Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2 2 Решение. Для крап)коси(и набора произведена замена а на х. >гезгеч (соя (х) +соя (2*х) +соя (б" х]+соя (7*х) =4*соя (хт2) *соя (5*х/2) *соя (4 "х) ); (гие Ответ: тождество верно. Доказательство, преобразованием левой части: > срс(х,7*х)+срс(2*х,б*х]; 2 соз(4х) соз(Зх) + 2 соз(4х) соз(2х) > тасгот(Ъ)) 2 соз(4х)(сов(Зх) + соз(2х)) > зп]зз (соя (3*х) +соя (2*х) =срс(3*х,2*х], %) 4 соз(4х) соз~- ху(соа)г — х (,2 ) ~,2 22 Гпааа (.
Элементарная математика Пример (1111, 3.005.) Вычислить 2 — 13 соз 2а + з(п 2а, если с(да = — —. -! 1 5 Решение. > яоЬя (сов (2*х] =ос (2*х), в1п (2*х) =яь (2*х), 2-13*сов (2*х) е1/я1п (2*х) ); 1 13(1 ( ( )я) — (1+(ап(х) ) 2 1+ (ап(х)' (ап(х) > яоья(сап(х)=-5,%): 57 Ответ: —. 5 9 4. Алгебраические уравнения Встроенная функция, предназначенная для решения уравнений и неравенств„имеет вид; зо1че(уравнение или неравенство, переменная), причем в случае уравнения (неравенства) с одной переменнои нмя переменной можно не указывать.
Пример ([11), 6.001). Решить алгебраическое уравнение; х'+1 х — 1 — — = 23 х — 4 х+3 Решение. Вводится заданное уравнение и проверяется правильность ввода: > (х" 2+1) / (х-4) — (х" 2-1) / (х+3) =23; х' +1 х~ — 1 х — 4 х+3 Ввод уравнения проведен правильно. Нахождение корней: > яо1ое ($) ) — 55 —,5 16 Ответ; —,5 . Компактное решение этого же уравнения: > во1че ( (х "2+1) / (х-4) - (х" 2-1) / (х+3) 23); -55 —,5 16 ' 23 Алгебраические уравнения Пример ((11], 6.002). Решить уравнение с параметрами: Ь а — + — =2 х — а х — Ь Решение. > Ь7(х-а)«а/(х-Ь)=2г Ь а — «- — = 2 х — а х — Ь Так как переменных несколько, то необходимо указать переменную, относительно которой реьиается уравнение: > ао1че(ь,х)г 1 1 Ь+ а,-Ь+-а 2 2 а «-Ь1 Ответ; а + Ь, ). 2 ) Еще проще решаются уравнения зп)аг(-способом — через контекстное меню: !) в командную строку вводится уравнение и находится его стандартный математический вид (как при проверке правильности ввода); 2) щелчком ПКМ по выделенному стандартному математическому виду открывается контекстное меню; 3) после щелчка ЛКМ по строке Яо!че (или, если переменных несколько, по нужной переменной строки 5о!че Е()иа((оп 1ог а Чаг!аЫе) в командной строке следующей секции появляются корни.
Пример. Решить уравнение: 5х' +)х «-7( — 13 = О. Решение. > 5*х" 2+аЬа (х«7) -13=0; 5х' +(х+ 7( — 13 = 0 Используя контекстное меню, получаем: >К2:= ао1че ((5*х" 2+аЬа (х+7) -13 = О) ) ' -6 )72:=(х =1),(х = — ) 5 Сделаем проверку: > аоЬа(х=1,5*х"2+аЬа(х«7)-13 )г -8 + )8( > аиЬа(х †/5,5*х"2+аЬа(х«7)-13 ); Ответ: 1,— Глвев 1. Элементарная мвтемвтикв Пример. Решить уравнение: )х+ 1! — 3 =1 (х~ — 2 Решение.
> (аЬе (х+1) -3) / (аЬв (х) -2) 1; (х+1! — 3 =1 )х! — 2 Через контекстное меню получаем не решение уравнения, а решение неравенства: > ЕЗ := ао1че(((аЬа(х+1)-3)/(аЬе(х)-2) = 1))) /73: = (х < 2, 0 < х), (2 < х) Откуда делаем вывод, что корнями могут быть только числа О, 2. Значение 2 отбрасываем, так как оно не входит в ОДЗ. Проверкой убеждаемся, что х = О корень уравнения.
