Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4); Рис. 4.5 Применение графической функции ЭЕр[01 к построению фазовых траекторий разобранной задачи хищники — жертвы (рис. 4.6): > Ркр1оС ( [Р (х) (С) = (4-в*у (С) ) *х (С), Р (у) (С) = (- 2+х (С) ) *у (С) ), [х (С), у (С) ], С" 0 .. 3, х 0 .. б, у 0 .. 4, С1С1е='Хищники- жертвы' ) у Построение фазовых траекторий, соответствующих начальным условиям х(0) = 3, у(0) = 1 и х(0) = 2, у(0) = 0,5 (рис. 4.7): > РЕР1оС([Р(х)(С) (4-3*у(С))*х(С),Р(у)(С) (- 2+х(С))"у(С)], [х(С) у(С] ] С О.:3; [ [х(0) 3,'у[о) 1], [х(О) 2, у(0)=О.З] ],х 0.. 6, У-О.;4, ЗСЕРЗХЗЕиО.ОЗ,ВЕСЬОС( ХЫЕЗ,11ОЕСО1ОХ [Ы.ЗСК,Ь1ЧЕ])ЗХХОИЗ :;ИщРф',С1С1е 'х»ззники-жертвы')) х...:;х. 7()В Глеее М Дифференциальные уравнения. Ряды Фурье Хищниенжвркви Хищники-жвртви Рис.
4,7 Рис. 4.6 Построение с помощью Е)ЕР)о(3(( решения задачи Коши: — = у + (1 — х — у ), — = -х + (1 — х — у ), х(0) = 1, у(0) = 1: к)'Х 2 2 ((У 2 2 гй сй > РВР1оезс(((Р(х) (С)-у(С) В (1-х(С) "2- у(С] "2) *х(С), Р(у) (С) =-х(С) В(1-х(С) "2- у(С) "2) *у(С) ), (х(С), у (С) ), С=о ..10, [ (х (О) =1, у (О) =1) ), ееере12е=0. 1 , 11еесо1ос=с/2) 2 0.6 .0.5 10 Рис. 4.8 На следующем фрагменте листового поля построены фазовые траектории системы дифференциальных уравнений (2Х ()У еа — =-х+а, — = — у — а, —,=у — х, 2й ' (й Рй проходящие при 1 ' О через точки (О, 1кО) (0.95. 1, 9);,(9;~ЩЩ~~к~ ~; 2 ° Гвометрическив посгпроения, связанные с ОДу 109 > Овр1оСЗО ((О (х) (С) -х (С) +Х (С) 0 (у) (С) -У (С) — х (С), 0(х) (С) у (С)- х(С) ), (х(С),у(С),х(С) ),С 0..5, [[х(О)=О,У(0) 1,х(О)=0], [ х(0) 0.05, у(0) 1, х(0)=0), [ х(0) 0.1, у(0) 1, х(0) 0]], вСерв1хе 0.1,11песо1ог [гео,Ь1се,сгеео]); 0.3 0.25 0.2 г 0,15 0.1 0.05 0 Рис.
4.9 Как видно из рис. 4.9, РЕР]013(] одновременно работает и как микроскоп. Найдем изображение проекции на плоскость хОу первой фазовой траектории: > рьаверогсга1с([О(х) (с) — х(с)+х(с),Р(у) (с) -у(с)— х(С),0(х) (С) у(С)-х(С)], [х(С),у(С),х(С)],С=0..5, [[х(0)=о,у(0)= 1, х (0) =0] ], всесе= [х (С), у(С) ], вгервьхе=О. 1, 11сесо1ог=Ь1се); пт) Рис. 4.]0 С помощью (][]еЫР]о( построим векторное поле скоростей, определяемое системой — =ху+4, — =х +у — [7, Нх Ыу ; -., [з(]ййй''.),."- .
