Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Например, > р1ос([х"2,х+1),х -3..3,-1..3,оо1ог [Ь1ое,ге«(1) « Полученные графики показаны иа рис. 2.6, Осноеые построения нв плоскости 1о / / / / l г .г а Рис. 2.5 Рис. 2.6 Задача. Фигура М состоит из всех точек плоскости, координаты (х; у) которых удовлетворяют неравенствам: З[х! < у < 2[х[ + 2. Изобразить фигуру М и найти ее площадь. Решение. Заменяем нес)прогие неравенства равенствами и строим линии, ограничивающие фигуру: > р1ог ( [3*аЬа (х), 2*аЬа (х) ~2), х=-3 .. 3); -3 -2 -1 1 2 3 и Рис.
2.7 Берем пробную точку (О, !), ее координаты удовлетворяют заданному неравенству. Следовательно, фигура и — часть плоскости, залитая серым цветом. Ее плои(адь находим как сумму площадей двух равных треугольни- 1 ков, симметричных относительно оси Оу: Б = 2 - — 2 2 = 4.
2 Ответ: 4. Графики функций, заданных параметрическими уравнениями х = х(г), у = у(г). строятся функцией р!о1, )с объединением квадратными скобками аналитических выражсе>н)ий заданных функций и диапазона изменения независимой переменной: 38 Глава ЕЕ. Гвомвтричвскив построения [х(Е), у(Е), Е = Еш(п..(тпах). Построим окружность единичного радиуса с центром в начале координат, заданную параметрическими уравнениями: > р1ов ( [сов (С), в1п (С), С=О .. 2*Р1), со1охввеб); Рис. 2.8 Траектория движения точки, отмеченной на обруче, когда последний катится без скольжения по горизонтальной прямой, называется цнклоидой. Параметрические уравнения циклоиды: х = г(Š— з!п Е), у = г(1 — сов (), где г — радиус обруча (окружности). При Е = 0 отмеченная точка имеет координаты (О, 0).
Построение циклоиды при г = 1: > р1ос ( (С-в1с ( с), 1-сов (С), С=-Р1 .. 3*Р1], -3 .. 10, О .. 2, С> с1е 'циклоида'); цикпоида Рис. 2.9 Циклоида имеет ряд замечательных физических свойств. Она одновременно является брахистохроной — линией кратчайшего времени (см. гл. 1Ч, $ 3) и изохроной — линией равного времени. Последнее свойство состоит в том, что в поле силы тяжести время, за которое материальная точка (шарик) пройдет путь по перевернутой арке циклоиды из состояния покоя до точки минимума, не зависит от исходного положения материальной точки. Графическая иллюстрация — рис.
2.10. Для изохронной линии Е(А, С) = Е(В, С). Если обруч (окружность) катится не по прямой, а по окружности, радиус которой равен радиусу обруча, то отмеченная точка движется по линии, которая иавываетсв кардноидой. °:.-.~(Ж(( -. 39 Осноеые построения не плоскости Рис. 2.10 Параметрические уравнения кардиоиды прн г = 1; х = 2со51 — со521, д = 2 5)пг — 5(п 2Д Проведем построение графика: > р1ок ( (2*сои (С) -соз (2*С), 2*зги (С) -зад (2*С], С=о .. 2*Р1), 41с1е='кардиоида'); кардаоида Рис.
2.11 В случае, когда обруч !окружность радиуса г) катится по окружности радиуса 4г и находится внутри ее, отмеченная точка описывает астроиду. Пара- 1 метрические уравнения астроиды при г = —: 4 3 1 1 31 Х = -СО5-+ -СО5 —, 4 4 4 4 3, 1 1 31 У = — 51П вЂ” — — 5!П вЂ”. 4 4 4 4 Построение астронды; м ' Ф1ос ( (3/4*сои (е/4]+1/4есоз (з*с/4), 3/4 "з1а (с/4) - 1/4*з1п(зас/4], „Д3~ 'азад!, 91с1з 'асзроидач] а Глене Н. Геометрические построения астроида Рис. 2.12 Параметрические уравнения астронды, по которым она строилась, можно упростить: > з1пР11сУ(3/4*соз(С/4) 41/4*соз(3*С/4),Сс1Ч); соз -( > зьмр11су (3/4*зьо (1/4) -1/4*з1и (3*С/4), Ссьо); з)п ( — 5!и ( соз Поэтому чаще она задается в виде ( х =асов („ у = а 5(п а Точки таблично заданной функции строятся так же, как график функции заданной параметрическими уравнениями, но с заданием дополнительных параметров: з(у!е=ро(п1, зуп)Ьо!=Ьох.
