Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Например, возвращаясь к разобранной задаче, получаем; > г".=х: у:=З(х,з)г 2 д; = 2 з|п(х) — з!п(2х) + — з|п(3к) 3 Построение в одной системе координат заданной функции н 5(х, 3): > х:=х->воср(х, 2*Р1): р1ос ( [у(х), г (х-Р1) -Ра], х=-9 .. 9) г 6ъ 2: 4 Рис. 4.23 Процедура разложения в ряд Фурье функции, заданной на промежутке (О, 2]): > Яр:= ргос (х, 1, и) 1оса1 Х, в, а, Ь; Рог и гсов О со и г<о а[к] := ьпь(а*сов(Р1*х*х/1)/1,х О .. 2*1)г Ь [Х]: 1пе (т*а1п (Р1*Е*х/1) /1, х = О .. 2*1) епг< г)ог 1/2*а [О] +зов (а [в] *сов (Рь*в*х/1) +Ь [в) *выл (Ра*в*х/1), в 1 .. и) епо рсосг 120 Рлввв 1К Диас(звренцивльныв уравнения.
Ряды Фурье 5р: ргос(х,1,я) 1оса1 г,т,а,Ь; Гог 1гггош Ого н бо а[Ус]: !пг((хсов(лх(осг/1)11, х = О .. 2х1); Ь[Ц:= 1пг((хв!п(лх)осг(1)(1, х = О .. 2х1) епд (|о; 112ха[О')+ вип)(а(т)хсов(лхтхг(1) + Ь[т)хвш(лхтххД), т = 1 .. н) епд ргос Пусть требуется найти частичную сумму 5 (х) ряда Фурье функции л — х и ((х) = —, О < х < 2л, построить график 5 (х) и вычислить 5 ( — ). Решение 2 з 3 первой части задачи: > Г:=(Ра-х)/2:Ьр(х,Р1,3)) 1, 1 ь!п(х) + — ь!п(2х) + — ь!п(3х) 2 3 Решение второй части: > р1ог(вр(х,Р1,3),х -9..9) ) Рис.
4.24 Наконец, последнее: > всЬв (х=Р1/2, Ьр (х, Рь, 3) ) ) , (1 ) 1 1 (3 в|п~ — л~ е — в!п(л) + — ь!п~ — л '12 ! 2 3 1,2 > еча1Г(%)г .6666666667. Процедура разложения в ряд Фурье только по синусам имеет видя > гевсагс:Ьрв : ргоо (х, 1, и) 1оса1 )с,,а, а, Ьг Гог )с Ггоа О гс) а Вр,, ~:ф~я~.„ Ряды Фурье Ь [К]: 1ПС (2*Г*авп (Рв*К*Х/1) /1, Х = О ..
1) епс~ оо; зов(Ь[в] *Яви(Р1*в*х/1),в = 1 .. и) епс( ргос; Юрз:= ргос (х, 1, л) 1оса1 /г, и, а, Ь; Гог /с Ггоп) 0 (о л до Ь(/г):= !п((2х/хв!п(кх/осхП)П, х = 0 ..!) епд до; вшп(Ь(и)хз!п(яхиххП), и = 1 .. и) епд ргос Пример. Разложить в ряд Фурье по синусам /(х) = х я|п х, 0 < х я к до четвертой гармоники.
Решение. > т: =х*з1п (х): Яра (х, Рз, 4); 1 . 16 я|п(2х) 32 я|п(4х) 2 9 я 225 л Процедура разложения в ряд Фурье по косинусам имеет вид: > Яро := ргос (х, 1, п) 1оса1 К, в, а, Ь; хоп К Гсов О Со и со а[х] := Япи(2*Я*сов(Р1*х*х/1)/1,х = О .. 1); епо бо: 1/2*а[О]еаив(а[в]*сох(РР*в*х/1],в = 1 .. и] епс) ргос; орс:= ргос (х, 1, л) 1оса1 ]г, и, а, Ь; Еог /г /гого 0 (о л до а(/г):= !п((2х/хсов(яхйхх/1)/1, х = 0 .. 1) епд до; 1/2ха(О) + вшп(а(и)хсов(кхиххП), и = 1 .. л ) епд ргос Пример.
Разложить в ряд Фурье по косинусам до третьей гармоники /(х) = е", х е (О, |п 2). Решение. > г: =ехр (х): Яро (х, 1п (2), 3) ) б |п(2) сов~ — /[ 2 |п(2) соя~2 — /! б |п(2) сов~ 3 — /! / ях] / кх ] ях ') 1 'с !п(2) / !п(2) / в[, |п(2) ) |п(2) !п(2)' + я' !п(2)' + 4к' !п(2)' + 9я' Глава Ч ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 9 1. Теория вероятностей После команды: > вдсн(зсагз); [апоиа, г[езенЬе, 7[(, [трог(([ага, ганг[от, з(а(еоа[[, з(а(р[огд (гааз]огт] можно приступать к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Законы распределения вероятностей, входящие в Мар1е, приведены в следующих двух списках.