Ответ: (О). Пример ([11], 6.033). Решить иррациональное уравнение: Л5 — х + чЗ вЂ” х = б. Решение (зшаг(-способом). > загс (15-х) +аагс (3-х) =Б; ~/1 5 — х + БАГЗ вЂ” х = б > ВЛ с = ао1че ( ( (15-х) " (1/2) + (3-х) "(1/2) = б) ) Р4:=(х=-1) Ответ: -1. Пример ((1! ), 6.037). Решить уравнение: б+Б+6 — Л = 2. Решение (ашаг(-способом). > (1+ас(гс (х) ) (1/3) + (1-еЧгь (х) ) " (1/3) 2; 0 + Гх)о/а) е 0 Г)о/а) — 2 > К5 с ео1че (( (х" (1/2) +1)" (1/3)+ (1-х" (1/2) ) " (1/3) = 2) ) ссб:=(х = О) Ответ: (О).
Пример ((11), 7.236). Решить логарифмическое уравнение: 3!а(х ) — !д~( — х) = 9. /(павбраичвские уравнения 2б Решение (зп)аг1-способом). > 3*1о910 (х" 2) — (1о910 (-х) ) "2 9; !п(х') !п(-х)' !п(10) !п(10) > НО: = ео1че ( (3*1п (х*2) /1п (10) -1п (-х) "2/1п (10) "2 = 9) ) йО: = (х = — 1000), (х = -1000) Ответ: (-1000). Пример. Решить показательное уравнение: 5"и — 2 9' ' = 4 5" + 3'" '.
Решение. Применение контекстного меню приводит к специфической функции йоо(О~, представляющей все корни уравнения, включая комплексные. Для ее преобразования используется процедура а1!иа1иез4 > 5" (х+1) -2*9" (х-1) =4*5 "х+3" (2*х-1); 5ыхо — 2 9'"" = 4 5" + 3~"" > Н1:- зо1че((5" (х+1)-2*9" (х-1) = 4*5"х+3" (2*х-1) )) И: = (х = йоо101(-5'-"о + 29'-г " + 45-' + 3"-' и)) > а11ча1пее(%)! (х = йооЮ!(-5( ~'и + 29( ~ ') + 45 + 3( ", !.000000000И Ответ: 1.
Аналогично через зо!че решаются системы уравнений, только уравнения, как и неизвестные, вводятся в виде множеств — в фигурных скобках. Пример ([11), 6,075). Решить систему уравнений: ( х'у + ху' = 5, ху+ х+ у = 5. Решение. > ео1че ( ( х" 2 * у+х*у" 2 б, х* у+хну 5 ), ( х, у ) ) (х = 2, у = 1), (х = 1, у = 2), (х = -йооЮК Ле — 2 2+3)+ 2, у = йоо10Й л~ — 2 Я+ЗН Так как функция йоо101 зависит от квадратного трехчлена с переменной Е, не имеющего действительных корней, то действительных решений системы только два.
Отдй : ((2, 1). ( 1, 2)). 26 Глава I. Элементарная математика 9 5. Тригонометрические уравнения До тех пор пока не установлено (набрано) ЕпчА(15о!ц()опз:=1гце, встроенная функция зо1че возврашает пользователю только одного представителя корней заданного тригонометрического уравнения. После данной команды она возврашает все множество корней для каждого тригонометрического уравнения. Например, > яс1че(ятп(х)=122,х); > епчА11зс1псаспя:=стпе:яс1чя(яап(х)=172,х) 1 2 — к+ — к В! -+2к 2(в 6 3 Форма о~вета — необычная, но корни уравнения найдены правильно, Здесь и далее, независимо от индекса, переменная В принимает значения из множества (О, 1), а значения Х принадлежат множеству целых чисел.
