Сдвижков О.Л. Математика на компьютере - Maple 8 (1185914), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Найти (графически) решение и цену игры с матрицей 1 3 4 0,5 Матричные игры 145 Решение. Пусть х и 1 — х частоты пРименениЯ пеРвым игРоком Гс гоРизонтальными стратегиями), соответственно, первой и второй стратегий. Тогда его выигргяш, в зависимости от «чистых» стратегий, применяемь(х вторым игроком, соответственно составляет: у,(х) = 2х+(1 — х), у,(х) = х+ 3(1 — х) у,(х) = 5х+40 — х), у,(х) = Зх+ 0,5(1 — х) Проведем геометрические построения: > ьпеяоа1 ((у< 2'х+ (1-х),у< х+3*(1-х), у< 5 "х+Л* (1- х), у<=3*х« 0.5*(1-х),х>"О,х< 1) „х 0..1, у -1..4); Рнс. 6.5 Ординаты точек ломаной, разделяющей черную и серую области,— минимальный вьчигрыш первого игрока, в зависимости от применяемой им стратегии.
Минимальный выигрыш максимален для точки пересечения первой и второй прямых, Остается решить уравнение: > ео1че(2 "х«(1-х) х+3*(1-х),х); 2 3 2 1 Следовательно, оптимальная стратегия х, = —, х, = —. Иена игры 3' ' 3 2 2 5 1l = 2 — +! — — = —. 3 3 3' Для второго игрока оптимальными являются первая н вторая стратегии. Пусть частоты их применения у и 1 — у, Находим у: > ео1че (2*У+ (1-У) =У+3* (1-у), у) ) 2 3 Значит, для него оптимальные частоты (-, —, О, О).
2 1 3' 3' Глава Ч(. Математические модели в экономике 146 Задача ([6], 267.6). Найти графически решение следующей игры 5 4 1 5 3 -2 2 1 Решение. Пусть х и 1 — х частоты применения игроком с вертикальными стратегиями, соответственно, первой и второй стратегий.
Проводим геометрические построения: > 1иеЧоа1 ( ( у>=7*и- (1-х), у>=5*хе4* (1-х), у>=х+5* (1- х), у>=3*х-2* (1-х), у>=2*х+ (1-х), х>=0, х<=1), х=0 .. 1, у=-1 .. 10); 10 Рис. 6.6 Минимакс равен ординате точки пересечения второй и третьей прямьсх. Абсцисса этой точки вычисляется в следующей секции: > во1че (5*х+4* (1-х) х+5* (1-х), х) ) 1 4 21 Следовательно, оптимальная стратегия ( —, -), цена игры Ч = —. Для 5' 5' 5 другого игрока оптимальными являются вторая и третья стратегии.
Зная цену игры, получаем: > ьо1че (5*уь (1-У) =21/5, у); 4 1 Таким образом, для него оптимальная стратегия (Оч —, — ° О О). "5' 5 Транспортная задача 147 а З. Транспортная задача На ~кладах А, А, А хранится а, = 100, аз = 200, аз = 120 единиц одного и ! з 3 того же груза, соответственно. Требуется доставить его трем потребителям )]о ~з оз ~а~азы которых составляют Ь, = 190, Ь, = 120, Ьз = 60 единиц груза, соответственно. Стоимости пеРевозки сч единицы гРУза с (-го склада У-мУ потРебителю указаны в левых верхних углах клеток транспортной таблицы: Ь, =!90 Ьз =)20 Ь„= 60 а, =(оо 4 Г аз =200 а, =(2О ! 7 (з Ь, =50 Ь, =(90 ьз Ь, =)2О а, =(00 4 а, =200 ]7 а, =)20 >О 2.