Дискретные распределения: Ь[погп!а[4п,р] (]!зсге(ецп![о(го[а,Ь] егор(г!са![1!з! ргоЬ] Ьурегдеогпе[г!с[И!, Ь]2, и] пейа(!чеЬ(поги]а![п,р] ро(ззоп[пш] Непрерывные распределения: Ье(а[пи1, пи2] саисЬу[а, Ь] сЬ]з(]цаге[пц] ехропепба![а!рЬа, а] )гаБо[пц!, пц2] на(вша[а, Ь] [ар!асе([[а, Ь] 1оя[з(]с[а, Ь] ]одпоггпа![п)ц, з[дша] поггпаЫ[гпц, з!игпа] з(ц([еп(з![пц] оп![о(го[а, Ь] ъге!Ьц!![а, Ь] Б квадратных скобках, естественно, параметры распределений.
С приведенными списками распределений и достаточно подробными нх описаниями можно ознакомиться на странице ([(з(г[Ьц(!опз справочной системы Мар!е. Интегральная функция, дифференциальная функция [закон распределения вероятностей) и квантиль дискретного распределения, соответственно, обозначаются бс(]1, р1, [с([1, Соответствующие обозначения для непрерывного распределения; с([1, р([1, [об[.
Базовая встроенная функция [подпакет) теории вероятностей имеет вид: з(а(еоа[[[вид функции, закон распределения][аргу>(ент), Пусть случайная дискретная величина починяется, например, биномиальному закону распределения с параметрами и = 5, р = 3/4. Тогда закон распределения вероятностей находится следующим образом: > р: зсасеча1г[ре,ььповьа1г([з,з/4]]:[[в,р(в)]зв=о..з]г [[0,.0009765625000],[1,.01464843750],[2,.08789062500],[3,.26367!8750], [4,.3955078125],[5,.23?3046875Ц Построение многоугольника распределения вероятностей: > р1ос ( [ [в, р (в) ] Зв о,. 3] ) г Теория вероятностей 123 0.4 1 2 3 4 5 Рис.
5.) Ввод интегральной функции данного биномиального распределения; > Г:=аеасеча11(4(ссг,бьповьа1с(5,3/4)); с' = 41а(евам„е„„, „, Вычисление ее значение при х = 2; > асасеха1Е (ссг)Х,)» потха1с(5, 3/4] ) (2) .1035156250 Функция г действительно «накапливаета вероятности: > Г(0);Г(3),"Г(5); .0009?65625000 .01562500000 Однако она не совпадает с общепринятой в отечественной математической литературе интегральной функцией распределения 121.
Переопределим ее следующим образом; ~П:=Раесеидае (к<=О, О, х<=3, Г(0), х< 2, Г (3), х<=3, Г(2) к<=4 Г(3) к<=5 ,Г(4),х>5,Г(5) ) р 0 хьО .0009765625000 х ь 1 .01562500000 х с 2 .1035!56250 х ь 3 .3671875000, х с 4 .7626953125 х ~ 5 1. 5<х 724 Глава К Вероятносгпь ц стэтистикаю. Алгебра логики Построим график; > р1ос (6 (х), х=-1 ..
б, -1 .. 2) 1 Рис. 5.2 Функция 6 — действительно интегральная функция распределения. Задача ([21, 20!). Случайная дискретная величина задана законом распределения Х 3 4 7 10 р 0,2 0,1 0,4 0,3 Найти интегральную функцию распределения и построить график. Решение. Имеет смысл задать распределение встроенной функцией етр(г(са(, принимая вероятности, соответствующие пропущенным членам последовательности (1, 2,...,!01, равнь(ми нулю. Тогда интегральная функция распределения (по Мар1е) будет иметь вид: > Г:=аеаееча11(ссат,епр1г1са1(0,0,0.2,0.1,0,0,0.4,0,0,0.31]; г( = з(а(еоа(1„4, „.„„,„ Переопределяем ее и приходим к типовой интегральной функции распределения: > та =рьесеньае(х<=3,0,х<=4,Г(3),х<=7,Г(4),х<=10,Г(7),х>10,Г(10)); 0 х<3 02 хь4 03 х<7 07 хь10 10 10<х Строим график: > рьое(Ь(х), =О..11,-1..2) Теория вероятностей 726 0.5 Рис.
