Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пакет оксоо1а содержит набор команд для преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений к специальному виду, для исследования гамильтоновых систем, для 'применения аппарата алгебр Ли при интегрирова- (99 Гпаеа 3. Пакеты нии дифференциальных уравнений, для работы с дифференциальными операторами и для построения различных видов графиков решения дифференциального уравнения и систем дифференциальных уравнений.
Все перечисленные возможности пакета, кроме последней, с большой степенью вероятности представляют интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений, тогда как возможность отображения решения дифференциального уравнения без явного построения численного решения в виде процедуры Мар!е представляет интерес для большого круга технических специалистов, работающих в разных областях.
В этом разделе мы и остановимся ТОЛЬКО На ГРафИЧЕСКИХ ВОЗМОжНОСтЯХ ПаКЕта ОЕГоо1в. Замечание Желающие изучить все возможности пакета ОЕГоо1в () мОСУт отобразить страницу Справки командой . ОЕГоо1в, на которой они найдут ссылки на страницы с описанием всех команд, входящих в пакет. ОНИ ВКЛЮЧаЮт КОМакдЫ ОЕр1оГ() И ОЕр1оГЗс(() дпя ПОСтрОЕНИя ГрафИКОВ рЕШЕНИй СИСТЕМ дИффЕрЕНцИаЛЬНЫХ ураВНЕНИй, ЕОЕр1оГ() ЛЛя рЕШСНИя уравнений в частных производных и его отображения (о ней пойдет речь в следующем разделе), с(ггв1с(р1ог () и рьавврогвгатс () Лля отображения, соответственно, поля направлений и фазового портрета систем дифференциальных уравнений.
команда Оер1ог() численно решает как одно обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка, так и нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в этом случае должна быть только одна независимая переменная, т. е. переменная, от которой зависят искомые функции системы. Эта команда может использоваться с различным синтаксисом: ОЕр1ос (с(вппз, чагз, Ггапсе, 1п1Гв, еппв); ОЕр1ос(с(еппв, чагв, Ггапсв, гпьсв, хгапдез, еппв) ОЕР1ОГ(С(ЕЧПЗ, Ссахз, ГГаоса, ХГаодав, ЕСР1В); Параметр с(вчпз 'задает либо одно дифференциальное уравнение произвольного порядка, либо систему в виде списка/множества, элементы которого представляют дифференциальные уравнения первого порядка, образуюшие систему.
Зависимые переменные системы или дифференциального уравнения, т. е. искомые функции, задаются параметром вага. В случае системы они должны быть представлены в виде списка/множества. Параметром схапав определяется диапазон изменения независимой переменной в виде: г а..ь Часть 1 Основы Мар)е [90 В этом уравнении с задает имя используемой независимой переменной, а числовые параметры а и ь определяют диапазон ее изменения. Еще раз напомним, что команда эьр1ок () работает с системой, в которой все неизвестные функции зависят от одной переменной.
Начальные условия определяются параметром 1л1кв, который представляет список, элементами которого являются списки (список списков) Каждый такой элемент-список определяет интегральную кривую дифференциального уравнения или системы, которая отображается на графике. Количество элементов-списков параметра ьл ' тв соответствует количеству интегральных кривых на графике.
Граничные условия задаются так же, как и для команды с(во1-те(), ЧЕРЕЗ дИффЕрЕНцИаЛЬНЫй ОПЕратОр 0. НаПрИМЕр, СЛЕдуЮщИй СПИ- сок определяет начальные условия для двух интегральных кривых одного дифференциального уравнения третьего порядка с неизвестной функцией, х): [ [х (О) =1,0(х) (О) =2, (052) (х) (О) =О. 5), [х (1) =1,0(х) (1) =2, (0$2) (х) (1', =О. 5', ) Замечание Если задаются граничные условия для отображения только одной интегральной кривой, то онн также должны быть заданы как список: [ [х(0)=1,0(х) (0)=2, (032) (х) (0)=0. 5) ] Замечание Если для заданного дифференциального уравнения не существует интегральной кривой, удовлетворяющей некоторым заданным начальным условиям нз списка, то команда не выдает никаких сообщений, отображая на результирующем графике только интегральные кривые, соответствующие действительным начальным условиям.
Параметры хталоеэ, а их может быть столько, сколько неизвестных функций в системе, задают диапазоны изменения неизвестных функций и используются для завершения процесса интегрирования. Численное интегрирование осу- ШЕСтВЛЯЕтСЯ С ЗаДаННЫМ ШаГОМ, КОтОРЫй ПО УМОЛЧаНИЮ РаВЕН авв(Ь-а) 220.
где числа а и ь задаются в параметре ствлче. Как только при очередном шаге значение какой-либо неизвестной функции выходит за пределы заданного в соответствующем параметре диапазона ее изменения, процесс интегрирования останавливается. Параметры хталчев можно задавать в одной из двух форм: х(с)=х1..х2 х=х1..х2 В них х представляет имя неизвестной функции дифференциального урав- НЕНИЯ ИЛИ СИСТЕМЫ, С вЂ” ИМЯ НЕЗаВИСИМОй ПЕРЕМЕННОЙ, а ЧИСЛа х1 И х2 Задают, соответственно, нижнюю и верхнюю границу изменения неизвестной функции х (с) .
Глава 3. Пакеты Необязательным параметром ечпв задается ряд опций, определяющих общий вид графика решения: цвет линии интегральной кривой, шаг интегрирования, влияющий на гладкость отображения кривой, что и как откладывается по осям координат двумерного графика и т. д. Они, как и все опции в Мар)е, задаются в виде уравнений, в которых в левой части стоит имя опции, а в правой — ее значение. Кроме некоторых специальных опций они в основном совпадают с опциями команды р1ое() пакета р)осв, а также с опциями, которые можно задавать при построении численного решения (суре= оиесгс) командой с)во1те(). (Команда р1ос () описывается в гл.