Последний параметр — необязательный, значение Ьох, при котором точки изображаются квадратиками, выбрано из списка опций, с которым можно ознакомиться через контекстное меню. Перед набором функции р1о( задаются векторы значений'функции. Основые посгпровния нв ппоскосгпи Задача. Построить точки (Х, У) таблично заданной функции: Решение.
Задаем вектор значений переменной Х и проверяем правильность ввода, выводом на листовое поле значения х,: > сезоасС:х."г гео~ ос(12, 4, б, В, 10] ); х: = 12, 4,5,8,101 > х 11]; То же самое делаем по другой переменной: > у:=ееосос (13, 5, 4, б, 5] ); у:= )3,5,4,6,51 > у)1) Строим заданные точки: > Р1ос ) )х 11], У 11], 1=1 .. 5], х=1 .. 10, 0 .. 7, зСУ1ебРо1ьС, аУтпЬо1=Ьох); Рис. 2.)3 При построении графика функции, заданной в полярных координатах, в списке параметров указывается соог)]з=ро!аг. Построим, например, трехлепестковую розу г = з)п 342: > Р1ое ( )еап (3*х), х, х 0 ..
2*И), ооохаз, Ро1ах); Главе И. Геометрические построения Рис. 2.14 Если вы забыли, какой вид имеет график функции, заданной в полярных координатах уравнением г = сов со, то легко вспомнить: > р1ог ((соа (х), х, х=о .. 2*рг), соогс(а=ро1аг, со1ог=Ь1се); 04 0.2 -0.2 .0.4 Рис. 2.15 Это окружность радиуса 0,5 с центром в точке (0,5; О). Функции, заданные несколькими аналитическими выражениями, например, х', хь0, 1(х)= 1 — х,0<х<2, 1, х>2. вводятся, как уже говорилось, с помощью встроенной функции р!есегч(зе (условие1, 'выражение1, ..., условие К, вь)ражение К), причем каждое следую- и(ее Условие по Умолчанию еаРаведливо длл л(вх значений'иеРеменнс(+ ко1по- Дополнительные построения на плоскости рые не удовлетворяют предыдуи!ел)у условию.
В частности, задание функции ~(х) в виде > Гс=рьееееаее !х< О, х" 2, х<=2, 1-х, х>2, 1) с х' х<0 — 1 — х х<2 1 2>х позволяет построить ее график: > р1ос(с,х=-1..3)с Рис. 2.)6 9 2. Дополнительные построения на плоскости Все построения предыду)него параграфа проводились графической функцией р!оц встроенной в ядро системы Мар!е. Посмотрим, каковы возможности графических функций пакета р!о!з. Открываем пакет; > е1СП)р1оее)с ! апина!е, ашта!еЗс1, ап!та!есиг)се, алою, сйапяесоогйз, сотр1ехр!ос, сотр!ехр1о)Зй, согрогта1, соп!огта!3й, сопсоигр1ос, сопсоигр!о!Зй, соогйр1ос, сесар!осЗй, су!!пйегр1ог, йепзсгур1ос, йсзр1ау, й!зр1ауЗйЦ~е1йр1ог, '1се1йр1о!Зй, ягайр1ог, ягайр1о!Зй, ягарйр!о!Зй, !тр1!с!ср1ог, !тр!ссйр!осЗй, !пес!иа!, !псегасг!ссе, , !сз!соп)р!ог, !!з1сопгр1о!Зй, 1!з!йепз!)ур1ог, !сзгр1ос, 1а!р!осЗй, 1оя!ояр1ос, !сир!о!, таг пр1ог, ойер1ос, риге!о, р1оссотраге, ро!пгр1ог, рот)р!осЗй, ро!агр1ос, ро!увопр1ог, ро!уяопр1о13й, ро1уйейга зиррог!ей, ро!уйейгар1ог, гер!ос, гоог!осиз, лет!!одр1ос, зесор1юпз, зесорпопзЗй, зрасесигее, зрагзета!пхр1ог, зрйегер1ог, ЗиСдесагал МХЗр1ОЕ, СЕ)ар1ОСЗй, СиЬЕр)ОГ '! Глава Гд Геометрические построеноя Выделив любую функцию списка и нажав <Е1>, пользователь попадает на страницу системы Не!р с ее описанием и примерами применения.