5.8 Пусть требуется найти математическое ожидание н дисперсию, заданной в последней задаче сл чайной величины. Задаем закон распределения в виде: > р:=зсасе~а1Е[рт,еврзг1са1(0,0,0.2,0.1,0,0,0.4,0,0,0.3)]; р: = з(а(еоаф,„„„„, Вычисляем математическое ожидание с помощью встроенной функции зппп > М:=зим(1*р(1),1=0..10):Н; 6.8 Таким же образом находим дисперсию: > Я: зим((1-Н) "2*р(1),1=0..10):0) 6. 760000000 Делаем проверку: > зие(1"2*р(1),1=0..10)-М"2; 6,76 На странице з(а(еча11 справочной системы Мар)е приведено достаточное число примеров, включая графики, на нормальный закон распределения. Так что принципы работы с данным непрерывным распределением, а также с другими непрерывными распределениями, вообще говоря, должны быть понятны.
Тем не менее рассмотрим несколько типовых задач. Задача ()21, 328). Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х равны 10 и 2, соответственно. Найти вероятность того, что В результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (12,.14). 12б Глава К Вероятность и ствтистиквю. Алгебра логики Решение. Интегрируем дифференциальную функцию распределения: > апг (згагееа11 [рг(г, погва1а [10, 2) ) (х), х=12 ., 14) г и ) з[агеоа[1 „„„, (х)а(х м > еса1г(Ъ) .1359051220 Ответ: О,! 359. Задачу можно решить и через интегральную функцию распределения: > агагега1г[сг(г,псгеа1г([10,2))(14) — агагеса1г[сг(Е,псгеа1г([10,2)1 (12); .1359051220 Задача.
Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения: О, если х<0 х В(х)= —, если 0<х<5 25 1, если х>5 Найти: 1) дифференциальную функцию распределения; 2) математическое ожидание; 3) дисперсию. Построить графики функций г(х) и Их). Решение. Вводим заданную функцию: > г: =рьесеыаае (х<=0, О, х<=5, х" 2/25, х>5, 1); 0 х<0 з — х х<5 25 1 5<х Находим дифференциальную функцию распределения: > Е: =рхесее1ае (к<=0, О, х<=5, а1г г (х" 2/25, х), х>5, 0); 0 х~О 2 — — х хь5 25 0 5<х Теория еероятностей Вычисляем математическое ожидание: > И„=тпб(Е*х,х=0..5):И; Вычисляем дисперсию: > (): =1пе ( (х-И) "2*5, х=о .. 5): Сп 25 1В Делаем проверку: > 1пс(5*х 2,х=0..5)-М 2; 25 18 Строим график с (х) (рис.
5.4): > р1>С(р(х),х=-1..5]; Строим график /'(х) (рис. 5.5): > р1ос ( Е (х), х=-1 .. 6); Рис. 5.5 Рис. 5.4 Задача ([21, 272). Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси Ох равенством: РЬ) = —,. 2С 1+ 2' Найти постоянный параметр С. Решение. > С: -во1че (1пе (2*С/ (1мх" 2), х--1пбртьсу .. 1пеапьпу) =1, С) с С:= 1 к + 2 атс(ап((п/тВу) 123 Глава К Вароятносгпь и отатиотикаю. Алгебра логики > а»сьап (1па1п1еу) 1 Ответ: С = —, 2 я 1 2агс1ап(х)+ и 2 и Задача ([2), 430). Задана плотность совместного распределения случайной непрерывной двумерной величины (Х, У): „г „2 14хуе " ", х > О, у > 0 1(х, у) = 10, х<0 или у<0 Найти; 1) математические ожидания М», М„, 2) дисперсии Р, Р„, Решение.
Плотности составляющих находим следующим образом: > Г:=а*х"у*ехр(-х"2-у"2); ):= 4хуе' " "' > аззпве(х>0, у>0)па1:=1пь(Г,у=0..1п11п1ьу)) )'!; = 2х-е' " ' > 12: =1пс (Г, х О .. 1птьп1Су); 12: = 2у-е' "' ' Вычисления математического ожидания и дисперсии составляющей Х: > М1: -1пС (11*х х О .. 1п Гз п1СУ) г 1 М):=-,Я 2 > 01.'=ьпг ( (х-М1) 2*11, х О, . 1пе1пььу) 1 Я)(= — — п+1 4 Остается учесть, что М» = М„, ,Я Ответ: М» = М„= —, Р„= Р„=1 2 » У Найдем интегральную функцию распределения по плотности распределения, заданной в последней задаче; > В 1пь(12((1+С"2) *Р1), С -1пе1п1Су..х); Математическая ствтистокв 6 2. Математическая статистика Назначения подпакетов, вызываемых чг[[Ь(з1а[з).
апоча — дисперсионный анализ; дезсг[Ье — вычисления числовых характеристик выборок; ГИ вЂ” регрессионный анализ; гапбогп — генерация случайных чисел с заданным законом распределения; з[а[ечаИ вЂ” теория вероятностей; з[а1р[о[з — графические представления выборок; [гапз[оггп — группировка (преобразование) выборочных данных. Необходимость статистической обработки данных возникает тогда, когда есть некоторый массив данных — выборка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
