Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 10
Текст из файла (страница 10)
4, сьасмоеез=2) ) Рхс. 3.3 Ответ) к .2,6 — точка р4)зря())а первото.))ода. )[4ап)емап)цчвск(лу анализ Находить производные и неопределенные интегралы проще всего зшаг[-спок сабом — через контекстное меню. 1. Вводится аналитическое выражение, определяющее функцию. 2. Выводится стандартный математический вид. 3. Обычным образом открывается контекстное меню. 4. Стрелка КМ устанавливается на строке П((егеп[[а[е или 1п[ейта(е соответственно. 5, В появившемся списке переменных, по которым можно произвести зто действие, выбирается нужная. После щелчка ЛКМ по ней появляется результат. Выглядят перечисленные пункты «устрашающе«, но на самом деле все они, может быть кроме первого, выполняются просто н быстро.
Что получается, если находить производную и неопределенный интеграл от функции х' таким способом, показано на следующем фрагменте листового поля: > х"2( > НО: «[111 [х 2~ х! 1«0: = 2х > Н1:= 1пС [к"2,х) з )«1: =— 3 Задача ([7), 9.2.12). Вычислить производную в заданной точке: ((х) =, х = О соз х Решение. Набираем аналитическое выражение данной функции и зтагт-способом находим производную: > хевсвхв: (х"2+1+в1п [х) ) Усов [х) ) х' +1+ зш(х) соз(х) > ко:= а1Ех((х"2+1+вас(х)) /сов (х),х) ( 2х+ соз(х) (х' +1+ мп(х)) з[п(х) соз(х) соз(х) Подставляем х б и вычисляем результат: > всов (х О, %): еча1т ($) ю ° Главе! О.
Высшая математика Встроенная функция дифференцирования й((((, х). В частности, > с)ать(х"2,х]; Производная к-го порядка ("~(х) находится как Й((((, х3)(). Например, > байи(х"2,х$2); Встроенная функция Й(! применима и к функциям нескольких переменных. д'~(хн..., х„) В виде ()(((((,х,3)(н...х„3)(„) вычисляются частные производные дх, ...
дх„" глеб, +...+Й„=й. Задача ((4!, 7.80). Показать, что ди ди ди 3 + дх ду дг хч-у+г' если и = !п(х + у + г — Зхуг). Решение. > о:=1о(х"3+у"3+х"3-3*х*у*х) и: = )п(х' е у' + г — Зхуг) > зьер1ьву (с)айг (о, х) +с)ьте (о, у) +с)ьи (о, х) ): 3 х+у+г Задача. Дана функция г = у~ †. Показать, что Ру 1х 2 2 Ог здг х †, — у †, = О.
дх' ' ду' Решение. > х:=у*зяте(уух); > х" 2*с)агат (х, х$2) -у"2*бьат (х,'у$2): ! ! у у +— -х — х' — х' 77 Мвтвмвтический анализ > вегаев(а,х):вехьев(в,у) г Наибольшее и наименьшее значения функции 7(х) на заданном промежутке [а, Ь) находятся встроенными функциями гпах(гп!зе(1, х=а..Ь) и п)!и!п)!ге(1, х=а..Ь), соответственно. Если требуется получить и координаты точки, в которой принимается такое значение, то в списке параметров добавляется 1оса1!оп или 1оса(!Оп=!гие. Задача ([11[, 15.157). Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке; х 1 1 ( — к к1! 7(х) = — — — яп2х+ — соз' х — созх,~ —; — ~. 2 4 3 ~2 2~ Решение. > его1еьве (х/2-вг о (2*х) /4+сов (х) "2/3-сов (х), х=- 81/2 ..
81/2) 1 — — гг 4 > еах1ваве (х/2-вас (2*х) /а+сов (х) "2/3-сов (х), х=- 81/2 .. 81/2) 1 — Я 4 Ответ: ппп/ = — —, гпах/ = —. 4 4 Экстремумы функции нескольких переменных находятся встроенной функцией ех(гегпа(аналитическое выражение,(),(переменные)). Задача ([4[, 7.192). Найти экстремумы функции двух переменных: г = х' + Зху' — 15х — 12у. Решение.