Задаем матрицу перевозок, матрицу стоимостей и целевую функцию: > х:=сзасгьх(3,4)) х: = аггау(1 .. 3,1 .. 4,! ]) > С: =пазгьх ([[4, 2, б, 0], [7, 5, 3, 0] ~ [1, 7, Б, О] ] ) с:=[ 4 2 6 0 7 5 3 0 1 ? 6'0 > з: зиса(зов(С [>с 3]ах[дс 3] с1 1.. 3), 3 1 ° .4) ' х;= 4хгз +2х, '+бх, +?хз, +5хзз +Зхзз + хзл +7х,з +бхзз 1. Установить, является ли модель транспортной задачи, заданная таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть.
2. Составить план перевозок, обеспечивающий минимальную стоимость перевозок. 3. Найти минимальную стоимость перевозок. Решение. 1. Суммарные запасы груза 420, а суммарные потребности 370. Следовательно, задача является задачей открытого типа и ее необходимо закрыть, вводя фиктивного потребителя с потребностями 50 единиц груза, при нулевых стоимостях перевозок. Приходим к задаче: Главе И. Математические модели в экономике 748 Решаем задачу линейного программирования: > и1гь(в1в)з1ех)з (Ьавй, сапчехаиП, сгегт, гуеГзпе пего, с[гзр]ау, диа!,/еае!Ь[е, тщпт(ге, т!п(т[ге, р(паг, р(ззагег]п, р(пазпаг, гало, венгр, ггапгзапз(хе ] > в1ггззпзге(г, (вов(х[1,3],3 1..4) 100,вив(х[2,3],Э=1.,4) 200, вшп(х[3, 3],3 1.. 4) 120, вигп(х[з., 1], з=1, .
3) =100, вшп(х [1,2], з.=1.,3) 120, вив(х [1, 3), з.=1.. 3) 60, вов(к[1,4],1 1.. 3) =50),НОННЕОАТ1ЗГЕ) г [хзз = О, хы = О, х> з = О, хг з = О, хз з — О, хз з = О, хз з = 60, хз4 = БО, хз > = 70, хз. = ]20 х .з = 20, хш --100] Матричньгй вид полученного решения: > ч: вагг1х( [ [0,100,0, 0], [70,20, 60,50], [120,0,0, 0] ]) г 0 100 0 0 70 20 60 50 120 0 0 0 3. Минимальная стоимость перевозок: > вив(вззв(С [1, ",'] *ч [1, 0], 1 1 .. 3), 3=1 .. 4) з 1090 Ответ: 1090, план перевозок 70 20 60 Если убрать требование перехода к задаче закрытого типа, то решение будет иметь вид: > хз ваьг1х(3,3) з х: = аггау[1 ..3,1..
3, [ ]) > с:=пзагг1х([[4,2, 6], 17,5,3], [1,7,6]]) с:-[ > г:=зов(вов(С[з.,з]*х[1,0],).=1..3),3=1.,3) > Чзгь(В1ПЕ1ЕХ): > в) ггзвьге(г, (вов(к [1, 3],3-1.. 3) <=100, вов(х[2,3], 3 1..3) <-200~ вов(х[3,3],3-1..3)<-120,вшп(х[з,11,з 1..3) 130,вов(х[1,2) ° з-=1 ° ° 3) =120, вов(х [1, 3], 1 1..3) 60),НОННЕОАТ1ЧЕ) г [х,а = О, х,а О, х„О, ха, = 120, хз, = 70, хг з и 100, х„бО, хза 20. Кг з = 01 Транспортная задача Рассмотрим транспортную задачу с ограничениями на пропускные способности. Задача ([6), 158).
