Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Это можно осушествить следую- шими командами: > 11:=х->ехр(-х 2) „гс 1?:= х -+ е Часть 1. Основы Мар)е > Г2:=х->рьесен1ае(х>-1/2 апс( х<1/2, 1, О); /-1 1 /2:= х -ь р)есеът)зе( — < х аш) х < —, 1, 0~ (2 2' > а:=1) а:=1 Здесь сделаем небольшое отступление в связи с заданием функции командой ртесеньае(). Эта команда задает кусочно-непрерывную функцию. Ее параметры задаются парами: первый определяет интервал изменения независимой переменной, а второй значение функции на этом интервале.
Последний непарный параметр определяет значение функции в оставшихся диапазонах изменения независимой переменной. Кусочно-непрерывные функции можно дифференцировать, интегрировать, отображать их графики. Вообще, с ними можно обращаться как с обычными непрерывными функциями: система Мар!е очень хорошо умеет с ними работать. Например, гра- фИК фуНКцИИ 82 (х) СтрОИтСя ОбЫЧНОй КОМаНдсй р1ое (): > р1ое (12 (х), х=-2 .. 2, со1ох=)>1асХ, сльс)4пеаа=2) Теперь остается подставить введенные функции в полученное общее реше- ние зо1, выделить правую часть, преобразовать ее в функцию и отобразить: > епа1(ао1, ( Г1=-11, Г2=-Г2)); и(х,/)=е + > т:=ппарр1у(тпа (Ъ),х, с) г (-о+ ) ) /;= (х, )) -+ е + р)есеппзе 1 1 -(+х < — апп' / — х<— 2 2 о/нети /хе ( 1 1 -/+ х < — апп' / — х < —,1,О) 2 2' > р1осзс((Г,-8 ..
8,0.. 5,дттп=(40, 40] ) ) гог Глава 3. Пакеты Обратите внимание, как Мар!е отображает кусочно-непрерывную функцию, когда она используется в выражении. Замечание Рисунок решения, получаемый функцией р1сгэд П с заданными в тексте значениями параметров, не будет содержать оси координат и будет цветным Рисунок, приведенный в книге, был изменен вручную с помощью команд форматирования контекстной панели инструментов.
3.4.2. Команды пакета РОЕ$оо!а Как н в случае с обыкновенными дифференциальными уравнениями, если не удается построить решение уравнения в частных производных командой рцзс1те~), тО МОЖНО ВОСПОЛЬЗОВатЬСя КОМаНдаМИ ПаКЕта ГЭВГсс1з ддя ПРЕОбразовання уравнения с целью попытаться свести его к уравнению, которые можно решить этой командой. В табл. 3,5 представлены все команды пакета ГцКСсс1з С ИХ КратКИМ ОПИСаНИЕМ. Таблица З.б.
Команды пакета гпдгсс1з Команда Описание Ьи11с Решает обыкновенные дифференциальные уравнения, получаемые при использовании метода разделения переменных в команде рсзс1те (ц и возвращает явный вид решения уравнения в частных производных. Используется командой разо че~~ с заданной опцией Ьи116 сссеГВз Приводит подобные коэффициенты в полиномиальном уравнении в частных производных относительно неизвестной и степеней ее производных и выдает список полученных коэффициентов Входными параметрами команды являются список уравнений, в левых частях которых стоят производные от неизвестных функций, входящих в выражение, представленное самым последним параметром.
Команда последовательно подставляет в это выражение соответствующие производные, причем пытается продолжить подстановку до тех пор, пока иэ выражения не будут исключены все производные, определяемые в передаваемых команде уравнениях сазеэр11С Разбивает систему уравнений и/или неравенств на последовательность систем уравнений и неравенств таких, что объединение их не особых решений равняется множеству решений исходной системы. Кроме того, каждая из полученных систем свободна от дифференциальной или алгебраической избыточности, и для них автоматически удовгетворены условия интегрируемости Часть!. Основы Мар(е Таблица 3.5 (окончание) Команда Описание Вычисляет уравнение характеристик для заданного дифференци- ального уравнения в частных производных первого порядка, т.
е. строится и решается соответствующая ему система обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме снагзггкр Осуществляет замену переменных в любых алгебраических объектах (уравнения в частных производных, кратных интегралах, интегродиффвренциальных уравнениях ит.д.), а также в процедурах. Эта команда полезна для изменения уравнения в частных производных от формы, трудно решаемой, к форме, для которой можно найти решение г(сЬаоде Дтттогаег Определяет общий или относительно некоторой переменной по- рядок частной производной в уравнении или выражении парс(е Преобразует уравнение в частных производных к уравнению в частных производных другого вида, которое, возможно, будет решено командой рг(зо1те ( | рОКр1ог Строит график решения уравнения в частных производных перво- го порядка, линейного или нелинейного, при заданных начальных условиях рг(есезг.