': в[1: - .([1 *. уело ( лава! К дифферен((иальные уРвенения. Ряды Фурье и найдем графически число точек равновесия системы: > с)бье1с(р1ое ( [О(х) (С) -Х(С) *у(С) +4 ° 0(У) (С) -х (С) "2+у(С) "2- )т], [х(С), у(С) 1, С=О. ° 5,х -б.. б, у=- б.. б, ассохв Мкптпм) г ~х, 1,' — " ' ','~ %" ' ~ ' ь ~ь ;" Г.' "'г . ' ' .;" с". ) Г//l ll,АРФ[ 1 Рис. 4.11 Как видно из рисунка 4. 11, имеются четыре положения равновесия.
9 3. Динамика материальной точки Пусть материальная точка массы и) в момент времени (с находится в тсчке хо и имеет вектор скорости х . Тогда, согласно классической механике Ньютона, траектория ее движения х = х(() определяется системой дифференциальных уравнений 2-го порядка: где Р = Р(й х, х) — действующая на точку сила.
Данная система сводится к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка. Например, при и = 2, гп = 1 она записывается в виде: г ' Динамика мвтариалъной пзоча((з Если существует такая функция и(х, у, х), что аи аи аи 1' 2 'з дх ду дх то она называется потенциалом (потенциальной энергией), а силовое поле— потенциальным.
Закон сохранения энергии движущейся материальной точки в потенциальном силовом поле: т)х +и=Е, Е=сопз( 2 Окружающее нас силовое поле (локально, гп = 1) имеет потенциальную м функцию и = ду => д; = О, д; = -д, где д = 9,8 —, — ускорение свободного па- с денна материальной точки. Его называют полем силы тяжести. Графические изображения потенциальной функции: > и1с)1 (р1осе):с)еиз1Сур1оС ( (х, у) ->9. 8*у, -20 ..
20, 0 .. 20); Рис. 4.12 > соооосср1ос((х,у)->9.8*у,-20..20,0..200,Г111ео=есое) . Рве14.18 туг ] леве ]]с'. Дифференциельньзе уравнения. Ряды Фурье Графическое изображение поля силы тяжести: > тье1с)р1ос ( [ (х, у) ->О, (х, у) ->-9. 8], — 20 .. 20, О .. 20, агхочв=ьхвок) з Рис, 4.14 Пусть заданы начальные условия х(0) = О, х(0) = 20, у(0) = О, у(0) = 25 и требуется найти в поле силы тяжести У(х, у) = д у траекторию движения материальной точки. Решение задачи имеет вид: > с(во1че ( [с)хсс (х (С), СЗ2) =О, с(зсс (у(С), ЬЗ2) =-9.
8, х (0) =О, Р (х) (0) =20, у (0) =О, Р (у) (0) =25), (х (С), у (Ь) ) ) З (у(]) = — — (' е 255 х(() = 20() 10 Такой же результат получается, если перейти к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка: > С1ВО1ЧЕ ( (С)3 СВ (Х(С), С) =и (С), С(Зст (и (с), С) =О, С)ЗСс (у (С), С) =Ч (С), с(ззс (ч (Ь), С) =-9. 8, х (0) =О, и (0) =20,у(0) =О, ч (0) =25), (х(с),и(с),у(с), (с) )) з (о(з) = — — (+ 25, иЯ = 20, у(Г) = — — Г' + 255 х(() = 20]) 49 49 5 10 Изменение начальных условий дает; > с1во1че ((с)асс (х (С), С) =и (С), с(асз (и (С), С) -О, с)зсз (у (С), Ь) =ч (Ь), с)ЬН (ч (С), С) =-9. 8, х (0) =О, и (О) =25, у (0) =О, ч (0) =20 ), (х(с),и(с),у(с),ч(с) )) з (х(Г) = 25, у(]) = — — ]', О([) = — — [ + 20, и(Г) = 25) 49 з 49 10 5 Построение графиков полученных траекторий: > рпаверсхт хазе ( [с]ахз (х (с), с) =и (с), с>ьхх (и (с>, с)-о, с(ьхз (у (с), с) =ч (С), с)ЬЕЕ (ч (С), С) -9.
