Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 36
Текст из файла (страница 36)
По умолчанию равен аЬв(Ь-а)/20, где [а,Ь] диапазон изменения независимой перемен- ной, заданный параметром ггап9е Замечание Остальные опции соответствуют опциям команды р1ог() и с(во1ее(), страницы справки которых можно отобразить командами зр1ог (оргзопв) и таво1че [пстегвс]. Часть (. Основы МаРЬ 194 Если система дифференциальных уравнений или одно дифференциальное уравнение, задаваемые в команде Рертос (), являются автономными, то задавать начальные значения не обязательно, однако обязательно задавать диапазон изменения искомых переменных. (Система лифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части не зависят явным образом от независимой переменной.) Для системы второго порядка по умолчанию рисуется поле направлений, и опция асгонз определяет тип используемых стрелок, а опция с(1счггс( задает количество точек сетки для его представления.
Если заданы начальные условия, то одновременно с полем направлений отображаются и зти решения. Для проверки автономности системы МОЖНО ВОСПОЛЬЗОВатЬСЯ КОМаНДОй апгопспопз (), В КаЧЕСтВЕ ПаРаМЕтРОВ КОТО- рой передаются уравнения системы, искомые функции и независимая переменная. Эта команда возврашает истину. если система автономна. ',~~ ~ 1~~ ~~Ф'.~~'~~$ > ьгь(РЕСоо1з): > с)111:=байт(х(С),С)=х(С)-У(С)с су[у):= — х(() = х(() — у(() д( > Ото:=СЦЕГ(у(С), С) =3*Х (С)+у(с); д а)((2;= — у(() = 3 х(()+ у(() д( > апсопопсопз ((с)1г1, оьг2), [х (с), у(с) ), с) > в па > РЕр1оС((сцГ1, с(1Г2), (х(С), у(С) ), с=-С ..
4, [[х(1)=1,у(1)=1), [х(1)=2,у(1)=2), [х(1)=З,у(1)=З) ), х ( с) =-20 .. 20, у (с) =-20 .. 20, 1(песо1ос=Ыаск, зсепе= [х (С), у (С) ), со1ог=Ыась, згерз1хе=.с. 1); КОМаНда Рвр1оезс(() ОтОбражаЕт В ПрОСтраНСтВЕ рЕШЕНИя СИСТЕМЫ дИффЕ- ренциальных уравнений. Ее синтаксис аналогичен синтаксису команды Рвр1оп(): РЕр1осЗс((с(еяпз, ссагз, Степа, 1пгпз, ес)пз)) Рер1осЗс[(с(ечпз, уасз, стапеле, 101сз, хгапсзез, ес(пз); Глава 3.
Г[акегы Смысл всех параметров аналогичен соответствующим параметрам команды Рвргос(). ОПЦИИ, ЗаДаВаЕМЫЕ В ВИДЕ УРаВНЕНИй пх =вяачеяхе, таКИЕ жЕ, КаК И ПЕРЕЧИСЛЕННЫЕ В табЛ. 3.4 дпя КОМаНдЫ ОЕргог (), За ИСКЛЮЧЕНИЕМ ОП- цИй аг я, бггоггб И со1ог, КОторЫЕ В НЕй не прИменЯЮтсЯ, так как не строится, естественно, никакого поля направлений. Значения опции яоепе задаются в виде трехэлементного списка, комбинируемого из искомых функций и независимой переменной.
Дополнительный набор опций соотВЕтетауЕт ОПЦИЯМ КОМаНдЫ р1оГЗб() ИЗ ПаКЕта р1осв И ОПцИяи КОМаидЫ бво1уе при выполнении численного интегрирования. С ними можно познакомиться на страницах Справки, отображаемых, соответственно, командами Зр1оСЗб[орсгопв] И збво1уе[псяпеггс]. > оер1осЗб ((б1Г1, б1г2, бгГЗ), [х(Г), у (Г), г (С) ], Г=-8 .. 8, [ [х (1) =-1, у(1) =-1, г!1) =1] ], х (Г) =-1 ..2, у(Г) =-1 ..2, г ( ) =-1., 4, яоепе=[х(с),у(г),г(с)], 11пеоо1ог=ь1аск, ясерв1ге=0.1)с 4 з *Ф( о -1 > ОЕр1осЗб((б181,б1Г2,б1ГЗ),(х(Г),у(Г),г(Г)],с= †..8, [[х(1)=1,у(1)=1,х(1)=1]],х(Г)=-1..2,у(Г)= — 1..2,г(с)=.-1..4, воепе=[с,У(Г)св(Г)], 11песо1ог=Ь1аог, ЯсеРвгге=0.1)с 4 з га) о -1 Для построения поля направлений и фазового портрета (совместно или без поля направлений) автономной системы двух линейных дифференциальных уравнений с одной независимой переменной можно воспользоваться коман- даМИ бтге1бр1ос () И рпаяерогсгаьс () СО СЛЕдуЮщИМ СИНтаКСИСОМ: бг1е1бр1ог (бес)пз, ссагз, ггапое, хгапдев, ечпз) ) рьаяерогггазе (с(ес(пв, уагв, ггапое, 1пзгв, ечпв)с Часть I.