В чем нетрудно убедиться с помошью встроенной функции принадлежности аЬоц1. Таким образом, полученное множество корней уравнения можно разложить в две серии к 5к — +2кп, — +2кп 6 * 6 и записать в привычном виде ( — 1) +кл, и еЯ, 6 Следующий пример, по всей видимости, вопросов не вызовет: > яс1че (соя (2*х) =О, х) ) 1 1 — к+ — к с2- 4 2 Рассмотрим решения типовых тригонометрических уравнений. Пример ([11], 8.035). Решить тригонометрическое уравнение: 3 з!и' 2х+ 7 соя 2х — 3 = О. Решение. > яс1че (3*я) и (2*х) "2 е7*сся (2*х) -3=0, х) 1 1 — — к+ к ЛЗ-, — к+ к 24-, — агс(ап( — И10, -у(+ к 25-, 4 '4 *2 )3 З~' 1 (-2 г — 71 - агс1ап~ — !ч10, -у(+ к х,5- 2 ~З 'Зу' Первые две серии решений можно записав(в в виде: Триеонометрические уравнения — (2п+!), и и 2.
4 Третья и четвертая серии решений содержат мнимую единицу I = в('-1, то есгпь' эгпи серии комплексные и в ответ не входягп. л Ответ: — (2п +1), и е Е. 4 Пример ((11), 8.123). Решить тригонометрическое уравнение: з!и Зх — 4з!их сов 2х = О. Решение. > яо1че (яво (3 х) -Ч*ято (х) *сов (2*х) =О, х); 1 5 1 и+2л 26-, 2л Л7-, — — к+2л Еб-, — — к+ 2л Яб-, — л+2л 29-, б 6 6 5 — л+ 2л 29- 6 Первые две серии решений записываются в виде лп, третья и шесл л тая — в виде — — + лп, а четвертая и пятая — в виде — + лп. б б Ответ: лп, — (ба +1), и и Л.
б Посмотрим, отбрасываются ли в тригонометрических уравнениях посторонние корни. Такими в следующем примере являются значения 2лп, и е 2. Пример. Решить уравнение: з!и 2х = 2з!их. 1 — соз х Решение. > яо1че (ято (2*х) / (1-соя (х) ) =2*яао (х), х); 1 1 к+ 2л 23-, — л '-2л 24-, — — л е2л Я4- '3 ' 3 Посгпорокних корней нет. Ответ: л+ 2лп, 2лп х —, и и 2. 3' Пример. Решить иррационально-тригонометрическое уравнение: ч( — 2* -.Гб Решение. > яо1че (ячвв (2-соя (2*х) ) вчвв (б) *соя (х), х) г 1 2 — л — — л ВЗ-+ 2л Л17» 3 8 Глава 1, Элвмантарная математика 28 Подстановки ВЗ = 0 и „ВЗ = 1 даю(и две серий решений: л л — +2лп, — — +2лп, иеУ. 3 ' 3 Ответ: ч- — + 2лп, и и Л.
3 Удивительно, тригонометрические уравнения, содержащие модуль, не решаются или выдаются не полные ответы, но если модуль вводить через квадратный корень, используя формулу (х) = чх', то — решения идеальные. Пример. Решить уравнение: )я(п2х( = соях. Решение 1 — не полное: > геясягс: Епчл11яо1пьвопв: Схпе: яо1хе (яья (я1п (2*х) ) =соя (х), х) г 1 1 — — я+2л Л1-, — л+2л Е2- 2 '2 Решение 2 — полное: > яо1яе (яягя (я1п (2*х) "2) сов (х), х); 1 1 1 ! — — и+2л х,1-, — л+2л Я2-, — — л+2л 23-, — л+2л Л4- 2 2 6 б л л Ответ: + — + 2лп, + — + 2лп, и и 2. 2 ' 6 Пример !171, 4.23.2).
Решить уравнение: 5я!п х+8соях+1 = Реях(+ соя~ х. Решение. > яо1хе (5*я1п (х) "2+8*сов (х) ь1=вяяс (сов (х) "2) +соя (х) "2, х)," 2 2 — л+ 2л 29-, — — л+ 2л Я9- 3 ' 3 агс!ап~ — — 98 — 14~Г!933, — + — ~/193 + 2л .с1О- ('1 7 1 112 12 12 агс!ап — — -98 — 14!1933, — + — Л93 + 2л ЛО- 1 7 1 12 12 12 Третья и четвертая серии решений комплексные. 2 Ответ: л — и+ 2лп, и а х.. 3 Нвраваноп)аа Возникает следующий вопрос, находит ли встроенная функция во1уе корни систем тригонометрических уравнений? Ответ положительный. Пример ([7), 4.29.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