> ехсвееа(х"3+3*х*у"2-15*х-12*у,(),(х, у)); (-28, 28) > во1че ( (о1ГГ (х" 3+3*х*у" 2-15*х-12*у, х) =О, 61ГГ (х" 3+3*в*у*2-15*х12*у, у) О, х" 3+3*х*у" 2-15*х- 12*у=-28) ); (у=!,х=2) > во1че ( (г)ьсв (х" 3+3*х*у"2-15*х-12*у, х) =О, Сггг (х" 3+3*к*у"2-15*х- 12*у,у)=о,х"3+3*к*у"2-15*х- 12*у=28)); (х =-2,у = — 1) Ответ: -28, 28. Задачи на условный экстремум решаются этой же встроенной функцией, с ука,, в фнгурнык скобках ограничений на переменные.
Глава И Высшая ивтвматика Задача ([4), 7.209). Найти условные зкстремумы функции: и = хуг, при х+ у+ г = 4, ху+ уг+ гх = 5. Решение. > ехсхееа(х*у*х,(х+у+х=л,х*уьу*х+х*х=5),(х,у,х)) (2, 50) '27 > ео1ье((к*у*в 2,х+у+х 4,х*уьу*х+х*х"5),(х,у,х)) (г=1у=2х=1), (2=1у=1х=2), (г=2у=1х=1) > водиле((х*у*х=50/27,к+у+в=4,х*уьу*хьх*х-5),(х,у,х)); 5 2 5 2 5 5 5 5 2 (г =-,у =-,х =-), (г =-,у=-,х= — ), (г = —,у =-,х= — ) 3 3' 3 3' 3 3 ' 3' 3 3 Ответ: 2,— Встроенная функция интегрирования )п(. Конструкцией )п((Кх),х) вычисляются неопределенные интегралы: ) 7(х)дх, С=О.
Например, > з.пс(х"2,х); з х 3 Конструкцией!п1(1(х),х=а..Ь) вычисляются определенные интегралы ь ) 1(х)дх. а Например, > апе(х 2,х 1..3) ь Разберем решения типовых задач.на интегрирование. Задача ((11), 15.273). Найти плошадь фигуры, ограниченной линиями: 5 у= —, у=б — х. х Решение. Строим заданные линии и определяем фигуру, ллоа4адь которой надо вычислить: > р1ос((5/х,в-х), х -6..6,-5, .6) ", Матеыатический анализ Рис.
3.4 Находим абсциссы точек пересечения графиков функций: > ео1че(5/х б-х,х); 5, 1 Вычисляем плои(адь: > 1оо(б-х-5/х,х=1..5); -5 1п(5) + 12 Оцениваем результат: > еча1т (ч) ' 3.952810440 Ответ: =4. Задача (14), 5.482). Найти площадь петли кривой х = 2( — (2, у = 2(' — (~. Решение. Введем заданные функции и построим петлю: > х:=т-> (2*т.-т" 2) ) у:=Ь->2*Ь" 2-Ч" 3) х:= (-+ 2( — (~ у:= (-> 2(~ — (~ > р1ог([х(Х),у(Т),Ь -5..5),х — 2..2,-2..2) Рхы 3.6 Во Глава И Высшая мата(иатика Рисунок 8.5 «подсказьгвает», что точка самопересечения графика функции имеет координаты (О, 0) и соответствует значениям 1 = О и ( = 2, При изменении 1 от О до 2 петля обходится против хода часовой стрелки.
Интегрируя в противоположном направлении, найдем площадь петли: > аос (у (с) *с(155 (х(с), с), 5=2..0) г 8 Ответ: —, 15 Задача ([4), 6.485). Найти площадь фигуры, ограниченной (в полярных координатах) кривой: г = а 5(п 5<р. Решение. Принимая а =1, строим заданную линию; > р1ос ( (зао (5" с ), с, С=О .. 2*Р1], соотг(з=ро1ас) г Рис. З.б Вычисляем площадь одного лепестка; > а" 2/2*аос (вто (5*5) "2, С=О .. Ра/5); « — а к 20 ка Ответ: —.
4 Задача ((4), 6.504). Найти длину петли кривой х = 1, У = г(- — Г ). 1 3 Решение. Вводим заданные функции и строим график: > сеасасс: х: =с->с" 2« у: =с->с* (1/з-с" 2) ) (1 у.— г-> г (,з Математический анализ > Ртое ( (х (С), у (С), С=-2 ..
