 2 2 Так что если вы забыли какую-либо из перечисленных формул, то ее легко получить.
Только надо правильно подобрать встроенную функцию, в противном случае возврац(ается исходное' тригонометрическое выражение. Например, > Бгер11су(91п(х)*91п(у))' 51П(Х) 5)П(У) Удивительно, но ни одна из встроенных функций не преобразует сумму тригонометрических функций в произведение, какие бы дополнительные параметры не устанавливались. В частности, > 91вр11еу(соа (х) Бсоа (у) ) г С05(Х) + С05(У) > Гассох (соа (х),1соа (у) ) Соз(Х) + Соз(У) го ! лава I. Элвмвнтврная матвматокв > совЬЬпе (сов (х) асов (у), Схьч, вусзЬо1) г соз(х) + соз(у) Этот пробел устраняется процедурами: > срсс=рсос(х,у) 2"сов((х+у]/2)*сов((х-у)/2] еос)( срс: = ргос(х, у)2 х соз(1 / 2 х х+1/ 2 х у) х соя(1 / 2 х х — 1/ 2 х у) епс)ргос > свсс=рсос(х, у] -2" з1п ( (хеу] /2) *выл ( (х-у) /2) епс( стех = ргос (х, у) — 2 х 5!п(! / 2 х х +1 / 2 х у) х 5!п(1 / 2 х х — 1 / 2 х у) еп(! ргос > врв:=рвос(х,у) 2 я1п ( (хеу) /2) *сов ( (х-у) /2) е ос(; яра = ргос (х, у)2 х 5!п(! / 2 х х +1 / 2 х х) х соз(1 / 2 х х — 1 / 2 х у) епб ргос > всзв: =рхос (х, у) 2*з1п ( (х-у) /2) *сов ( (хеу) /2] епс) ( зтз: = ргос (х, у)2 х 5!п(1 / 2 х х — 1 / 2 х у) х соз(1 / 2 х х +1 / 2 х у) еп() ргос Тогда, например, если надо свернуть в произведение сумму соз х + соз Зх, то > срс (х, 3*х); 2 соз(2х) соз(х) Имеет смысл добавить также формулы, выражаюшие 5!их и соз х через тангенс половинного аргумента: > всс=рхос(х) 2*Сап(х/2)/(1аяап(х/2)"2) епс(; 5(:= ргос(х)2 х (ап(1 /2 х х) / (1 + (ап(1 / 2 х х) 2) еп(] ргос > ссс=рхос(х) (1-Сап(х/2) "2) /(1ееап (х/2) "2) епо( с(:= ргос(х)(1 — (ап(1 /2 х х) 2) / (1+ !ап(1 /2 х х)"2) епс] ргос Теперь можно перейти к примерам.
Тригонометрические. тождества, как и любые другие виды тождеств, доказываются в Мар!е встроенной функцией (ез(е(). Пример (171, 3.1.2.) Доказать тождество: с!на — !на = 2с!а2а. Тригономегпрические преобразования Решение. > гезгеп(сог(а1риа)-гап(а1риа) 2*сог(2*а1рпа)); (гив Ответ. "тождество верно. Если такое рациональное решение, по каким-либо причинам, не устраивает, то можно преобразовать левую и правую части заданного равенства и убедиться, что они равны: > ятзр11бу (сог (а1рьа] -гап (а1рьа) ] ] -1+ 2 соз(а)' соз(а) ейп(а) > ехрапс((2*сот(2*а1рьа)) со1(сс) — 1 со1(а) > я1зр11ту (зо]>я (сог (а1риа) =соя (а1рьа) !зтп (а1рпа), а) ) — 1+ 2 соз(а)' сов(и) в(п(и) Пример ((111, 3.005.) Доказать тождество: а 5а сова + соя 2а + сов ба + соя Уа = 4 соя — соз — соз 4а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