Решить транспортную задачу по следуюшим исходным данным: а, = 25, аз = 55, аз = 20, Ь, = 45, Ь = 15, Ьз = 20, Ь, = 20 9 5 3 10 со аз 15 о С = б 3 3 2, (с[,„) = [5 со со 10 3 8 4 8 се Оп се со Символ е в матрице (с(а) указывает, что для данной коммуникации нет ограничений по пропускной способности. Решение. > х с =азат сзх (3, 4); х: = аггау(1 .. 3,! .. 4, ! 1) > Сс=псасс1х([[3,5,3,10], [6,3,3,2], [3,5,4,5]])1 > з:=-япсп(япсп (0 [1, 3] *х [1, 3 ', ).=1 .. 3), 3=1 .. 4); г: = 9х,, + бхз, + Зхз с +5х,, + Зхзз + 8хзз + Зхз з + Зхз,з + 4хз.з е10хс 4 +2хз 4 + 8хз с > я1С)з(я1ер1ех)с > с[пью[се(с,(яшп(х[1,3],1=1..4)=25,яшп(х[2,3),3=1,.4)=55, яппз(х [3, 1 ], 3=1 .. 4 ) =20, яшп(х [а, 1 ], 1=1 .. 3) =45, яшп (х [а, 2], з=1 ..
3) =1 5, япм (х (1, 3], з=1 .. 3) =20, яппс (х [з, 4], з.=1 .. 3) =20, х [1,3] <=15, х [2, 1] <=1 5, х (2, 4 ) <=1 0 ), НОННЕпкт ЧЕ) с (х„= О, х, з = О, х,, = [5, х,„= [О, х„= [5, х„= 5, хз, = 15, х„= 1О, х„= 1О х„=О, х„=20, х,, =0) Ответ: план перевозок с 10 0 5 10 15 15 15 10 . 20 О 0 0 Транспортной задачей с фиксированными доплатами называется (!6), стр. 201) транспортная задача, в которой дополнительно задана матрица доплат с[» за с:=[ 9 5 3 !О б 3 3 2 3 8 4 8 Глава И. Математические модели в экономике 150 проезд от сгго постав!цика к !ьму потребителю и требуется минимизировать сум- марные расходы.
Математическая модель задачи: и е 2 = ',] ,'] [слх, +([кук) -> ппп, с=! ! ! ) хч /=! Пусть числовые данные задачи: а, = 50, а, = ЗО, а, =120, Ь, = 60, Ьг = 40, Ь, =100, [си)= 4 6 8, Ыа)= 4 0 5. Ввод данньсх: > сс=асаггзх ( [ [7, 5, 12], [4, б, 8], [10, 9, б] ] ) ! > с(с=асасгьх( [ [2, 3, 3], [4, 0,5], [О, 1, 4] ] ) !а:= [50, 30, 120] ! Ь:=[50,40,100]! а: = [50, 30, 120) Ь:= [60, 40, 1001 Ввод матрицы планируемых перевозок: > х: асасг1х ( [ [х11, х12, х13], [х21, х22, х231, [х31, х32, хЗЗ) ] ) ! Ввод целевой функции: > в! вап(вчас(в(Л.,4)*х(1.4)+В(1) 4) в1ввсвасхсс.
'! с. ( 1.;31а4~1..3! .. =[ ]О, если х. =0 с! '[[, если хк > 0 4 О 5] х11 х12 х13 х21 х22 х23 х31 х32 'х33 ТРанспортная задача в Ип ~с~'1 ) + 4 х21 + 4 вч(пипс[х21) + ] О хЗ1 + 5 х12+ 3 ~]апшп[ 12) з~~сп[х32) + 12 х13 + 3 в(апшп[х13) + 8 х23 + 5 в]апаш[~23) +бхзз+4в]К- (хЗЗ) с)гр~ннчений-равенств можно уменьшить число пер ме„н „. ',"="Я('и (х[1,3),5=1..3) а[1),1 1..3),. ( [1'5) 1=1 3)-Ь[') '-1 3) .