Поэтому на всех графических функциях пакета останавливаться не будем, а рассмотрим только наиболее часто используемые. Графическая функция !пе()ца! пакета р!о1з избавляет пользователя от необходимости самому находить и выделять области плоскости, определяемые системами линейных неравенств. Пусть требуется построить замкнутую область, заданную неравенствами: х + у < 1, х > О, у > О. Тогда графическая секция построения имеет вид; > ктгь(Р1ога): 1печпа1((хау<=1,х>=о,у>=0),х=-1..2,у=-- 1,,2)) Рис. 2.17 Если цвета заливок внутренней и внешней областей, предлагаемых по умолчанию, не устраивают, то они изменяются параметрами ор1!опз!еаз(Ые и ор(!опзехс!0(!е((, соответственно.
Например, > 1печоа1 ( (хау<=1, х>=0, у>=0 ), х=-1 .. 2, у=- 1 .. 2, орг1опагеаааЬ1е= (со1ог=гас), орсгогаехс1оцец= (со1ог=чгеу) ) ) Рнс. 2,18 Дополнительные построения на плоскости Цвета прямых, ограничивающих область, устанавливаются параметром ор(!опас!озе((, если она замкнутая, и параметром орйопзореп, если она открытая. В данном примере область замкнутая и, в частности, голубой цвет устанавливается следующим образом: > апеппа1((хву< 1,х> О,у> 0),х=-1..2,у=- 1 ..2, ореьопвтеав1о1е- (оо1опгсео), орььопвехо1ипец= (со1ос-чгеу), орььопвс1овеб- (со1ог )>1пе, Сиьсипевв=2) ); Рис. 2.19 Графики неявно заданных функций строятся графической функцией (тр!(сйр!о(.
Построим, например, с ее помощью гиперболу х' — у' = 1: > иапо (р1опв): ыар11сьгр1оо (х" 2-у" 2=1, х=-2 .. 2, у=-2 .. 2); Рис.'2.20 Плоская линия называется лемнискатой (овалом Кассини), если для каждой е точки М произведение расстояний до двух фиксированных точек г, и г",— рокусов есть величина постоянная. Глава Гд Геометрические построения Пусть координаты фокусов ( — а, 0) и (а, 0). Тогда уравнение лемнискаты [(х — а)' + у'И(х+а)' + у'] = р', где р = сопа1. Лемниската, соответствующая р = а, имеет форму восьмерки и наэывается лемнискатой Бернулли.
Построение лемнискаты Бернулли при а = 1: > иьес(р1сез):двр11с1СР1сС( ( (х-1) "2+у" 2) * ( (х+1) "2+у" 2) =1, х=-1.5..1.5,у -0.5..0.5); Рис. 2.2! Построение в окрестности точки (О, 0) не доведено до конца. Понятно, что точка (О, 0) принадлежит лемнискате Бернулли. Построение лемнискаты при а=1,р' =09: > ьвр11с1Ср1сС ( ( (х-1) "2+у" 2) " ( (х+1) "2+у" 2) =О. Э, х=— 2..2,у=-0.5..0.5)) Рис. 2.22 Построение лемнискаты при а = 1, р' = 1,5: > 1пр11с1СР1сС ( ( (х-1) "2+у" 2) * ( (х+1) "2+у" 2) =1. 5,х-- 2 ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
