Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Решение. > Ч:=рпос(х,у) 1м(соп(1с)ч(х,у),по(х)),по(у))г епс(г д: = ргос(х, у) )гп(соп(1()у(х, у), по(х)), по(у)) еп() ргос > Ч(С,О>гЧ(О,1) >Ч(1,О) гЧ(1,1>г Тождественная истинность формулы доказана. Задача. Составить таблицу истинности функции х Ю (у и е).
Решение. Ввод заданной функции: > Гс=рхос(х, у, х) во (х+с)1х (у, по ( х ) ) ) епс)г (: = ргос(х, у,г) гпо(х+ с)(а(у,по(а))) епб ргос язв Глава У. Вероятность и сгпатистикаю. Алгебра логики Таблица истинности функции алгебры логики (булевой функции) 3-х переменных содержит 8 строк и 4 столбца.
Первые три столбца имеют стандартный вид, соответствующий записи чисел от 0 до 7 в двоичной системе исчисления. Поэтому вводим: > ас=[0,0,0,0,1,1,1,1] с а:=[0,0,0,0,1,1,1,1] > Ьс=[0,0,1,1,0,0,1,1]; Ь: = [О, О, 1, 1, О, О, 1, 1[ > с:=[0,1,0,1,0,1,0,1] р с: = [О, 1, О, 1, О, 1, О, 1[ Вывод списка элементов четвертого столбца — значений заданной функции: > рс=(яес((с(а[11,Ь[1],с(1]),1=1..0)1; р: = [1, О, 1, ], О, 1, О, О! Вывод таблицы истинности: > еяа1сп(псапярояе (ааппзх (,'а,Ь, с,р] ) ) ); О О О 1 О О ! О О 1 О 1 О ! 1 1 1 О О О 1 О 1 1 1 ! О О 1 1 1 О Пусть надо найти совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) последней функции 1.
Определяем степень с булевым показателем: > я:=ргос(х у) '1Г'(у=1,х,по(х)) еппс — р(.ос(х у) [1(у = 1, х, по(х)) епд ргос Находим СДНФ заданной функции: > асЫ (асЫ (асЫ (с (1, б, )с) * (я (х, 1) *я (у, б) *я (я, )с) ), 1=0 .. 1), 1=0 ..1), )с=О .. 1); (1 — х)(! — у)(1 — г)у(1 — г) + х(1 — у)г + (1 — х)уг, где произведение следует понимать как конъюнкцию, а сумму как дизъюнкцию. Аналогично составляется совершенная конъюнктивная нормальная форма: > псп1 (спп1 (пп11 ( ' ) Г ' ( й (1, б с )с) =О, по ( Е ( 1, ], )с) ) * ( Я (х, по (5) ) + Я (У по (б ) ) +я (я, по ()с) ] ) . 1), 1=0 .. 1), б=о .. 1), )с=о .. 1) с (1 — х + у + г)(2 — х — у+ г)(х+ у +1 — г)(З вЂ” х — у — г) Глава Ч! МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 9 1. Линейное 'программирование Задачи линейного программирования решаются встроенными функциями шшппгае и гпах1пйае, входящими в пакет з1гпр]ех, вызываемый обычным образом: > иееб(о ° треех); [Ьаеге, соииехаи11, агеева, аеуте сего, йер1ау, г1иа1, 1еаяЫе, тахиигге, типтие, ргкод ргеогечт ргио[гаг, гайо, ееГир, е!аиг1агг11ее] Вызов пакета обязателен, так как входящие в ядро системы Мар[е встроенные функции шгпнпйае и гпахипгае отличаются от рассматриваемых наборами параметров.
Будем придерживаться такой конструкции: пппцпгае(целевая функция, (ограничения), ]>[ОН]х[ЕЙЛТ!НЕ). Последний параметр показывает, что входящие переменные неотрицательны. Соответственно в такой конструкции включать условия неотрицательности переменных в ограничения не надо. Пример. Решить задачу линейного программирования = х, -~-Зхт -~- хз -+ пнп гх,, -' хх, + Зх, < [2 Зх, — 2х, ч-хз > б ~х.>О,х,>О,хз~О Решение. > а."=х1+3"х2+хзг г: = х1+ Зх2+ хЗ > гееиеге>ве(е,]хт+4"ха+а*из<= тз,з*к1-з*кг+кз>=в],ноннвовттик~ (х! = 2, х2 = О, хЗ = 0) > еоЬв (%, в) г Ответ: (2, О, 0), пипа = 2. Глава И.
Мал)ематические модели е экономике 140 ° Пример. Решить задачу линейного программирования х = 5 е х, + Зх, -э гпах, +ха <10 х, <6 х, х.,<8 ~х,>О,хс>0 Решение. > вах1а1хе (5+х1 ' 3*х2, (х1+х2<= 10, х1<=б, х2<--В ), НОНИЕСА. 1ЧЕ) (х1=2, х2=8) > вцпв(З,5+х1+3*х2); Ответ: (2, 8), гпахз = 31. Рассмотрим графическое решение последней задачи. Построение области (многоугольника) допустимых решений: > еь«В(р1осв): > зпепеа ((х1+х2<= 10, х1<=б,х2«=З),х1=0..7,х2=0..9); Рхс. 6.1 Однако дополнить рисунок линией уровня целевой функции, в данной графической встроенной функции, нельзя. Поэтому поступаем следующим образом.