Р:= 11 + 12+ х1З = 50, х21+ хг2+ х2З = ЗО, х51 + хз2+ хЗЗ = ]20 +х 1 +х31 = 60, х12+ х22+хЗ2 = 40, х1З+х25+хЗЗ = 100 гс=яо1че((р,я)) г:= (х22=х22,х23=х23,хЗ2=хЗ2,хЗЗ=хЗЗ,хП = — 90+х22+х32+х25+хЗЗ, х21 = 30 -х22 -х2З,х12 =40 -х22 -хЗ2,х31 = ]20 — х52 — хЗЗ, х13 = ]00 — х23 — хЗЗ) Тогда целевая функция принимает вид: > и:=яиья(г,з)' и:= 2090 + 4 х22 — х23+ х32 — 9 хЗЗ + 5 з]епипс(х23 ) + 4 в]япиш(хЗЗ) + в[япшп(х32) +2 в(япипс(-90+х22ехЗ2+х23+хЗЗ)+4 в[япипс(30 — х22-к23) + 3 в]япитп(40 - х22 - хЗ2) + 3 в]япшп( ] 00 - х25 - хЗЗ ) Программа вычисления ш]пи(: > в[1] с=5ОООс аког ч22 йгов 0 Со ЗО бо Гог ч23 асов 0 го 30 бо аког ч32 ахов 0 Со 40 бо аког чЗЗ Егов 0 го 100 бо и с= 2090+яьдпив (ч32)+4*звопив (чЗЗ) +5*яагупов (ч23) +3*залпов (40-ч22- ч32) +3" завопив (100-ч23-чЗЗ) +2*я19пив (- 90+ч22+ч32ач23+чЗЗ)+4*з19пив(ЗО-ч22-ч23)+4*ч22-ч23+ч32-9*ч33; 1й 40-ч22-ч32>-0 апб 100-ч23-чЗЗ> 0 апб — 90+ч22+ч32+ч23+чЗЗ>-0 апс) 30-ч22-ч23> 0 апб и<в[1) ГЬеп в:=(и,ч22,ч23,ч32,чЗЗ] й1; об об об ос); Вывод результатов > в; (]2ОЗ, О, О, О, ]001 > зиЬз (х22=в [2], х2 3=в [ 3], х32=в[4], хЗЗ=в [5], г) (О = О, х21 = 30, х12 = 40, ]00 = ]00, х13 = О, хЗ1 = 20, х11 = ]0] > зиЬз(Ъ,х22=в[2),х23 в[З],х32 в[4],х33 в[5],васг1х(х) ) Глава И.
Математические модели в экономике 162 В частности, замена в матрице доплат ((н = 2 на ((и — — 100 дает следующие результаты: > си [1294, де О, О, 90] > зоЬэ(х22гж(2], х23=а(3], х32-в[4],хЗЗ=в(5], х) [х2! = 30, х!2 = 40, х!3 = 10, х!! = О, хЗ! = 30, 90 = 90, 0 = 01 > зо)эз(з,х22гж[2],х23=м[3],'х32=е[4],хЗЗ=ж[5],пасс>х(х)) 9 4. Балансовые модели Математическим аппаратом решения балансовых моделей в экономике является линейная алгебра. Поэтому балансовые модели легко рассчитываются в Мар! е.
Задача. Три отрасли промышленности являются производителями и в тоже время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица А коэффициентов прямых затрат вычисляемых по формуле кк а Х ! где х,; — объем продукции из (-й отрасли в 1-ю, а Х вЂ” валовой объем продукции 1-й отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости). Сектор конечного спроса потребляет у; продукции (-й отрасли, и потребление задано матрицей (Б) 1.
Составить уравнение межотраслевого баланса. 2. Решить систему уравнений межотраслевого баланса„то есть найти объечы валовой продукции каждой отрасли, обеспечивающие потребности всех отэаслей и сектора конечного спроса. 3. Составить матрицу Х потоков средств х„. 753 Балансовые модели 4. Определить доходы каждой отрасли Р, = Х) —,гз,х, ич 5. Найти матрицу коэффициентов полных (внутрипроизводственных) затрат по формуле А„= (Š— А) ', где Š— единичная матрица 3-го порядка. Решение, 1. Из постановки задачи следуют чсоотношения баланса» Х, = У хч + У,. /и Замени хч = ачХ, приводит их к системе уравнений межотраслевого баланса з Х, = )',а, Х, + у„ ]гв матричный вид которой (Š— А)Х = У, где Š— единичная матра((а 3-го порядка. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