Проверяет, является некоторое выражение решением уравнения в частных производных, возвращая О в случае положительности проверки и выражение невязки в противном случае зерагаЫ111у Определяет, при каких условиях для заданного уравнения в част- ных производных возможно получение полного решения при раз- делении переменных в виде суммы или произведения зр11тзуз Разбивает систему алгебраических или дифференциальных уравнений на независимые между собой системы уравнений зр11сзсг1р Вычисляет характеристики уравнения в частных производных, но возвращает их, если зто возможно, разбитыми на подмножества характеристик независимых между собой систем уравнений, по- лученных в результате выполнения команды зр11сзуз (( КаК И В СЛуЧаЕ С ПаКЕтОМ ОКСоо1з МЫ ОПИШЕМ КОМаНду КОКр1от((, таК КаК ОСтаЛЬНЫЕ КОМаНдЫ ПаКЕта ОКгоо1з() СКОРЕЕ ВСЕГО ОКажутСя ПОЛЕЗНЫМИ ЛЛя специалиста в области уравнений в частных производных, чем лля рядового технического работника.
ОбщИй СИНтаКСИС КОМаНдЫ ООКр1ог (] СЛЕдуЮщИй: Рокр1ос(осе, 1пксе, зхапое, орс1опз)г гоз Глава 3, Пакеты Таблица З.Б. Опции команды Роьр~с с П Описание и значения Опция ясегаптопя Определяет количество шагов интегрирования между отображаемыми точками решения, умалчиваемое значение равно единице. Данная опция полезна, когда для увеличения точности решения приходится уменьшать шаг интегрирования, Увеличение ее значения уменьшает объемы хранимой информации, так как в памяти хранятся только отображаемые точки решения яперятзе Задает расстояние между вычисляемыми точками вдоль ка- ждой из характеристик, которое может принимать вещест- венные значения. Значение по умолчанию, оно же и макси- мальное, равняется 0.25 Определяет количество отображаемых точек вдоль характеристической линии в каждом направлении.
Ее значения в этом случае задаются в виде двухзлементного списка целых чисел со знаком. Знак определяет направление. Если задано просто целое со знаком, то характеристическая кривая отображается только в соответствующем направлении, определяемом знаком числа. По умолчанию эта опция имеет значение !-то,то! юппягеря ссаспз г Гиперповерхность решения строится из характеристических линий уравнения, каждая из которых проходит через определенную точку начального многообразия. Зта опция определяет количество таких точек, задавая дискретное изменение каждого параметра, используемого в описании многообразия начальных значений.
Задается в форме списка или одного целого, которое относитоя ко всем параметрам. Значение по умолчанию равно 20 Здесь параметром зов задается уравнение в частных произволных первого порядка относительно одной неизвестной функции, зависяшей от и переменных. Начальные условия определяются параметром яятпя в форме списка из л+! элементов, определяющих в параметрической форме кривую в пространстве п+1 измерений, через которую проходит интегральная поверхность дифференциального уравнения. Элементы должны быть выражениями, зависящими от л — ! параметра. Параметром ягзпчя задаются лиапазоны изменения каждого параметра, используемого в начальных условиях в виде я=я!..яя, П=ПЫ.П2, ....
ПараМЕтр сръ'сея ЗадаЕт Опцнн В Вндс ураВНЕНИй, в которых левая часть представляет имя опции, а правая — его значение. Смысл некоторых опций совпадает с аналогичными, используемыми в команде овр1сп !П Перечень всех опций команды вовр1сп П с кратким описанием представлен в табл.
3.6. Часть 1 Основы Мар)е Таблица 3.6 (продолжение) Описание и значения Опция Определяет, что выводится на трехмерном графике решения. Задается в виде трехэлементного списка искомых функций или независимых переменных. Например, зсеое= [х1, х2, о (х1, х2) ] означает, что по оси х и у графика отображается независимые переменные х1 и х2, а по вертикальной оси з функция решения (это значение по умолчанию) эсепе Можно определять диапазон изменения отображаемых величин, указанных в опции зсеое. Если какая-то из отображаемых величин вышла за пределы заданного для нее диапазона изменения, то процесс отображения решения на этом прекращается хь=-кызхп ..
кипах, и(х1,х2,...,хо) о лш~..и пах Установка этой опции, равной булевому значению тип (значение по умолчанию), останавливает процесс интегрирования вдоль характеристической кривой решения дифференциального уравнения, как только значение какой-либо отображаемой переменной выходит за заданный для нее диапазон изменения. Значение 2))ьяк отменяет это действие оЬзгапсе Определяет численный метод интегрирования вдоль характеристик. По умолчанию используется внутренний метод Рунге-Кутта. Можно устанавливать любой метод, который используется в команде с)зс1те() при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, но следует учитывать, что использование метода, отличного от внутреннего, приводит к существенному увеличению времени расчета аотгьзсе В общем случае дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция зависит от п переменных, решение представляет собой и-мерную гиперповерхность в (гн-1)-мерном пространстве.
Для п>2 ее, естественно, сложно отобразить в трехмерном пространстве. Можно создать анимационную картинку, отображающую последовательность многообразий, которые все вместе составляют поверхность решения. Для этого следует установить значение опции ао1таге, равной схое, При значении опции ап1лзье=Га1эе отображается гиперповерхность решения с выделенным черным цветом начальным условием. Если ап1пасегоп1у, то поверхность решения никак не отображается, а вместо нее отображается последовательность начальных многообразий, из которой можно составить представление о поверхности решения. По умолчанию ап)хзасе=стае при п=2 и ап1иасе=га1зе при п>2 Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