Основы Мвр(в Для команды г(егегс(р1ос() ОПЦИИ, ОтнОСяШиеся к построениЮ Решений не действительны, а для команды рьаверогггагс () Работают все опции команды 0Кр1ос(). ДЛя СИСТЕМЫ дИффЕрЕНцИаЛЬНЫХ урааисинй ИЗ ПрИМЕра 3,15 ПО- строение этими командами поля направлений и фазового портрета демонстрируется в примере 3.17. > с(Г1е1с[р1ос ((О151, О1Г2), [х(Г), у(Г) ), Г=-4 .. 4, х(Г)= — 20..20,у(Г)= — 20..20, со1ог=Ыасх, аггонв=МК010М, О1гдггс=[15,15), втервьге=0.1); и -- г > р)таверогтга1Г ( [с(>51, с(152), (х (Г), у(Г) ), Г=-4 ..
4, [[х(1)=1,у(1)=1), [х(1)=2,у(1)=2), [х(1)=з,у(1)=5) ), 11аесо1ог=Ыасх, со1огыЫас)с, вгервгве=0. 1); Замечание Фактически команды ог1е1ор1ог() и роаверогггагг () обращаются к команде сар1ос () . 3.4. Уравнения в частных производных Задача интегрирования уравнений в частных производных достаточно сложная задача. Мар!е может находить решения некоторых уравнений в частных производных с помошью команды рово1уе(), которая находится в основной библиотеке. Она пытается найти общее аналитическое решение уравнения в Глава 3. Пакеты частных производных, передаваемое ей в качестве первого, и, возможно, единственного параметра.
Это уравнение может быть произвольного типа (эллиптическое, гиперболическое, параболическое), любого порядка и с любым числом независимых переменных. Если обращение к команде р~ с1те(( не принесло результатов, то можно воспользоваться командами пакета ГОЕСсс1з дпя ПрЕОбраЗОВаНИя ураВНЕНИя В ЧаетНЫХ ПрОИЗВОдНЫХ И ПрИВЕдЕ- ния его к виду, решение которого снова попытаться найти командой рЗзс1те((. В ЭТОМ жЕ ПаКЕтЕ ЕСТЬ КОМавда ЕПЕр1от((, КОтОрая ОтсбражаЕт численное решение уравнения в частных производных первого порядка.
3.4.1. Универсальная команда рс/ао!!ГеО КОМаНДа рсзс1те (( ИМЕЕТ ДВЕ ФОРМЫ ВЫЗОВа: рсео1те(рагова ; рПзс1те(ратП1Г, Г, Птнт=..., тптваэдтЕ,Ь~т1® ; ПаРаМЕтР рзтцьт ПРЕДСтаВЛЯЕт УРаВНЕНИЕ В ЧаСтНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ОДНОЙ неизвестной функцией. В версии Мар!е 6 пока нельзя решать системы уравнений в частных производных. Эта команда умеет находить общее решение для некоторых определенных типов уравнений в частных производных. Если ни один из известных ей методов не приводит к желаемому результату, то она включает эвристический алгоритм, который пытается осуществить разделение переменных с учетом структуры дифференциального уравнения в частных производных.
Общая стратегия данной команды заключается в нахождении общего решения, а если это не удается, то Мар!е пьпается полностью разделить переменные. В случае успешного выполнения указанных задач, команда рс~зс1 е (( ОтОбражаЕт рЕЗуЛЬтат В ОДНОМ ИЗ СЛЕдуЮШИХ ВИДОВ: 0 общее решение; П квази-общее решение, выраженное через некоторые произвольные функции, явный вид которых определяется соответствующими граничными и начальными условиями задачи„ П набор обыкновенных дифференциальных уравнений относительно всех разделенных переменных, или общее решение, если задан параметр 1НТЕЯВАТЕ. В первом случае решение представляется через произвольные функции, но их количество позволяет удовлетворить любым допустимым граничным и начальным условиям. Во втором случае, когда количество произвольных функций не может обеспечить решение задачи с произвольными граничными и начальными условиями, используется введенная в Мар(е 6 специальная СтРУКтУРа ВПЕВО1зетсс ПрЕдСтаВЛЕНИя КВаЗИ-РЕШЕНИЯ, В КОтсрсй ПЕрЕЧИСЛя- Часть (.