8], [х (С) з и (С), У (С),ч(С) ], С 0 ..4. [[х(О)=о,и(0) 20 у(О) О,ч(0) 25], [х(0) О,и(0) 25,у(0) Озч(0) 20] ],всепе [х(с],у(е)],в1песс1сх (вес' >звие])з Динвмикв метвривлыю0 точки х()) Рнс. 4.15 Глобальные взаимодействия материальных тел, согласно закону всемирного тяготения, определяются полями сил тяготения, потенциалы которых имеют вид: й — )(х и=- — = р=- —,, д Пз' )з > О. В плоском случае: )зх йу 1 з ' з з' (х' + у')' (х + у )' Графическое построение потенциальной функции при й = !О: > иЬСЬ(р1оьз)ссооьооср1оь((х,у]->-10/зпсь(х*2+у"2),— 2..1,-т..т, ть11ес(=слое) ) Глава [(/.
ДифФервн((иальные уравнения. Ряды Фурье Построение траектории движения материальной точки в поле сил тяготения при й = 1, х(0) = 1, у(0) = О, х(О) = О, у(0) = 0,5: > рьазарсзвзаав ( [б1Г1 (Х (С), З) во (С), б1ГЗ (С (С), С) =- х(с) /(х(с) "2+у(з) "2)" (3/2),б1И(у(с), с) ч(с), батз (ч (с), с) У (С) / (х (С) *2+у (С) "2)" (3/2) ], [х (С), о (С), у (Ь), ч (С) ], С=О .. Рь, [ [х (О) =1, о (О] =О, у (0) =О, ч (0) =0 . 5] ], асееве= [х (С), у (С) ], в Серва хе=О.
01); Рис. 4.(7 При увеличении начальной скорости получается существенно другой рисунок: > рпазерозвзатз ( [баГЕ (х (С), С) =с (С), б[ЫГ (с (С), с) =- х (С) / (х (С) "2~ у (С) "2)" (3/2), бетт (у (С), С) =ч (С), б151 (ч (З), С) =- у(с) /(х(с) "2+у(С) "2)" (3/2) ], [х(с), с (с), у(с),ч(с) ], с 0.. Р1, [ [х(О) 1, с(0) О, у(0) =О, ч(0) =2] ], всесе [х(С), у(С) ], ззервтзе=О. 01); Рис.
4.!() Рисунки 4.11, 4.18 хорошо иллюстрируют то, что в поле сил тяготения траектории движения материальных тел являются коническими кривыми, один ив фокусов которых находится в полюсе 'снлевого поля. Динамика материальной точки В 1696 году И. Бернулли поставил и решил, наряду с другими выдающимися математиками своего времени, задачу о брахнстохроне (кратчайшем времени), положившую начало вариационному исчислению — оптимальному управлению. Найти путь, по которому материальная точка, двигаясь под действием силы тяжести без трения и согмютивления, попадает из точки А в точку В за наименьшее время: Рис, 4.19 Потенциальная функция поля силы тяжести У = гаду.
Из закона сохранения энергии, так как в начальный момент времени скорость равна нулю, следует Е = глдд„, то есть: о +ЫУ = ЫУ~ 2 Откуда находится скорость движения: с(з Так как о = —, оз =,(1 + у'(х)ох, то, двигаясь по линии у = у(х), матери- с(г альная точка попадет из точки А в точку В за время 2д(уа — у) Остается найти линию, на которой этот интеграл (функционал) минимален.