2), х=-1 .. 1, -1 .. 1) Рис. 3.7 1 График помогает найти значения ( = + —, которым соответствует точка ,Гз ' самопересечения петли. Остается применить формулу вычисления длины дуги: > хпс (зясС (с(асс (х (С), С) "2+с(( Вс (у(С), С) "2), С=-1/зпхС (3) .. тузясС(3) ); ,Гз Ответ: — Гз. 9 Разберем на задачах вычисление несобственных интегралов. Задача ([4], 6.416). Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость): !ч-2х , х (1+х) Решение.
> вне ( (1+2*к) / ( (х" 2) * (1+х) ), к=1.. Ьпсапвху) !+2х Ых , х (1+х) Применяем встроенную функцию еоаЦ, вторь(м параметром задаем число значащих цифр результата: > еча1Г($,3)7 1.69 Ответ: . 1,69. Глава у!. Высшая матвматика Задача ((4), 6.436). Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходиыость): дх ~6 — ' — 8 Решение. > 1пС(1гзпгь (б*х-х 2-8),х=2 ..4) 4 дх »/6 — ' — 8 > е ~а1Е($, 3) г 3.14 Ответ; =3.! 4.
Задача. Трактриса х = а(сов Г+ !и гу-), у = а в|и г вращается вокруг оси 2* абсцисс. Найти площадь получающейся поверхности. Решение. Вводим заданные функции ггри а = 1 и строим трактрису: > хг=с->сов (с) +1п(сап(с/2) ) гуг=с->выл (с) г ('1 1 х: = г — )' сов(г) +!и (ап~ г '),2 у:= сйп > р1ог ((х! С), у(С), С=О.. Рд),х=-2..2, -1.. 2); г.б- Ряс. 3.8 На рисунке дополнительно построена касательная к произвольной точке трактрисы. Лараметр à — угол, образованный ею с положительнмм на- Повврхностныа интегралы правлением оси Ох.
Находим площадь поверхности вращения, получающейся при вращении правой части трактрисы при а = 1 вокруг оси Ох: > еча1Г (ьпг (2*Р1*у (Г) *анхо (с(1гг (х(Г), Г) "2+с)1гг (у (Г), Г) "2), Г=Р1~2..Р1))> 6.283185308 Следовательно, так как: > еэа1г (2*Р1) ' 6.283185308, то резулыпат 2я. При произвольном а > 0 появляется коэффициент а2. Ответ: 4па'. Таким образом, площадь поверхности псевдосферы с параметром а равна площади поверхности сферы радиуса а.
9 4. Поверхностные интегралы Двойные интегралы, сведенные к повторным двойным интегралам ь уео) )' Ых ) ~(х, у)ду, а И(г) вычисляются конструкцией (п1((п((1,у=у1(х)..у2(х)),х=а..Ь). Задача ([5), 8.30). Вычислить Ц (х + 2у)дхду, где область 0 ограничена кривыми у = х', у = >Гх.
Решение. Построим область интегрирования; > Р1ос ( (х 2, апгс (х) ), х=-1 .. 1, -1., 1, со1ог= [ гес), 9гееп1 ); Рис, 3.9 Глава Ш. Высшая математика Из рисунка 3.9 видно, что область интегрирования является правильной как по у, так и по х. Сводим двойной интеграл к повторному двойному интегралу следующим образом 1 ) Нх) (х+ 2у)ду о и вычисляем; > 1пс (ьпс (хе 2*у, у=х" 2 .. ачхс (х) ), х=О .. 1); 9 20 9 Ответ: —. 20 Разберем решение в Мар1е типовой задачи о нахождении объема цилиндрического бруса с помошью двойного интеграла.
Задача. Вычислить объем тела ограниченного поверхностями а=О, г=(х — 1)', у' =х. Решение. Построим заданные поверхности в одной системе координат: >ьвр11оьпр1оСЗс)((а=О,а=(х-1)"2,у"2=х),х=0..1,у=- 2 .. 2, х=0 .. 1, ахеа=посва1); Рис. 3,!0 Понять по рисунку 3.10, что представляет собою заданное тело, можно, но лучше применить оператор условного перехода 11 и построить тело следуюи(им образом (рис. 3.111: > р1осза('1с' (х>=у" 2, (х-1) "2, 0),х=0..1, у=- 1 ..1, ахея похва1) г Проекция Щ тела на плоскость хОу (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