Основы )Иар!е )99 ются разделенные переменные, а после ключевого слова аньехе отображается множество обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют разделенные переменные. ВО ВтОрсй фОрМЕ ВЫЗОВа КОМакдЫ )х(зо1 е () ПараМЕтрЫ ИМЕЮТ СЛЕЛуЮШИй смысл. После дифференциального уравнения следует задать функцию, относительно которой задано дифференциальное уравнение, если уравнение содержит производные более чем одной неизвестной функции.
Остальные параметры являются необязательными. Можно построить явный вид решения вне зависимости от того, получено ли общее или квази-общее решение, указав опцию гои11г)'. В случае квази-решения с разделенными переменными опция тнткавлтв приводит к немедленному интегрированию полученных обыкновенных дифференциальных уравнений из структуры гскзо: зсг- с.
Последний оставшийся параметр нтнт используется для указания, с какого метода разделения переменных следует начать поиск решения. Он задается в виде уравнения, правая часть которого и определяет метод разлеления. Допустимыми значениями могут быть '+' для задания разделения переменных в виде суммы, '*' в виде произведения или любое выражение. содержащее некоторые неопределенные функции, зависящие от независимых переменных функций дифференциального уравнения и указывающие, каким образом следует представить решение уравнения и разделить переменные.
Например, для одномерного волнового уравнения можно использовать метод Фурье разделения переменных, представляя решение в форме произведения двух функций, первая из которых зависит только от одной независимой переменной, а вторая только от второй. В этом случае можно задать следующую опцию нтнт=х(х) *т(л), где х и и — независимые персмснные задачи. Последнее допустимое значение этой опции 'зл р' применяется к уравнениям первого порядка и определяет использование метода характеристик для получения общего решения. > нате с=агхт (и(х," ), П$2) =а" 2*щтт (и(х, Л), хв2) дг , Г д' гтате:= — „и(х, т) = а' ~ —, и(х, () ' д(г ' (,д' > () Обшее решение волнового уравнения > рбзо1яе(нале)г и(х,()= г)(а(+х)+ Г2(а( — х) > () Квази-обшее решение волнового уравнения методом разделения переменных > рбво1уе(нане,нтпт=х(х)*Т(Ь))г 'г дг (и(х, т) = Х(х) Т(О) Агу)гете ( — Х(х) = с, Х(х), — Т(т) = аг с, Т(() ) 199 Глава 3.
Г)акегы > (( Квази-общее решение волнового уравнения методом разделения переменных > (( с интегрированием полученных обыкновенных дифференциальных уравнений > рбзо1че(наче,Н1НТ=-Х(х)*Т(С),1МТЕСВАТЕ)с (н(х, с) = Х(х) Т(с)) 8съчьссс ос >о [[(Т(с)= ГЗе + Г4е ),(Х(х)= Г!е ' + Г" е ' ))) > () Построение решения в явной форме для квази-общего решения волнового > 4 уравнения > рбзо1че(наче,Н1НТ=Х(х)*Т(с),ьп11б)с н(х, с) = ( сл — „Н Н( ., е СЗ С2 С4 С1 е ' Г4 СЗ (,~ , . г е е с е Общее решение получено через две произвольные функции ет и гз.
Команда рс(зо1че() всегда использует префикс г с последуюшим целым числом для представления произвольных функций обшего решения уравнений в частных производных. Обратите также внимание на различие в ответах при использовании параметра Тнтеавлте и без такового. В первом случас выводится множество обыкновенных дифференциальных уравнений с произвольным параметром-константой с,, тогда как во втором случае отображаются общие решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений с произвольными константами С1, С2, СЗ и С4. При использовании Онцнн Ьп11С( ПОЛуЧаЕМОЕ РЕШЕНИЕ ЗаВИСИт От ЧЕтЫрЕХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ КОН- стант и одного упоминавшегося параметра-константы.
После построения общего решения можно отобразить частное решение функцией р1олзс(() из пакета р1осз. Покажем, как можно это сделать для обшего решения одномерного волнового уравнения: > чаче г=с)111 (о (х, с), с52) =а 2*б111 (и (х, с),х$2) дг С сяг и аче:= — н(х, с) = аг [ — н(х. с) :-ы = ~ы > зо1г=рбао1че(наче)с хос:=н(х,с)= И(ас+х)+ р2(ас — х) СОХРаНИВ РЕШЕНИЕ В ПЕрЕМЕННОй зо1, НаМ СЛЕдУЕт ЗадатЬСя ЯВНЫМ ВИДОМ произвольных функций общего решения ет и е2, а также параметру а уравнения придать конкретное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