Вариация путей, соединяющих заданные точки, приводит к дифференциальному уравнению такой линии: 116 Глеев 1У. Дифференциальные уравнения. Ряды Фурье Приятно отметить, что Мар!е находит его общее решение в параметрической форме: > ово1уе ( (уяту(х) )" (1+о1гг (у(х), х) "2) С,рагавесг1с); с -уА — уА Т' + С 1+ Т2 С Т+Сагс(ап( Т)+Саго(ап( Т) Т'+ С1+ С1 Т' 1е Т' Подстановка Т = с(д — дает; 2 > воов ( т=сов (Г/2) /вьо (Г/2), в): оогоа1 (%): вьвр11гу (%) СО5 -( 5[п — ( Т1 'Р = уА — С+Ссов~ — (~, (,2 ! Сов — ( () 1 СО5 -( 2 = С соз~- (~ 51п~-1 + С агс(ап [2 / '(2! + С1 х 5)п 5[п †( Отсюда, с учетом > 51вр11гу (агсгап (сог (х) ) ); 1 — к — агс со((со((х)), 2 следует х = Хг(( — 5[п () + хд, и = уз — г(1 — сов () где г.
— произвольная неотрицательная постоянная. Полученные уравнения определяют на плоскости семейство цнклонд, выходящих из точки А н обращенных выпуклостью вниз. Построение линий данного семейства прн уа —— 6, х„= 0х > р1ос((ввя([г*(Г-вас(С) ),б-г*(1- сов(Г) ),с=0..2*Р1),г 1..3) ) ° со1ог гео); Ряды Фурье (в (в Рис.
4.20 9 4. Ряды Фурье Коэффициенты ряда Фурье аа — ~ + ~(а„соз пх + б„з]п лх) 2 абсолютно интегрируемой на отрезке [-я, я) функции /(х) вычисляются по формулам: х л а„= — ) /(х) соз пхг]х, ()„= — ) /(х) з]п пхг]х, -х п Мар]е избавляет пользователя от аналитических вычислений коэффициентов и дает богатейшие возможности для графического представления результатоа, включая анимацию графиков. Простейший способ — непосредственное вычисление коэффициентов ряда Фурье, используя встроенную функцию ]и(.
Например, пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию /(х) = х, х е ( — я, я). Тогда > 1:=х: /:= х > а(0]:=1пс(1,х=-Р1..и)/и;а(п]: 1пс(с*сов(п*х),х=" и..и)/Р1; а а„:=О > Ь(П]:=1ПС(Х*а1П(П*Х),Х -Р1..Р1) /Р1( — з!п(яп) + яа соз(ла) л и ттв Глава IК Дифференциальные'уравнения. Ряды Фурье > я:-(х,)с]- >а(0] /2+хоп(а(п) хсов(и*х) +Ь(п) *вас(п*х),и=1..)с) > Я(х,2) 2 з]п(х) — з]п(2х) > Я(х,з); 2 я]п(х) — з]п(2х) + — з]п(Зх) 2 3 Построение графиков показывает, как происходит приближение: > р1ос (Я (х, 2), х=-9 .. 9) ) Рис.
4.2! > р1ог (Я (х, 3), х=-9 .. 9) Рис. 4.22 Используя средства программирования Мар!е, частичные суммы рядов Фурье рациональнее задавать процедурами, В частности, заданные на промежутке ( — к, и) функции разлагаются в ряд Фурье процедурой: > Я: ргос (х, п) 1оса1 )с, в, а, Ри сох )с Рвов О Со п с]о а ])с]: Рпе (Я*сов (К*х),х -Ра .. Ра) /Раг Ь[к]: 1пе (Г*а1п (1*х) /Рь, -Ра . ° Рь) епс< оог 1/2*а[О]+зов<а[в]*сов <в*х)+Ь[в]*а1п(в*х),в - 1 .. и) епц ргос; Я:= ргос(х, л) !оса1 ]г,т, а, Ь; Гог ]г агап) О со л ([о а(/с) — — [п((/хсоа(/гхх) х = я " я)/~ ~( ) ' еп(] (]о; 1/2ха(О]+ зцш(а[т)хсоз(тхх) е Ь(т)хз]п(тхг), т = 1 л) еп(] ргос Пользователю остается задать [ и ввести п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