4, посвященной графике в Мар)е.) „!~Й~4ф~~~~)~фф~> ' " ' ',',';;;, "';;.,'))Щ)в(М)~4)~Ф))))(~1'; с с > нтСЬЯВСоо1в): > с)11:=с)1ГГ(у(х),х52) -2*х*О155(у(х),х) ь2*у (х) =0 а((Г:= ~ —,у(х)! — 2 х ~ — у(х)~+ 2 у(х) = 0 ~ дх' ! ~,дх > окр1ог(с)1т,у(х),х=0..1.5, ( (У (О) =1, Р (у) (О) =0 . 5], (у (О) =1, 0 (у) (О) =1], (у ( О) =1, 0 (у) (О) =1, 5 ) 1, 11песо1ох=Ь1асХ); у(х) о.
-г > $3адание уравнений системы дифференциальных уравнений > с)11 с=сБ ГГ (х (с), С) =х (С) -у (С); д с((Е?;= — х(Е)=х(Е) у(Е) дЕ > с)1Г2 с=с)1ГГ (у (с), с) =3 х (г) +у (С) — г (г) е д 4Д:= у(Е) =3 х(Е) ту(Е) — г(Е) д( > с)ггЗ:=с(1гх (г (с), с) =3*х (с) +у(с) +г (с) е д асе(3:= — г(е) = 3 х(Е) + у(Е) + г(Е) дЕ > 4 отобравение зависимости г(т) от х(С) > оар1ог ((с)111,с)1хг,с11ГЗ ), (х (С),у(С), г (Е) ], С=-4 .. 4, ( (х (1) =1, у (1) =1, г (1) =1) ), х (С) =-2 .. 2, у (г) =-2 ..
2, г (С) =-2 .. 2, всепе=(г(с),х(г) ], 11песо1ох=Ь1ас)с, вгеравге=0,1) е Часть I Основы [(4ар)е трг > () Отображение зависимости х(г) от Г > ОКр1ос((О1Г1,с(1Г2,бттэ),[х(Г),у(Г),г(Г)),с=-а..З, [ [х(1) =1, у (1) =1, г (1 ) =1) ),х (Г) =-2 .. 2, у (Г) = †2 .. 2, г (Г) =-2 .. 2, всепе=(с,х(Г)), 11песо1ог='п1аск, всераьхе=0.1); Таблица 3.4. Опции команды ОКР1о Г и Опция Описание и значения Задает размеры стрелок прн отображении поля направлений для автономных линейных систем второго порядка или дифференциальных уравнений второго порядка. Допустимые значения: ЗнлЫ, (установлен по умолчанию), нкид, ьввак, ьтнк, нонк. Значение нонк подавляет отображение поля направлений аггоив В примере 3.[4 решается дифференциальное уравнение второго порядка отг и отображаются три его интегральные кривые, проходящие через одну точку, но с разными углами наклона касательной (в начальных условиях для НИХ ЗгдаЮтея раЗНЫЕ ЗНаЧЕНИя ПЕрВОй ПрОИЗВОдНОй В ТОЧКЕ х=о).
ДЛя СИСтсмы трех дифференциальных уравнений первого порядка (б1г1, о112, б1гз) строится график зависимости функции решения г(г) от функции х(г) и график решения х(г) относительно независимой переменной г. Это достигается использованием разных значений опции зсепе. Кроме нее для построения необходимых графиков в этом примере также используются опции 1упесо1ог и згерзьге, задающие, соответственно, цвет линии графика и шаг НЕЗаВИСИМОИ ПЕрЕМЕННОй дпя ПОЛуЧЕНИя ТОЧЕК ГрафИКа.
КОМаНда ОКр1ос() использует большой набор опций, наиболее употребительные из которых представлены в табл. 3.4. Глава 3. Пакеты Таблица 3.4 [окончание) Описание и значения Опция Задает цвет стрелок поля направлений со1ог Е1Г9Г1Е Определяет количество точек сетки в горизонтальном и вертикальном направлении для отображения векторов поля направлений Значение задается в форме списка из двух целых чисел, первое из которых соответствует горизонтальному направлению, а второе вертикальному.
Минимальное допустимое значение,[2,2], максимальное [20, 2О], которое используется по умолчанию з гегагеопв Определяет количество шагов интегрирования между отображаемыми точками решения, значение по умолчанию равно единице. Данная опция полезна, когда для увеличения точности решения приходится уменьшать шаг интегрирования. Увеличение ее значения уменьшает объемы хранимой информации, так как в памяти хранятся только отображаемые точки решения 11песо1ог Задает цвет выводимых линий решения, Если на одном графике отображается несколько решений дифференциального уравнения или системы, то можно задать список значений цветов, которыми будут отображены соответствующие решения.
Если задан один цвет, то все решения на графике будут отображены этим цветом Установка этой опции, равной булевому значению тя()в [значение по умолчанию), останавливает процесс интегрирования системы дифференциальных уравнений, как только значение какой-либо искомой функции выходит за диапазон ее изменения, определенный параметром хгвп9е. Значение гм,вк отключает этот режим оЬвгапве Определяет, что выводится на двумерном графике решения.
Задается в виде двухэлементного списка искомых функций или независимой переменной. Например, всепе=[х(г),у(г)1 означает, что по горизонтальной оси графика отображается функция х (г), а по вертикальной — у(г). Зто позволяет для системы второго порядка отобразить фазовый портрет. Для отображения решения следует задать эту опцию, например, в виде всвое= [г, у(г) ] всепе вгерв1зе Задает шаг изменения независимой переменной при численном ин- тегрировании дифференциального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