Отсекаем линией уровня часть многоугольника допустимых решений (рис. 6 2)) > ьпеяпа1((х1+х2<= 10, х1<=б,х2<=8,5+х1+3*х2>=7), х1=0..7,х2=0.,9); Из рисунка 6.2 видно, что точкой выхода линий уровня целевой функции из многоугольника допустимых решений является точка (2, 8). Линейное программирование Рнс. 5.2 Задача. 1Хелевая функиия 2 = 300х, ч- 500х> Найти графически гпах г при ограничениях Зх, ч- ха < !200 2х, е х,, < 1000 х, 5-2х, < 1550 х, ч- х, > 780 Зх, ч-5х, > 3500 ~х,>0, х,>0 Решение. Построение многоугольника допустимых реитений; > и1<Н(р1оез(:1пеяаа1((3*х1+х2<=1200,2*х1~х2<=1000,х1+2*х2<=1550 ,х1<х2>-750, 3"х1+5*х2>=3500 1, х1=0 ..
300,х2=500 .. ВОО); о 50 (ао (50 лю 250 ааа Рич. б.З Главе И. Метеметические модели е экономике 742 Удаление части многоугольника допустимь1х решений: > 1пеяиа1 П З*х1+х2<=1200, 2*х1+х2<=1000, х1ч2*х2<=1550, х1+х2>=- 780, З*х1+5" х2>=3500, 3*х1+5*х2>=3900 1, х1=0 .. 300, х 2=500 .. 800 ! 1 О 50 100 150 230 250 ЗОО Рис.
6 4 Из рисунка 6.4 видно, что точкой выхода линий уровня из многоугольника допустимых решений является точка пересечения прямых, определяемых вторым и третьим неравенствами. Вычисление координат то ~ки пересечения этих прямых; > во1че П 2*х1+х2=1000, х1ч2*х2=1550 1, 1х1, х2 О; (х! =150, х2 = 700! Вычисление значения целевой функции в данной точке: > 300*150+500*70С; 395000 Ответ: гпахг = 395000. 9 2. Матричные игры Задачи линейного программирования имеют многочисленные приложения. Рассмотрим, например, матричную игру с платежной матрицей А:= — 3 ! 2 Максимум от минимума по строкам а = 1 — нижняя цена игры, минимум от максимума по столбцам !5 ~ 2 — верхняя цена игры.
Игра седловой точки не имеет и решается в смешанных стратегиях. Пусть для игрока с горизонтальны- Матричные игры ми стратегиями соответствующие частоты рн р,, р,. Тогда они выбираются им так. что р, — Зр, +2р >У, 2Р~ +Рз Рз >" Зр, +2р, +Зр, > х', Р~ + Рз +Рз =1 где У вЂ” цена игры. Делением соотношений на 1~, как известно [6), делается переход к задаче линейного программирования: найти минимум функции 1 — =х +х +х з (максимум функции Ч) при ограничениях х,— 3 х,+2.х,>1, 2.х, +х, — хз >1 З.х,+2 х,+3 х, >1, х, > О х, > 0 хз > О, р~ Р2 Рз х = — ',х = —,х 1 1, ' 2 1 ° 3 Решение полученной задачи линейного программирования: > тззп1п~12е)х12х2ехЗ, )х1-3*х222*хЗ>=1,2*х1ех2-хЗ>=1, З*х122*х223*хЗ>=1),номнеблт1че)2 3 1 (х1= —, х2=0, хб= — ) 5' ' 5 Следовательно, цена игры 1 5 3 1 4' + 5 5 оптимальные частоты 3 5 3 1 5 1 Р = — -=-, Р =О, Р =---=— 5 4 — 4 2= з=5 4 — 4 Задача ((6), 273).
Предприятие может выпускать три вида продукции (А, Б и В), получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос в свою очередь может принимать одно из четырех состояний (1,!1,!11,!Ч). В следующей матрице элементы аа характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске йй продукции и к>м состоянии спроса; Глава И.
Математические модели в экономике Определить оптимальные пропорции выпускаемой продукции, 'считая состояние спроса полностью неопределенным, гарантируя при этом среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса. Указание. Оптимальные пропорции можно определить как оптимальную смешанную стратегию для «игрока», играюшего против «природы» (спроса). Подобный принцип выбора оптимальной стратегии получил название «максиминного критерия». Решение. Задача седловой точки не имеет и решается в смешанных стратегиях.
Пусть пропорции выпускаемой продукции ри р,, р,, р, + рз+ + рз = 1. Тогда 8Р, + 4Р» + Рз > У, Зр, + 5рз + 7рз > $~, бр, +бр, +4р, > г', 2Р, +бо,+7Р, >»', где У вЂ” гарантированная прибыль. Соответствующая задача линейного программирования: х + хз + хз -» пнп бх,е4х,+х,>1, Зх, ч5х, +7х > 1, бх, +бх, + 4х, > 1, 2х, +5х, +7х, > 1, х,>О,х,>О,х,>0, х = —, х = —, х = —. Ее решение в Мар1е: Р~ Рз Рз з = >»зз пзз»зхе )х1»х2»хз, 18*хт»4*х2»хз>=1, З*х1+5*х2+7*хЗ>=1, б*х1+ б*х2»л"хз>=з, 2*х1»5*х2»7*хз>=1),ноннеплттз)е)з 3 1 (х2 = —, х1 = —, хд = 0) 15 32 32 1 б Ответ: 11 = —, пропорции выпуска продукции ( —, —,0). 7' 7'7' В Мар!е имеются графические средства, которые очень хорошо подходят для графического решения матричных игр 2 х и и т х 2, Задача ([б], 2бб).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
